[book_name]历象考成 [book_author]允禄 [book_date]清代 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]天文地理,天文,完结 [book_length]304602 [book_dec]历法推算著作。 清代康熙年间官撰，完成于1722年， 为修订图表不合、解多隐晦之《西洋 新法历书》而作。42卷。上编16卷 阐述理论，名“揆天察纪”，下编10 卷述计算方法，名“明时正度”，另附 运算表16卷。有几项主要改进，如 测定黄赤交角为23°29′30″更精确计 算平太阳时与真太阳时时差，以白 道为根本计算日食三差，采用月面 方位法计算月食方位。然全书采用 丹麦天文学家第谷·布拉赫的体系 和某些第谷数据，理论落后，以至雍 正八年(1730)六月初一日食，预推与 实测不符。乾隆二年至七年(1737— 1742)又加修订，成《后编》10卷，除 增修雍正年间重编之日躔日离表 “表解图说”外，还采用许多新数据， 精确度提高。《后编》用地心系椭圆 运动定律和面积定律(颠倒的开普 勒第一、第二定律)，即认为太阳沿 椭圆轨道绕地球运动，地球在一焦点上。 [book_img]Z_11176.jpg [book_title]御制律厯渊源 御制律厯渊源序 粤稽前古尧有羲和之咨舜有后防之命周有商高之访逮及厯代史书莫不志律厯备数度用以敬天授民格神和人行于邦国而周于乡闾典至重也我皇考圣祖仁皇帝生知好学天纵多能万几之暇留心律厯算法积数十年博考繁赜搜抉奥微叅伍错综一以贯之爰 指授庄亲王等率同词臣于大内养斋编纂毎日进呈 亲加改正汇辑成书总一百卷名爲律厯渊源凡爲三部区其编次一曰厯象考成其编有二上编曰揆天察纪论本体之象以明理也下编曰明时正度密致用之术列立成之表以着法也一曰律吕正义其编有三上编曰正律审音所以定尺考度求律本也下编曰和声定乐所以因律制器审八音也续编曰协均度曲所以穷五声二变相和相应之源也一曰数理精蕴其编有 二上编曰立纲明体所以解周髀探河洛阐几何明比例下编曰分条致用以线面体括九章极于借衰割圜求体变化于比例规比例数借根方诸法盖表数备矣洪惟我国家声灵逺届文轨大同自极西欧罗巴诸国专精世业各献其技于阊阖之下典籍图表灿然毕具我 皇考兼综而裁定之故凡古法之岁乆失传择焉而不精与西洋之侏诘屈语焉而不详者咸皆条理分明本末昭晰其精当详悉虽专门名家莫能窥万一所谓惟圣者能之岂不信欤夫理与数合符而不离得其数则理不外焉此图书所以开易范之先也以线体例丝管之别以弧角求经纬之度若此类者皆数法之精而律厯之要斯在故三书相爲表里齐七政正五音而必通乎九章之义所由试之而不忒用之而有效也书成纂修诸臣请序而传之恭惟 圣学高深岂易钻仰顾朕夙承 庭训于此书之大指微义 提命殷勤岁月斯乆尊其所闻敬効一词之赞葢是书也岂惟 皇考手泽之存实稽古准今集其大成高出前代垂千万世不易之法将欲协时正日同律度量衡求之是书则可以建天地而不悖俟圣人而不惑矣 雍正元年十月朔敬书 [book_title]总目 钦定四库全书　　　　子部六 御制厯象考成总目　　　　天文算法类一【推歩之属】 上编十六卷 下编十卷 表十六卷 【臣】等谨案 御制厯象考成四十二卷康熙五十二年 圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第一部也按推歩之术古法无征所可考者汉太初术以下至明大统术而已自利玛窦入中国测验渐宻而辨争亦遂日起终明之世朝议坚守门户讫未尝用也 国朝声教覃敷极西诸国皆累译而至其术愈推愈精又与崇祯新法算法图表不合而作新法算书时欧逻巴人自秘其学立説复深隠不可觧 圣祖仁皇帝乃 特命诸臣详考法原定着此书分上下二编上编曰揆天察纪下编曰明时正度集中西之大同建天地而不悖精微广大殊非管蠡之见所能测今据其可以仰窥者与新法算书互校如黄道斜交赤道而出其内外其相距之度即二至太阳距赤道之纬度新法算书用西人第谷所测定为二十三度三十一分三十秒今则累测夏至午正太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒较第谷所测度　少二分葢黄赤二道由逺而近其所以古多今少渐次移易之故非巧算所能及故当随时宻测以合天行者也又时差之根其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退葢以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长葢以分至为加减之限也新法算书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同合立一表歳乆必不可用今分为二表加减二次而于法为宻矣又新法算书推算日食三差以黄平象限为本然三差并生于太隂而太隂之经纬度为白道经纬度当以白平象限为本太隂在此度即无东西差而南北差最大与髙下差等若在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平象限异故定交角有反其加减之用也又厯来算术定月食初亏复圆方位东西南北主黄道之经纬而言非谓地平经纬之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有邪正而加时距午有逺近両经纬回然各别所推之东西南北必不与地平之方位相符今实指其在月体之上下左右为众目所共睹较旧法更为亲切又新法算书言五星古图以地为心新图以日为心然第谷推步均数惟火星以日为心若以地为心立算其得数亦与之同知第谷乃虚立巧算之法而五星本天实皆以地为心葢金水二星以日为心者乃其本轮非本天也土木火三星以日为心者乃次轮上星行距日之迹亦非本天也至若弧三角之法新法算书所载图説殊多厐杂而正又遗黄赤互求之法今以正约之为对边对角及垂矢较三比例则周天经纬皆可互求而操之有要矣此皆订正新法算书之大端其余与新法算书相同者亦推衍精宻无差累黍洵乎 大圣人之制作万世无出其范围者矣乾隆四十九 年六月恭校上 总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 总　校　官【臣】陆　费　墀 【五月十七日奉防】 【开载纂修编校诸臣】 【职名承防纂修和硕庄】 【亲王允】 【禄和硕　　诚　亲　王　允祉　彚】 【编　　日　讲　官　起　居　注詹】 【事　　府　少　詹　　事兼　翰】 【林 院】 【侍　讲　学　士　　加　一级】 【何　国　宗　翰　　林　院编修梅】 【防成分校原任湖南巡抚都察　院右】 【副都御史魏廷珍翰林院　编修王　兰　生　原　　进士方苞】 【考　测　会　考　　府　郎中成　　　徳　　　　防领　阿】 【齐　　　图　　　　臣臣　臣】 【臣臣臣】 【臣】 雍　　　　　　　　正【臣】二年 原　任　吏　部　员　外　郎【臣】顾　琮工　部　员　外　郎　加　一　级【臣】照　海食员外郎俸钦天监五　官　正【臣】明安图兵　　部　主　事　加　一　级【臣】平　安福　　建　汀　州　府　知　府【臣】何国栋江　　西　袁　州　府　知　府【臣】李　英翰　林　院　笔　帖　式　加　一　级【臣】丰盛额校算 兵部郎中兼管钦天监左监副事加二级【臣】何国柱刑　　　部　　员　　外　　　郎【臣】伦大理钦　天　　监　　左　　监　　副【臣】四　格 内　　　　阁　　中　　　　书【臣】黄　茂钦　天　监　博　士　加　一　级【臣】潘汝瑛山　　东　莒　州　　知　　州【臣】陈永年广　东　西　宁　县　知　　县【臣】萨　海京　卫　武　学　教　　授【臣】胡　振 举　　人　拣　选　知　　县【臣】髙　泽防　　考　府　笔　帖　　式【臣】傅明安吏　　部　笔　　　帖　　式【臣】戴嵩安　　补　笔　　　帖　　式【臣】黑　都 生　　　　　　　　　　　　员【臣】秦　宁 生　　　　　　　　　　　　员【臣】五徳寳 防　　　　　　　　　　　　军【臣】杨　格校录 翰　　林　　院　　侍　　　读【臣】呉孝登翰　　林　　院　　侍　　　讲【臣】留　保刑　部　郎　中　　加　一　级【臣】朱　崧 户　　　部　　　　主　　　事【臣】黒　赫 礼　　　部　　　　主　　　事【臣】穆继伦 刑　　　部　　　　主　　　事【臣】玉　羾工　部　主　事　　加　一　级【臣】色合立户　部　司　库　　加　一　级【臣】穆成格 工　　部　　司　　　　库【臣】伍大夀 行　人　司　行　人　加　一　级【臣】顾陈垿 湖　广　黄　州　府　同　　知【臣】郎　瀚 江　南　通　州　知　州　加　一　级【臣】白暎棠河　南　孟　津　县　知　县　加　一　级【臣】陈永贞监　　生　　选　州　同　　知【臣】张嘉论 生　　　　　　　　　　　员【臣】焦继谟 [book_title]上编卷一 钦定四库全书 御制厯象考成上编卷一 厯理总论 天象 地体 厯元 黄赤道 经纬度 岁差 天象 虞书尧典曰钦若昊天厯象日月星辰楚词天问曰圜则九重孰营度之后世厯家谓天有十二重非天实有如许重数盖言日月星辰运转于天各有所行之道即楚词所谓圜也欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸圜之动必以至静不动者准之然后得其盈缩盖天道静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相为表里故羣动者运于其间而不息若无至静者以验至动则圣人亦无所成其能矣人恒在地面测天而七政之行无不可得者正为以静验动故也十二重天最外者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微厯家姑置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填星所行次为岁星所行次为荧惑所行次则太阳所行黄道是也次为太白所行次为辰星所行最内者则太隂所行白道是也要以去地之逺近而为诸天之内外然所以知去地之逺近者则又从诸曜之掩食及行度之迟疾而得之盖凡为所掩食者必在上而掩之食之者必在下月体能蔽日光而日为之食是日逺月近之征也月能掩食五星而月与五星又能掩食恒星是五星髙于月而卑于恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗动天以浑灏之气挈诸天左旋其行甚速故近宗动天者左旋速而右移之度迟渐远宗动天则左旋较迟而右移之度转速今右移之度惟恒星最迟土木次之火又次之日金水较速而月最速是又以次而近之证也是故恒星与宗动相较而岁差生焉太阳与恒星相防而岁实生焉黄道与赤道出入而节气生焉太阳与太隂循环而朔朢盈虚生焉黄道与白道交错而薄蚀生焉五星与太阳离合而迟速顺逆生焉地心与诸圜之心不同而盈缩生焉厯代专家多方测量立法布算积久愈详已得其大体其间或有豪芒之差诸説不无同异者盖因仪器仰测穹苍失之纎微年久则着虽有圣人莫能预定惟立穷源竟委之法随时实测取其精密附近之数折中用之每数十年而一修正斯为治厯之【通术而古圣钦若之道庶可复于今日矣】 地体 欲明天道之流行先达地球之圆体日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同时出入居东方者先见居西方者后见东西相去万八千里则东方人见日为午正者西方人见日为夘正也周天三百六十度每度当地上二百里是故推验大地经纬度分皆与天应测纬度者用午正日晷或测南北二极测经度则必于月蚀取之盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同月之食限分数天下皆同但入限有昼夜人有见不见耳此处食甚于子者处其东三十度必食甚于丑处其西三十度必食甚于亥是故相去九十度则此见食于子而彼见食于酉相去百八十度则此见食于子而彼当食于午虽食而不可见矣 设如午酉子卯为日天甲 乙丙丁为地球日在午人 居甲者日正在其天顶得 午时人居丙者日却在其 天顶对冲而得子时东去 甲九十度居丁者得酉时 而西去甲九十度居乙者 又得卯时矣夫居甲丙者 以酉乙丁卯为地平而居 乙丁者则又以午甲丙子 为地平盖大地皆以日到 天顶为午正也是故测东 西之经度者两地同测月 食亏复时刻或相约于同 夜测月与某星同经度分 为其时刻分秒相隔一时 则东西相去六千里如测 南北之纬度则于两地测 北极出地之度所差一度 即相去二百里此皆地球 圆体之明验也 厯元 治厯者必有起算之端是谓厯元其法有二一则逺溯古初冬至七曜齐元之日为元自汉太初以来诸厯所用之积年是也一则截算为元若元授时厯以至元辛巳天正冬至为元今时宪厯以崇祯元年戊辰天正冬至为元是也二者虽同为起算之端然积年实不如截算之简易也夫所谓七曜齐元者乃溯上古冬至之时岁月日时皆防甲子日月如合璧五星如聨珠是以为造厯之元使果有此虽万世遵用可矣而廿一史所载诸家厯元无一同者是其所用积年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已当其立法之初亦必有所验于近测遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年之逺庶几各曜之躔次可以齐同然既欲其上合厯元又欲其不违近测竒零分秒之数决不能齐势不能不稍为迁就以求其巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣杜预云治厯者当顺天以求合不当为合以验天积年之法是为合以验天也安得为立法之尽善乎若夫截算之法不用积年虚率而一以实测为凭诚为顺天求合之道治厯者所当取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻为厯元【即康熙二十二年十一月初五日子正初刻】七政皆从此起算其应用诸数皆系实测庶数有可征而理有所据矣 黄赤道 天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半中华之地面近北故北极常现南极常隠平分两极之中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地之度也赤道以北为内为隂以南为外为阳斜交赤道而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本盖太阳循黄道东行而出入于赤道之南北太隂与五星各循本道东行而又出入于黄道之南北故赤二道之位定则昼夜永短寒暑进退以及晦朔朢薄蚀朓朒皆从此可稽矣 经纬度 恒星七政各有经纬度盖天周弧线纵横交加即如布帛之经纬然故以东西为经南北为纬然有在天之经纬有随地之经纬在天则为赤道为黄道随地则为地平赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之防于南北极皆成全圜亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道俱九十度是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近则大距赤道逺则小其度亦三百六十俱与赤道之度相应也赤道之用有动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北于是乎限静者太虚之位亘古不移昼夜之时刻于是乎纪焉黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两防为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之南北者悉于是而辨焉故凡南北圏过赤道极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦必与黄道成直角而不能与赤道成直角惟过黄赤两极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成直角名为极至交圈又若赤道度为主而以黄道度准之则互形大小何也浑圆之体当腰之度最寛渐近两端则渐狭【距等圏之度也】二至时黄道以腰度当赤道距等圏之度故黄道一度当赤道一度有余二分时两道虽皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之先后皆由是而推焉至于地平经纬则以各人所居之天顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而变也地在天中体圆而小随人所立凡目力所极适得大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之为四方【子午卯酉】各相距九十度二十四分之为二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上防于天顶并皆九十度【从地平下至天顶之冲亦九十度】是为地平纬又名髙弧髙弧从地平正午上防天顶者其全圜必过赤道南北两极名为子午圏乃诸曜出入地平适中之界而北极之髙下晷影之长短中星之推移皆由是而测焉是故经纬相求黄赤互变因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃厯象之要务推测之所取准也 岁差 岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太阳躔某宿度至明年冬至时不能复躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之因立岁差法厯代治厯者宗焉而所定之数各家不同喜以五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之度征之天象恒星原有动移则新法之理长也【详恒星厯理】 御制厯象考成上编卷一 [book_title]上编卷二 钦定四库全书 御制厯象考成上编卷二 弧三角形上 弧三角形总论 弧三角形纲领 弧三角形凡例 正弧三角形论 正弧三角形图说 正弧三角形八线勾股比例图说 正弧三角形用次形图说 正弧三角形边角相求法 正弧三角形设例七则 弧三角形总论 弧三角形者球面弧线所成也古厯家有黄赤相准之率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为密但其法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若望等翻译厯书始有曲线三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相应之八线弧与弧相交即线与线相遇而勾股比例生焉于是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经厯象之法至此而备勾股之用至此而极矣 弧三角形纲领 凡弧三角形皆在球面球面之腰围一线谓之大圈如甲乙丙丁为子午规戊己为赤道庚辛为黄道壬乙癸丁为地平规如此之类皆为大圈其周度皆相等故可以相为比例凡圈皆有极极距圈皆九十度如赤道则有南北极黄道则有黄极若圈不相等则为距等圈如子丑二圈其四围之距大圈皆相等而与大圈平行虽亦为三百六十度其分则小于大圈距大圈愈逺距极愈近则其圈愈小至极一防而止不能与大圈为比例故弧三角形之角度边度皆大圈之度也 凡两弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度则必取其两弧各足象限九十度其对角之弧即为本角之度如甲乙丙丁为黄道甲戊丙己为赤道甲丙二处相交相距各半周一百八十度即如春秋分试于甲丙弧之各平分九十度处作丁己乙戊垂弧【凡言垂弧皆曲线画图于平面不能显出故作虚线以别之】则丁己弧为甲丁己三角形之甲角度亦为丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧为甲乙戊三角形之甲角度亦为丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距为春秋分之角度葢甲丙为极则丁己乙戊为腰圈所谓大圈者是也 凡弧三角形之三弧不足九十度者必引长至九十度其对角之弧方为本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度则将甲乙弧引长至丁甲丙弧引长至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引长至己乙丙弧引长至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引长至辛丙乙弧引长至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也 凡弧三角形其角适足九十度者为直角为正弧三角形甲图是也大于九十度者为钝角不及九十度者为鋭角俱为斜弧三角形乙图丙图是也因三边皆弧故与直线三角形不同直线三角形有一直角或一钝角余二角必锐弧三角形则有一直角二锐角者如丁形有一直角二钝角者如戊形有一直角一钝角一锐角者如己形有二直角一锐角者如庚形有二直角一钝角者如辛形有三角俱直者如壬形有一钝角二锐角者如癸形有三角俱钝者如子形有一锐角二钝角者如丑形而弧三角之形势大概尽于此数端矣 弧三角形凡例 一直线三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大于一百八十度但不得满五百四十度【因其有三钝角每一钝角不得满一百八十度故三钝角不得满五百四十度】 一直线三角形知两角即知其所余一角弧三角形虽知两角其余一角非算不知 一直线三角形之边小则咫尺大则千百万里实有尺度之可量弧三角形之边俱系弧度必在半周一百八十度之内但合三边不得满三百六十度【葢三百六十度则成全圜而不得成角矣】 一直线三角形之八线惟用于角弧三角形之八线并用于边角之八线与边之八线相求仍以勾股为比例也 一直线三角形两形之三边各相等者为相等形两形之三角各相等者为同式形弧三角形则但有相等形而无同式形葢以两形之三角同其三边必各相同也 一直线三角形可以三边求角不可以三角求边而弧三角形既可以三边求角又可以三角求边 一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其余理与直线三角形同 一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其余理与直线三角形同 一斜弧三角形作垂弧分为两正弧三角形与直线三角形作中垂线之理同 一弧三角形所知之三件有弧角相对者即用弧角为比例理与直线三角形同 一正弧三角形弧角不相对者则用次形法 一斜弧三角形知三边求角者用总较法知三角求边者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法 一斜弧三角形知两边一角而角在两边之间者用总较法或用垂弧法知两角一边而边在两角之间者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法或用垂弧法 正弧三角形论 正弧三角形必有一直角者葢因南北二极为赤道之枢纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道相交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形与象限相减之余度所成故用本形之余余切即用次形之正正切也其法可易弧为角易角为弧【若斜弧三角形可易大形为小形易大边为小边易钝角成锐角】边与角虽不相对可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之也今以黄道赤道与过极经圈所成之三角形设例而正弧三角形比例推算之法无不统于是矣 正弧三角形图说【设黄赤大距二十三度三十分】 如甲乙丙丁为赤道甲戊 丙己为黄道相交于甲丙 甲为春分丙为秋分戊为 夏至己为冬至庚为北极 辛为南极庚戊乙辛己丁 为二极二至交圈戊至乙 己至丁俱二十三度三十 分为黄赤大距今作庚壬 癸辛为过南北二极经圈 与黄道交于壬与赤道交 于癸成甲癸壬正弧三角 形甲为黄道赤道交角当 戊乙弧二十三度三十分 癸为直角葢庚辛二极即 赤道之极皆距赤道九十 度故凡过南北极经圈与 赤道所成之角皆为直角 其相当之弧皆九十度又 如子丑为黄道两极若从 子丑二处作子寅卯丑过 黄极经圈与黄道交于卯 与赤道交于寅成甲寅卯 正弧三角形则卯亦为直 角葢子丑为黄道两极皆 距黄道九十度故凡过黄 极经圈与黄道所成之角 皆为直角其相当之弧皆 九十度由此推之凡有一 圈必有两极其过两极圈 与本圈相交必为直角其 所成三角形必皆为正弧 三角形可知矣 正弧三角形八线勾股比例图说【设黄道四十五度】 甲为黄道赤道交角甲乙 为黄道四十五度甲丙为 赤道同升度乙丙为黄赤 距度成甲乙丙正弧三角 形甲丁甲戊皆象限丁戊为 黄赤大距二十三度三十分 即甲角度己为北极庚为南 极己丁庚壬为二极二至交 圈甲为春分丁为夏至辛为 秋分壬为冬至癸为地心己 乙丙庚为过南北二极经圈 其甲乙丙三角形之八线各 成相当比例之勾股形丁子 为甲角之正弦子癸为甲角 之余丑戊为甲角之正切 丑癸为甲角之正割戊癸丁 癸皆为半径成丑戊癸及丁 子癸同式两勾股形乙寅为 乙丙距纬弧之正乙卯为 甲乙黄道弧之正将两正 之寅卯 二处作虚线聨之成乙寅 卯勾股形【两正之末立于各半径寅卯 二处而寅卯二处皆未抵于弧界故不得为正今 以虚线聨之者为眀勾股之理也】辰丙为 乙丙距纬弧之正切丙己 为甲丙赤道弧之正将 正切正之辰巳二处作 虚线聨之成辰丙巳勾股 形午甲为甲乙黄道弧之 正切未甲为甲丙赤道弧 之正切将两正切之午未 二处作虚线聨之成午未 甲勾股形此三勾股形与 前二勾股形皆为同式形 夫甲癸辛原系一线如将 甲癸辛平视之则甲癸辛 合成一防而辛癸卯己甲 五角皆合为一角甲戊象 限亦成一直线而戊癸半径 寅卯聨线丙己正未甲正 切亦皆合为一线矣赤道既 平置则黄道斜倚従辛视之 甲丁象限亦成一直线而丁 癸半径乙卯正辰巳聨线 午甲正切亦皆合为一线矣 夫五勾股形既同角而各股 皆合为赤道之一线各皆 合为黄道之一线则各勾必 皆与赤道径线相交成直角 而自将平行故皆为相当比 例之勾股形而可以互相比 例也正弧三角形用次形图 说如甲乙丙 形可易为乙己丁次形葢 甲戊甲丁己丙 己戊四弧皆象限九十度 于甲丁象限弧内减去甲 乙弧余乙丁弧即次形之 乙丁边于己丙象限弧内 减去乙丙弧余己乙弧即 次形之己乙边于己戊象 限弧内减去丁戊弧【即甲角度】余己丁弧即次形之己丁 边于甲戊象限弧内减去 甲丙弧余丙戊弧即次形 之己角度是次形之三边 一角即本形三边一角之 余度而用形之余余 切实即用次形之正正 切也次形之丁角为直 角与本形之丙角等乙为 交角其度又等故算乙己 丁形即得甲乙丙形也 又甲乙丙形可易为己庚辛 次形葢庚丁为象限弧与己 戊等则庚己与丁戊等故本 形【丁戊即甲角度】之甲角即次形 之庚己边乙辛壬庚乙壬皆 为象限弧与甲丁等则壬丁 即与甲乙等故本形之甲乙 边即次形之庚角乙壬与乙 辛既皆【庚壬与庚丁俱象限故壬丁弧为庚 角度】为象限则辛壬弧即乙角 之度故象限内减去乙角之 辛壬弧余即次形之庚辛边 丙戊弧即己角之度故于甲 戊象限弧内减去甲丙弧余 丙戊弧即次形之己角又次 形之辛角为直角与本形之 丙角等次形之丁戊即甲角 度庚壬与庚丁俱象限故壬 辛己边与本形之乙丙边等 故【辛乙与己丙等故辛己与乙丙等】算己 庚辛形亦得甲乙丙形也辛 乙 正弧三角形边角相求法 正弧三角形边角相求错综变换共三十则用黄赤交角所生八线勾股比例者九用黄道交极圏角所生八线勾股比例者亦九用次形者十二依题比类列目于前按法循序设问于后以便观览 有直角有黄赤交角有黄道求距纬【第一】 有直角有黄赤交角有黄道求赤道【并见第一】有直角有黄赤交角有黄道求黄道交极圏角【并见第一】 有直角有黄赤交角有赤道求距纬【第二】 有直角有黄赤交角有赤道求黄道【并见第二】有直角有黄赤交角有赤道求黄道交极圏角【并见第二】 有直角有黄赤交角有距纬求黄道【第三】 有直角有黄赤交角有距纬求赤道【并见第三】有直角有黄赤交角有距纬求黄道交极圏角【并见第三】 有直角有黄道有赤道求黄赤交角【第四】 有直角有黄道有赤道求距纬【道并见第】 有直角有黄道有赤道求黄道交极圏角【四并见第】有直角有黄道有距纬求黄赤交角【四第】 有直角有黄道有距纬求赤道【五并见第】 有直角有黄道有距纬求黄道交极圏角【五并见第】有直角有赤道有距纬求黄赤交角【五第】 有直角有赤道有距纬求黄道【六并见第】 有直角有赤道有距纬求黄道交极圏角【六并见第】有直角有黄道交极圏角有黄道求赤道【六与第一之理】 有直角有黄道交极圏角有黄道求距纬【同与第一之理】 有直角有黄道交极圏角有黄道求黄赤交角【同与第一之理】 有直角有黄道交极圏角有距纬求赤道【同与第二之理】 【同】有直角有黄道交极圏角有距纬求黄【与第二之理同】 有直角有黄道交极圏角有距纬求黄赤交角【与第二之理同】 有直角有黄道交极圏角有赤道求黄道【与第三之理同】 有直角有黄道交极圏角有赤道求距纬【与第三之理同】 有直角有黄道交极圏角有赤道求黄赤交角【与第三之理同】 有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求黄道【第七】 有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求赤道【并见第七】 有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求距纬【并见第七】 设如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距纬度及赤道度并黄道交极圏角各防何【第一】 甲乙丙正弧三角形甲为 黄赤交角丙为直角甲乙 为黄道弧求乙丙距纬弧则 以丙直角为对所知之角其 正即半径一千万为一率 甲角二十三度三十分为对 所求之角其正三百九十 八万七千四百九十一为二 率甲乙弧四十五度为所知 之边其正七百零七万一 千零六十八为三率求得四 率二百八十一万九千五百 八十二为乙丙弧之正检 表得一十六度二十二分三 十八秒即乙丙距纬弧之度 也如图丁癸为半径丁子为 甲角之正乙卯为甲乙弧 之正乙寅为乙丙弧之正 丁子癸 勾股形与乙寅卯勾股形为 同式形故以丁癸与丁子之 比同于乙卯与乙寅之比也 求甲丙 赤道度则以半径一千万为 一率甲角二十三度三十分 之余九百一十七万零六 百零一为二率甲乙弧四十 五度之正切一千万为三率 仍得四率九百一十七万零 六百零一为甲丙弧之正切 检表得四十二度三十一分 二十二秒即甲丙赤道弧之 度也如图丁癸为半径子癸 为甲角之余午甲为甲乙 弧之正切未甲为甲丙弧之 正切丁子癸 勾股形与午未甲勾股形为 同式形故以丁癸与子癸之 比同于午甲与未甲之比也 求黄道 交极圈之乙角则用次形法 以甲乙弧四十五度之余 七百零七万一千零六十八 为一率甲角二十三度三十 分之余切二千二百九十九 万八千四百二十五为二率 半径一千万为三率求得四 率三千二百五十二万四千 六百八十三为乙角之正切 检表得七十二度五十四分 三十四秒即黄道交极圈之 乙角度也如图甲乙丙正弧 三角形之次 形为乙己丁葢甲乙弧之余 即乙己丁次形之丁乙弧 之正为丁子而甲角之余 切即乙己丁次形之己丁弧 之正切为丑丁又乙角之正 切亦即乙己丁次形之乙角 之正切为寅壬而丑丁子勾 股形与寅壬癸勾股形为同 式形故以丁子与丑丁之比 同于壬癸与寅壬之比也此 法用乙己丁次形有丁乙边 己丁边及丁直角求乙角即 与【甲乙余弧】有赤道【甲角余弧】有距 纬求黄赤交角之理同葢乙 角即如黄赤交角丁乙即如 赤道己乙即如黄道己丁即 如距纬其八甲乙余弧甲角 余弧 线所成之勾股皆由乙角 而生故其相当之比例皆 同也 设如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距纬度及黄道度并黄道交极圈角各防何【第二】 甲乙丙正弧三角形甲为 黄赤交角丙为直角甲丙 为赤道弧求乙丙距纬弧 则以半径一千万为一率 甲角二十三度三十分之 正切四百三十四万八千 一百二十四为二率甲丙 弧四十二度三十一分二 十二秒之正六百七十 五万八千八百二十一为 三率求得四率二百九十 三万八千八百一十九为 乙丙弧之正切检表得一十 六度二十二分三十八秒即 乙丙距纬弧之度也如图戊 癸为半径丑戊为甲角之正 切丙己为甲丙弧之正辰 丙为乙丙弧之正切丑戊癸 勾股形与辰丙己勾股形为 同式形故以戊癸与丑戊之 比同于丙已与辰丙之比也 求甲乙黄道度则以甲 角二十三度三十分之余 九百一十七万零六百零一 为一率半径一千万为二率 甲丙弧四十二度三十一分 二十二秒之正切九百一十 七万零六百零一为三率仍 得四率一千 万为甲乙弧之正切检表得 四十五度即甲乙黄道弧之 度也如图子癸为甲角之余 丁癸为半径未甲为甲丙 弧之正切午甲为甲乙弧之 正切丁子癸勾股形与午未 甲勾股形为同式形故以子 癸与丁癸之比同于未甲与 午甲之比也求黄道交极圈 之乙角 则用次形法以半径一千万 为一率甲丙弧四十二度三 十一分二十二秘之余七 百三十七万零九十八为二 率甲角二十三度三十分之 正三百九十八万七千四 百九十一为 三率求得四率二百九十三 万八千八百二十为乙角之 余检表得七十二度五十 四分三十四秒即黄道交极 圈之乙角度也如图甲乙丙 正弧三角形之次形为己庚 辛葢甲丙弧之余即己庚 辛次形之己角之正为卯 辰而甲角之正亦即己庚 辛次形之己庚弧之正为 庚己又乙角之余即己庚 辛次形之庚辛弧之正为 庚午而庚午巳勾股形与卯 辰癸勾股形为同式形故卯 癸与卯辰之比同于庚己与 庚午之比也此法用己庚辛 次形有己 角【甲丙余弧】己庚边【与甲角等】及辛 直角求庚辛边【乙角余弧】即与 有黄赤交角有黄道求距 纬之理同葢己角即如黄 赤交角己庚即如黄道己 辛即如赤道庚辛即如距 纬其八线所成之勾股皆 由己角而生故其相当之 比例皆同也 设如黄赤交角二十三度三十分距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度并黄道交极圈角各防何【第三】 甲乙丙正弧三角形甲为 黄赤交角丙为直角乙丙 为距纬弧求甲乙黄道弧 则以甲角二十三度三十 分为对所知之角其正 三百九十八万七千四百 九十一为一率丙直角为对 所求之角其正即半径一 千万为二率乙丙弧一十六 度二十二分三十八秘为所 知之边其正二百八十一 万九千五百八十二为三率 求得四率七百零七万一千 零六十八为甲乙弧之正 检表得四十五度即甲乙黄 道弧之度也如图丁子为甲 角之正丁癸为半径乙寅 为乙丙弧之正乙卯为甲 乙弧之正丁子癸勾股形 与乙寅卯勾股形为同式形 故丁子与丁癸之比同于乙 寅与乙卯之比也 求甲丙赤道度则以甲角二 十三度三十分之正切四百 三十四万八千一百二十四 为一率半径一千万为二率 乙丙弧一十六度二十二分 三十八秒之正切二百九十 三万八千八百一十九为三 率求得四率六百七十五万 八千八百二十一为甲丙弧 之正检表得四十二度三 十一分二十二秒即甲丙赤 道弧之度也如图丑戊为甲 角之正切戊癸为半径辰丙 为乙丙弧之正切丙己为甲 丙弧之正丑戊癸勾股形 与辰丙己勾股形为同式形 故丑戊与 戊癸之丙同于辰丙与丙己 之比也求 黄道交极圈之乙角则用次 形法以乙丙弧一十六度二 十二分三十八秒之余九 百五十九万四千二百六十 七为一率甲角二十三度三 十分之余九百一十七万 零六百零一为二率半径一 千万为三率求得四率九百 五十五万八千四百一十七 为乙角之正检表得七十 二度五十四分三十四秘即 黄道交极圈之乙角度也如 图甲乙丙正弧三角形之次 形为乙己丁葢乙丙弧之余 即乙己丁 次形之己乙弧之正为 己未而甲角之余即乙 己丁次形之己丁弧之正 为巳申又乙角之正 亦即乙己丁次形之乙角 之正为辛酉而巳申未 勾股形与辛酉癸勾股形 为同式形故巳未与巳申 之比同于辛癸与辛酉之 比也 设如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距纬度并黄道交极圈角各几何【第四】 甲乙丙正弧三角形丙为 直角甲乙为黄道弧甲丙 为赤道弧求黄赤相交之 甲角则以甲乙弧四十五 度之正切一千万为一率 甲丙弧四十二度三十一分 二十二秒之正切九百一十 七万零六百零一为二率半 径一千万为三率仍得四率 九百一十七万零六百零一 为甲角之余检表得二十 三度三十分即黄赤相交之 甲角度也如图午甲为甲乙 弧之正切未甲为甲丙弧之 正切丁癸为半径子癸为甲 角之余午未甲勾股形与 丁子癸勾股形为同式形故 午甲与未甲之比同于丁癸 与子癸之比也求乙丙距纬 度则用次形法以甲丙 弧四十二度三十一分二十 二秒之余 七百三十七万零九十八为 一率半径一千万为二率甲 乙弧四十五度之余七百 零七万一千零六十八为三 率求得四率九百五十九万 四千二百六十六为乙丙弧 之余检表得一十六度二 十二分三十八秒即乙丙距 纬弧之度也如图甲乙丙正 弧三角形之次形为乙己丁 葢甲丙弧之余即乙己丁 次形之己角之正为丙辰 而甲乙弧之余即乙己丁 次形之乙丁弧之正为乙 子又乙丙弧之余即乙己 丁次形之乙己弧之正为 乙未而丙 辰癸勾股形与乙子未勾股 形为同式形故丙辰与丙癸 之比同于乙子与乙未之比 也此法用乙己丁次形有己 角乙丁边及【甲丙余弧】丁直角 【甲乙余弧】求乙己边即与有黄 【乙丙余弧】赤交角有距纬求黄 道之理同葢己角即如黄赤 交角己乙即如黄道己丁即 如赤道乙丁即如距纬其八 线所成之勾股皆由己角而 生故其相当之比例皆同也 求黄道交极圈之乙角 则以甲乙弧四十五度为对 所知之边其正七百零七 万一千零六十八为一率甲 丙弧四十二度三十甲丙余 弧甲乙余弧乙丙余弧 一分二十二秒为对所求之 边其正六百七十五万八 千八百二十一为二率丙直 角九十度为所知之角其正 即半径一千万为三率求 得四率九百五十五万八千 四百一十六为乙角之正 检表得七十二度五十四分 三十四秒即黄道交极圈之 乙角度也如图甲申为甲乙 弧之正甲酉为甲丙弧之 正戌癸为半径戌亥为乙 角之正甲酉申勾股形与 戌亥癸勾股形为同式形故 甲申与甲酉之比同于戌癸 与戌亥之比也此与有黄道 有距纬求 黄赤交角之理同葢乙角 即如黄赤交角甲乙为黄 道乙丙即如赤道甲丙即 如距纬其八线所成之勾 股皆由乙角而生故其相 当之比例皆同也 设如黄道弧四十五度距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度并黄道交极圈角各防何【第五】 甲乙丙正弧三角形丙为 直角甲乙为黄道弧乙丙 为距纬弧求黄赤相交之 甲角则以甲乙弧四十五 度为对所知之边其正 七百零七万一千零六十 八为一率乙丙弧一十六 度二十二分三十八秒为 对所求之边其正二百 八十一万九千五百八十二 为二率丙直角九十度为所 知之角其正即半径一千 万为三率求得四率三百九 十八万七千四百九十一为 甲角之正检表得二十三 度三十分即黄赤相交之甲 角度也如图乙卯为甲乙弧 之正乙寅为乙丙弧之正 丁癸为半径丁子为甲角 之正乙寅卯勾股形与丁 子癸勾股形为同式形故乙 卯与乙寅之比同于丁癸与 丁子之比也求甲丙赤道度 则用次形法以乙丙 弧一十六度二十二分三十 八秒之余 九百五十九万四千二百六 十七为一率甲乙弧四十五 度之余七百零七万一千 零六十八为二率半径一千 万为三率求得四率七百三 十七万零一百一十三为甲 丙弧之余检表得四十二 度三十一分二十二秒即甲 丙赤道弧之度也如图甲乙 丙正弧三角形之次形为乙 己丁葢乙丙弧之余即乙 己丁次形之乙己弧之正 为乙未而甲乙弧之余即 乙己丁次形之乙丁弧之正 为乙子又甲丙弧之余 即乙己丁次形之己角之正 为丙辰 而乙子未勾股形与丙辰 癸勾股形为同式形故乙 未与乙子之比同于丙癸 与丙辰之比也 求黄道交极圈之乙角则 与前第四问有黄道有赤 道求黄赤交角之理同葢 乙角即如黄赤交角甲乙 为黄道乙丙即如赤道其 勾股比例同也 设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度并黄道交极圈角各防何【第六】 甲乙丙正弧三角形丙为 直角甲丙为赤道弧乙丙 为距纬弧求黄赤相交之 甲角则以甲丙弧四十二 度三十一分二十二秒之 正六百七十五万八千八 百二十一为一率乙丙弧一 十六度二十二分三十八秒 之正切二百九十三万八千 八百一十九为二率半径一 千万为三率求得四率四百 三十四万八千一百零九为 甲角之正切检表得二十三 度三十分即黄赤相交之甲 角度也如图丙己为甲丙弧 之正辰丙为乙丙弧之正 切戊癸为半径丑戊为甲角 之正切辰丙己勾股形与丑 戊癸勾股形为同式形故丙 己与辰丙之比同于戊癸与 丑戊之比也求甲乙黄道度 则用次形 法以半径一千万为一率甲 丙弧四十二度三十一分二 十二秒之余七百三十七 万零九十八为二率乙丙弧 一十六度二十二分三十八 秒之余九百五十九万四 千二百六十七为三率求得 四率七百零七万一千零六 十八为甲乙弧之余检表 得四十五度即甲乙黄道弧 之度也如图甲乙丙正弧三 角形之次形为乙己丁葢甲 丙弧之余即乙己丁次形 之己角之正为丙辰而乙 丙弧之余即乙己丁次形 之乙己弧之正为乙未又 甲乙弧之 余即乙己丁次形之乙 丁弧之正为乙子而丙 辰癸勾股形与乙子未勾 股形为同式形故丙癸与 丙辰之比同于乙未与乙 子之比也 求黄道交极圈之乙角则 与求黄赤交角之理同葢 乙角即如黄赤交角乙丙 即如赤道甲丙即如距纬 其勾股比例同也 设如黄赤交角二十三度三十分黄道交极圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度并距纬度各防何【第七】 甲乙丙正弧三角形甲为 黄赤交角丙为直角乙为 黄道交极圈角求甲乙黄 道弧则用次形法以乙角 七十二度五十四分三十四 秒之正切三千二百五十二 万四千六百八十三为一率 半径一千万为二率甲角二 十三度三十分之余切二千 二百九十九万八千四百二 十五为三率求得四率七百 零七万一千零六十八为甲 乙弧之余检表得四十五 度即甲乙黄道弧之度也如 图甲乙丙正弧三角形之次 形为乙己丁葢乙角之正切 亦即乙己丁次形之乙角之 正切为寅壬而甲角之余切 即乙己丁次形之丁己弧之 正切为丑丁又甲乙弧之余 即乙己 丁次形之丁乙弧之正为 丁子而寅壬癸勾股形与丑 丁子勾股形为同式形故寅 壬与壬癸之比同于丑丁与 丁子之比也求甲丙赤 道弧亦用次形法以甲角二 十三度三十分之正三百 九十八万七千四百九十一 为一率乙角七十二度五十 四分三十四秒之余二百 九十三万八千八百二十为 二率半径一千万为三率求 得四率七百三十七万零九 十八为甲丙弧之余检表 得四十二度三十一分二十 二秒即甲丙赤道弧之度也 如图甲乙丙 正弧三角形之次形为己庚 辛葢甲角之正亦即己庚 辛次形之庚己弧之正为 庚己而乙角之余即己庚 辛次形之庚辛弧之正为 庚午又甲丙弧之余即己 庚辛次形之己角之正为 卯辰而庚午己勾股形与卯 辰癸勾股形为同式形故庚 己与庚午之比同于卯癸与 卯辰之比也求乙丙距纬弧 亦用次形法 以乙角七十二度五十四分 三十四秒之正九百五十 五万八千四百一十七为一 率半径一千万为二率甲角 二十三度三 十分之余九百一十七万 零六百零一为三率求得四 率九百五十九万四千二百 六十七为乙丙弧之余检 表得一十六度二十二分三 十八秒即乙丙距纬弧之度 也如图甲乙丙正弧三角形 之次形为乙己丁葢乙角之 正亦即乙己丁次形之乙 角之正为辛酉而甲角之 余即乙己丁次形之己丁 弧之正为巳申又乙丙弧 之余即乙己丁次形之己 乙弧之正为己未而辛酉 癸勾股形与巳申未勾股形 为同式形故辛酉与辛癸之 比同于巳 【象考成上编卷二】 申与巳未之比也御制厯 [book_title]上编卷三 <子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成 钦定四库全书 御制歴象考成上编卷三 弧三角形下 斜弧三角形论 斜弧三角形边角比例法 斜弧三角形作垂弧法 斜弧三角形用总较法【次形法附】 斜弧三角形设例八则 斜弧三角形论 弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣 斜弧三角形边角比例法 凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正与对所求之甲乙边正之比同于所知之甲角正与所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正与对所求之丁角正之比同于所知之丁戊边正与所求之戊己边正之比也 斜弧三角形作垂弧法 凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正【即半径】与甲角正之比同于甲乙边正与乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正与甲丁边正之比同于丁角正【即半径】与乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余之比而得乙分角以丁角正【即半径】与乙分角正之比同于乙丙边正与丁丙边正之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正【即半径】与庚角正之比同于己庚边正与己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半径与庚角余之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正与庚辛边正之比同于辛角正【即半径】与己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边之比而得戊辛总边以己辛垂弧正与戊辛边正之比同于戊角正与己角之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也 斜弧三角形用总较法 凡斜弧三角形知三边求 角者则用总较法以角傍 之两边相加为总弧相减 为较弧各取其余相加 减【总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余 相减若一过象限一不过象限则两余相加其或 过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象 限同】折半为中数又以对边 之矢与较弧之矢相减余 为矢较乃以中数与矢较 为比同于半径与所求角 之正矢之比也如知两边 一角而角在两边之间者 以半径与所知角之正矢 为比同于中数与矢较之 比既得矢较与较弧之矢 相加即得对边之矢也如 甲乙丙斜弧三角形有三 边求甲角则以甲角傍之 甲乙甲丙二边相加得乙 丁【甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故 其度相等】为总弧其正为丁 己余为己庚甲乙与甲 丙相减余乙戊为较弧其 正为戊辛余为辛庚 两余相加得己辛【乙丁总弧 过象限乙戊较弧不过象限其两余在圜心之两 边故相加】折半得辛壬与癸子 等为中数乙丙对边与乙 丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截 故其度相等】其正为丑卯余 为卯庚正矢为乙卯以 乙卯与乙戊较弧之正矢 乙辛相减余辛卯与辰巳 等为矢较戊辰巳与戊癸 子为同式两勾股形故癸 子与辰巳之比同于戊子 与戊巳之比也又午庚为 半径戊子为距等圈之半 径午未与戊己两段同为 甲丙申大圈所分则戊子 与戊己之比原同于午庚 与午未之比是以中数癸 子与矢较辰巳之比即同 于半径午庚与甲角正矢 午未之比也以午未与午 庚半径相减余未庚为甲 角之余检表即得甲角 所当午申弧之度也若先 有甲角及甲乙甲丙二边 求乙丙对边则以半径午 庚与甲角正矢午未之比 即同于中数癸子与矢较 辰巳之比既得辰巳与辛 卯等与乙戊较弧之正矢 乙辛相加得乙卯为乙丙 对边之正矢也如有甲乙 甲丙乙丙三边求乙角则 以乙角傍甲乙乙丙二边 相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同为 戊丁距等圈所截故其度相等】为总弧其 正为丁己余为己庚 甲乙与乙丙相减余甲戊 为较弧其正为戊辛余 为辛庚两余相减余 辛己【甲丁总弧甲戊较弧皆不过象限其两余 同在圜心之一边故相减】折半得辛 壬与癸子等为中数甲丙 对边与甲丑等【甲丙与甲丑两弧同 为寅丑距等圈所截故其度相等】其正 为丑卯余为卯庚正矢 为甲卯以甲卯与甲戊较 弧之正矢甲辛相减余辛 卯与辰巳等为矢较戊癸 子与戊辰巳为同式两勾 股形故癸子与辰巳之比 同于戊子与戊巳之比也 又午庚为半径戊子为距 等圈之半径戊巳与午未 两段同为乙丙申大圈所 分则戊子与戊巳之比原 同于午庚与午未之比是 以中数癸子与矢较辰巳 之比即同于半径午庚与 乙角大矢午未之比也【凡钝 角所用诸线皆与外角同惟矢则有正矢大矢之别 如庚未为乙锐角所当申酉弧之余亦为乙钝角 所当午申弧之余检表锐角即得本角度钝角与 半周相减亦即得本角度而未酉为乙锐角之正矢 乃于酉庚半径内减庚未余午未为乙钝角之大 矢乃于午庚半径加庚未余也此正矢大矢之别 过弧亦然】于午未大矢内减午 庚半径余庚未为乙角之 余检表得乙外角度与 半周相减余即乙钝角之 度也若先有乙钝角及甲 乙乙丙二边求甲丙对边 则以半径午庚与乙角大 矢午未之比即同于中数 癸子与矢较辰巳之比既 得辰巳与辛卯等与甲戊 较弧之正矢甲辛相加得 甲卯为甲丙对边之正矢 也 斜弧三角形知三角求边 者则用次形法如甲乙丙 形可易为丁戊己次形葢 甲角之度当庚辛弧而庚 辛与己戊等【庚己与辛戊皆象限故庚 辛与己戊等】故本形之甲角即 次形之己戊边乙外角之 度当壬癸弧而壬癸与己 丁等【壬己与癸丁皆象限故壬癸与己丁等】故本形之乙外角即次形 之己丁边丙角之度当子 丑弧而子丑与戊丁等【子戊 与丑丁皆象限故子丑与戊丁等】故本形 之丙角即次形之戊丁边 是本形之三角即次形之 三边也又次形丁角之度 当癸丑弧而癸丑与乙丙 等【丙丑与乙癸皆象限故癸丑与乙丙等】故 次形之丁角即本形之乙 丙边戊外角之度当辛子 弧而辛子与甲丙等【丙子与甲 辛皆象限故辛子与甲丙等】故次形之 戊外角即本形之甲丙边 己角之度当庚壬弧而庚 壬与甲乙等【乙壬与甲庚皆象限故庚 壬与甲乙等】故次形之己角即 本形之甲乙边是本形之 三边即次形之三角也故 用丁己戊次形仍用总较 法算之求得次形之三角 即得本形之三边也如有 乙角丙角及乙丙边而求 甲角亦用丁戊己次形有 己丁边戊丁边及丁角仍 用总较法算之求得己戊 边即甲角也 设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道纬度几何 甲乙丙三角形甲为北极 乙为天顶丙为太阳乙丁 戊己为子午经圏乙丙癸 戊为地平经圏丁己为地 平庚辛为赤道庚壬为申 正初刻距午正赤道六十 度即甲角丙癸为太阳髙 三十二度【即地平纬度一名髙弧】与 乙癸象限相减余太阳距 天顶五十八度即乙丙边 丁癸为地平经度偏西八 十一度四十二分四十八 秒与丁己半周相减余癸 己九十八度一十七分一 十二秒即乙角丙壬为太 阳距赤道纬度与甲壬象 限相减余甲丙边为太阳 距北极度故用甲乙丙三 角形有甲乙二角及乙丙 边求甲丙边以甲角六十 度为对所知之角其正 八百六十六万零二百五 十四为一率乙角九十八 度一十七分一十二秒为 对所求之角其正九百 八十九万五千五百九十 三为二率乙丙五十八度 为所知之边其正八百 四十八万零四百八十一 为三率求得四率九百六 十九万零一百七十六为 所求甲丙边之正检表 得七十五度四十二分零 一秒即甲丙弧之度与九 十度相减余一十四度一 十七分五十九秒即太阳 距赤道北之纬度也此法 用边角相比例与直线三 角形同但直线三角形以 角之正与边相比【见数理精 蕴第十七卷】此以角之正与 边之正相比其比例之 理一也又以正弧之理明 之试将甲乙弧引长至丁 自丙角作丙丁垂弧则成 甲丁丙乙丁丙两正弧三 角形先求乙丁丙形丁角 正【即半径】为一率乙角正 为二率乙丙正为三 率丙丁正为四率此第 一比例也次求甲丁丙形 甲角正为一率丁角正 【即半径】为二率丙丁正 为三率甲丙正为四率 此第二比例也然第二比 例之二率三率即第一比 例之一率四率而二率三 率相乘与一率四率相乘 之数等故用第一比例之 二率三率而用第二比例 之一率即得第二比例之 四率此有对角求对边之 法也 设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒测得髙弧三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求系何时刻 甲乙丙三角形甲为北极 乙为天顶丙为太阳丙壬 为太阳距赤道北一十四 度一十七分五十九秒甲 丙即为太阳距北极七十 五度四十二分零一秒丙 癸为太阳髙三十二度乙 丙即为太阳距天顶五十 八度丁癸为地平经度偏 西八十一度四十二分四 十八秒癸己为九十八度 一十七分一十二秒即乙 角庚壬为太阳距午正赤 道度即甲角故用甲乙丙 三角形有乙角及甲丙乙 丙二边求甲角以甲丙七 十五度四十二分零一秒 为对所知之边其正九 百六十九万零一百七十 六为一率乙丙五十八度 为对所求之边其正八 百四十八万零四百八十 一为二率乙角九十八度 一十七分一十二秒为所 知之角其正九百八十 九万五千五百九十三为 三率求得四率八百六十 六万零二百五十四为所 求甲角之正检表得六 十度即甲角度以六十度 变得二时从午正初刻后 计之【因偏西故为午正后】为申正初 刻也此有对边求对角之 法也 设如北极出地四十度申正初刻测得太阳髙三十二度求太阳距赤道纬度及地平经度各几何 甲乙丙三角形甲为北极 乙为天顶丙为太阳甲己 为北极出地四十度甲乙 即为北极距天顶五十度 庚壬为申正初刻距午正 赤道六十度即甲角丙癸 为太阳髙三十二度乙丙 即为太阳距天顶五十八 度丙壬为太阳距赤道纬 度甲丙为其余丁癸为地 平经度即乙角之外角【甲乙 丙形之乙角当癸己弧其癸乙丁外角即当丁癸弧】故用甲乙丙三角形有甲 角及甲乙乙丙二边求甲 丙边及乙角乃自乙角作 乙丁垂弧分为甲乙丁丙 乙丁两正弧三角形先求 甲乙丁形以丁角正即 半径一千万为一率甲角 六十度之正八百六十 六万零二百五十四为二 率甲乙五十度之正七 百六十六万零四百四十 四为三率求得四率六百 六十三万四千一百三十 九为乙丁弧之正检表 得四十一度三十三分三 十九秒即乙丁弧之度也 【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求距纬之法 葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黄道甲丁即如赤 道乙丁即如距纬】又以半径一千 万为一率甲角六十度之 余五百万为二率甲乙 五十度之正切一千一百 九十一万七千五百三十 六为三率求得四率五百 九十五万八千七百六十 八为甲丁弧之正切检表 得三十度四十七分二十 三秒即甲丁弧之度也【此即 正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道之法】又 以甲乙五十度之正七 百六十六万零四百四十 四为一率甲丁三十度四 十七分二十三秒之正 五百一十一万八千八百 八十八为二率丁角正 即半径一千万为三率求 得四率六百六十八万二 千二百三十四为乙分角 之正检表得四十一度 五十五分四十八秒即乙 分角之度也【此即正弧三角形有黄道 有赤道求黄道交极圏角之法】次求乙丙 丁形以乙丁四十一度三 十三分三十九秒之余 七百四十八万二千五百 二十六为一率乙丙五十 八度之余五百二十九 万九千一百九十三为二 率半径一千万为三率求 得四率七百零八万二千 零九十一为丙丁弧之余 检表得四十四度五十 四分三十八秒即丙丁弧 之度也【此即正弧三角形有黄道有距纬求 赤道之法葢丙角即如黄赤交角乙丙即如黄道丙 丁即如赤道乙丁即如距纬】又以乙丙 五十八度之正八百四 十八万零四百八十一为 一率丙丁四十四度五十 四分三十八秒之正七 百零六万零二十七为二 率丁角正即半径一千 万为三率求得四率八百 三十二万五千零三十为 乙分角之正检表得五 十六度二十一分二十四 秒即乙分角之度也【此即正弧 三角形有黄道有距纬求黄赤交角之法葢乙分角 即如黄赤交角乙丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁 即如距纬】乃以甲丁丙丁相并 得甲丙七十五度四十二 分零一秒即太阳距北极 度与九十度相减余一十 四度一十七分五十九秒 即太阳距赤道北之纬度 【如甲丙大于九十度则减去九十度余为太阳距赤】 【道南之纬度】以两乙分角相并 得九十八度一十七分一 十二秒与一百八十度相 减余八十一度四十二分 四十八秒即太阳距午正 偏西之地平经度也此作 垂弧于形内之法也 设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求北极出地度几何 甲乙丙三角形甲为北极 乙为天顶丙为太阳丙癸 为太阳髙三十二度乙丙 即为太阳距天顶五十八 度庚壬为申正初刻距午 正赤道六十度即甲角丁 癸为地平经度偏西八十 一度四十二分四十八秒 即乙角之外角甲己为北 极出地度甲乙为其余故 用甲乙丙三角形有甲乙 二角及乙丙边求甲乙边 乃自丙角作丙丁垂弧补 成甲丙丁乙丙丁两正弧 三角形先求乙丙丁形以 丁角正即半径一千万 为一率乙角九十八度一 十七分一十二秒之正 九百八十九万五千五百 九十三为二率乙丙五十 八度之正八百四十八 万零四百八十一为三率 求得四率八百三十九万 一千九百三十九为丙丁 弧之正检表得五十七 度零三分一十八秒即丙 丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤 交角有黄道求距纬之法葢乙角即如黄赤交角乙 丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁即如距纬】又 以半径一千万为一率乙 角九十八度一十七分一 十二秒之余一百四十 四万一千二百六十为二 率乙丙五十八度之正切 一千六百万零三千三百 四十五为三率求得四率 二百三十万六千四百九 十八为乙丁弧之正切检 表得一十二度五十九分 一十七秒即乙丁弧之度 也【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道 之法】次求甲丙丁形以甲角 六十度之正切一千七百 三十二万零五百零八为 一率半径一千万为二率 丙丁五十七度零三分一 十八秒之正切一千五百 四十三万一千零五十九 为三率求得四率八百九 十万九千一百二十六为 甲丁弧之正检表得六 十二度五十九分一十七 秒即甲丁弧之度也【此即正弧 三角形有黄赤交角有距纬求赤道之法葢甲角即 如黄赤交角甲丙即如黄道甲丁即如赤道丙丁即 如距纬】乃以甲丁与乙丁相 减余甲乙五十度即北极 距天顶又与九十度相减 余四十度即北极出地度 也【若求丙角则求得丙总角与丙虚角相减即得】此作垂弧于形外之法也 设如大角星黄道纬北三十一度零三分赤道纬北二十度五十八分四十七秒黄极赤极【即北极】相距二十三度三十分求黄道经度赤道经度各几何 甲乙丙三角形甲为赤极 【即北极】乙为黄极甲乙相距 二十三度三十分丙为大 角星丁戊为黄道己庚为 赤道丙辛为黄道纬北三 十一度零三分乙丙即为 星距黄极五十八度五十 七分丙壬为赤道纬北二 十度五十八分四十七秒 甲丙即为星距赤极六十 九度零一分一十三秒丁 辛为星距夏至后黄道经 度即乙角己壬为星距夏 至后赤道经度即甲角之 外角故用甲乙丙三角形 有甲乙甲丙乙丙三边求 甲乙二角先求乙角则以 夹乙角之甲乙边二十三 度三十分与乙丙边五十 八度五十七分相加得八 十二度二十七分为总弧 其余一百三十一万三 千九百一十三又以甲乙 乙丙两边相减余三十五 度二十七分为较弧其余 八百一十四万六千二 百二十两余相减【总弧较弧 俱不过象限或俱过象限则两余相减若一过象 限一不过象限则两余相加其或过二象限者与 过一象限同过三象限者与不过象限同】余六 百八十三万二千三百零 七折半得三百四十一万 六千一百五十四为中数 为一率以对乙角之甲丙 边六十九度零一分一十 三秒之正矢六百四十一 万九千六百二十五【余与半 径相减得矢度】与较弧三十五度 二十七分之正矢一百八 十五万三千七百八十相 减余四百五十六万五千 八百四十五为矢较为二 率半径一千万为三率求 得四率一千三百三十六 万五千四百五十四为乙 角之大矢【凡矢度过于半径者为大矢其 角即为钝角】内减半径一千万 余三百三十六万五千四 百五十四为乙角之余 检表得七十度二十分与 半周相减余一百零九度 四十分为乙角度即星距 夏至后黄道经度自夏至 未宫初度逆计之为卯宫 一十九度四十分也如图 甲乙与乙丙相加得甲癸 为总弧【乙丙乙癸乙子三弧同为癸子距等 圈所截故其度相等】其正为癸丑 余为丑寅甲乙与乙丙 相减余甲子为较弧其正 为子卯余为卯寅以 丑寅与卯寅两余相减 余卯丑折半得卯辰与巳 午等为中数又对乙角之 甲丙边与甲未等其正 为未申余为申寅正矢 为甲申以甲申与甲子较 弧之正矢甲卯相减余卯 申与酉戌等为矢较遂成 子酉戌与子巳午同式两 勾股形故巳午与酉戌之 比必同于子午与子戌之 比也又丁寅为半径子午 为距等圈之半径子戌与 丁亥两段同为乙丙辛黄 道经圈之所分则子午与 子戌之比原同于丁寅与 丁亥之比是以中数己午 与矢较酉戌之比即同于 半径丁寅与乙角大矢丁 亥之比也既得丁亥大矢 内减丁寅半径余寅亥即 乙外角之余检表得乙 外角所当辛戊弧之度复 与半周相减即得乙角所 当丁辛弧之度也既得乙 角则以对边对角之法求 之即得甲角度矣 如先求甲角则以夹甲角 之甲乙边二十三度三十 分与甲丙边六十九度零 一分一十三秒相加得九 十二度三十一分一十三 秒为总弧其余四十三 万九千七百二十九又以 甲乙甲丙两边相减余四 十五度三十一分一十三 秒为较弧其余七百万 零六千五百六十八两余 相加【总弧过象限较弧不过象限故两余 相加】得七百四十四万六 千二百九十七折半得三 百七十二万三千一百四 十八为中数为一率以对 甲角之乙丙边五十八度 五十七分之正矢四百八 十四万二千一百四十一 与较弧四十五度三十一 分一十三秒之正矢二百 九十九万三千四百三十 二相减余一百八十四万 八千七百零九为矢较为 二率半径一千万为三率 求得四率四百九十六万 五千四百四十五为甲角 之正矢与半径一千万相 减余五百零三万四千五 百五十五为甲角之余 检表得五十九度四十六 分一十六秒即甲角度与 半周相减余一百二十度 一十三分四十四秒即星 距夏至后赤道经度自夏 至未宫初度逆计之为卯 宫初度一十三分四十四 秒也如图甲乙与甲丙相 加得乙癸为总弧其正 为癸子余为子丑甲乙 与甲丙相减余乙寅为较 弧其正为寅卯余为 卯丑两余相加得卯子 【因两余在圜心之两边故相加】折半得 卯辰与巳午等为中数又 对甲角之乙丙边与乙未 等其正为未申余为 申丑正矢为乙申以乙申 与乙寅较弧之正矢乙卯 相减余卯申与酉戌等为 矢较遂成寅巳午与寅酉 戌同式两勾股形故巳午 与酉戌之比同于寅午与 寅戌之比又庚丑为半径 寅午为距等圈之半径寅 戌与庚亥两段同为甲丙 壬赤道经圈之所分则寅 午与寅戌之比原同于庚 丑与庚亥之比是以巳午 中数与矢较酉戌之比即 同于半径庚丑与甲角正 矢庚亥之比也既得庚亥 正矢与庚丑半径相减余 亥丑即甲角之余检表 即得甲角所当庚壬弧之 度也既得甲角则以对边 对角之法求之亦即得乙 角度矣此三边求角之法 也 设如大角星黄道经度距夏至一百零九度四十分赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四十五秒求黄道纬度赤道纬度各几何 甲乙丙三角形甲为赤极 【即北极】乙为黄极甲乙为两 极距度丙为大角星丁戊 为黄道己庚为赤道丁辛 为黄道经度距夏至一百 零九度四十分即乙角己 壬为赤道经度距夏至一 百二十度一十三分四十 四秒即甲角之外角丙角 为甲壬乙辛两经圏交角 二十三度四十二分四十 五秒丙辛为黄道北纬度 乙丙为其余丙壬为赤道 北纬度甲丙为其余故用 甲乙丙三角形有甲乙丙 三角求乙丙甲丙二边乃 用次形法先求乙丙边将 甲乙丙形易为癸子丑次 形葢本形之甲角即次形 之子丑边【甲角当庚壬弧与子丑等】本 形乙角之外角即次形之 癸丑边【乙角之外角当戊辛弧与癸丑等】本形之丙角即次形之癸 子边【丙角当寅卯弧与癸子等】本形之 甲乙边即次形之丑角【丁己 弧与甲乙等即丑角度】本形之乙丙 边即次形之癸角【辛寅弧与乙丙 等即癸角度】本形之甲丙边即 次形子角之外角【壬卯弧与甲丙 等即子锐角度为癸子丑形子钝角之外角】故 用癸子丑三角形有三边 求癸角【即乙丙边】以夹癸角之 癸子边【即丙角】二十三度四 十二分四十五秒与癸丑 边【即乙外角】七十度二十分相 加得九十四度零二分四 十五秒为总弧其余七 十万五千五百四十四又 以癸子癸丑两边相减余 四十六度三十七分一十 五秒为较弧其余六百 八十六万八千二百三十 二两余相加【总弧过象限较弧不 过象限故两余相加】得七百五十 七万三千七百七十六折 半得三百七十八万六千 八百八十八为中数为一 率以对癸角之子丑边【即甲 角】五十九度四十六分一 十六秒之正矢四百九十 六万五千四百四十五与 较弧四十六度三十七分 一十五秒之正矢三百一 十三万一千七百六十八 相减余一百八十三万三 千六百七十七为矢较为 二率半径一千万为三率 求得四率四百八十四万 二千一百七十四为癸角 之正矢与半径一千万相 减余五百一十五万七千 八百二十六为癸角之余 检表得五十八度五十 七分即癸角度亦即乙丙 边度与象限相减余三十 一度零三分即黄道北之 纬度也既得乙丙边则以 对边对角之法求之即得 甲丙边矣 如先求甲丙边则用癸子 丑次形求子角【子角之外角当壬卯 弧与甲丙等】以夹子角之子丑 边【即甲角】五十九度四十六 分一十六秒与癸子边【即丙 角】二十三度四十二分四 十五秒相加得八十三度 二十九分零一秒为总弧 其余一百一十三万四 千八百七十四又以子丑 癸子两边相减余三十六 度零三分三十一秒为较 弧其余八百零八万四 千一百五十二两余相 减【总弧较弧俱不过象限故两余相减】余 六百九十四万九千二百 七十八折半得三百四十 七万四千六百三十九为 中数为一率以对子角之 癸丑边【即乙外角】七十度二十 分之正矢六百六十三万 四千五百二十五与较弧 三十六度零三分三十一 秒之正矢一百九十一万 五千八百四十八相减余 四百七十一万八千六百 七十七为矢较为二率半 径一千万为三率求得四 率一千三百五十八万零 三百三十七为子角之大 矢内减半径一千万余三 百五十八万零三百三十 七为子角之余检表得 六十九度零一分一十三 秒即子角之外角度亦即 甲丙边度与象限相减余 二十度五十八分四十七 秒即赤道北之纬度也既 得甲丙边则以对边对角 之法求之亦即得乙丙边 矣此三角求边之法也 设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黄道南纬度二度三十七分黄极赤极相距二十三度三十分求赤道经度纬度各几何 甲乙丙三角形甲为赤极 【即北极】乙为黄极甲乙相距 二十三度三十分丙为土 星丁戊为赤道己庚为黄 道己辛为黄道经度距夏 至一百二十二度二十九 分即乙角丙辛为黄道南 纬度二度三十七分乙丙 为星距黄极九十二度三 十七分丙壬为赤道南纬 度甲丙即星距北极度丁 壬为距夏至赤道经度即 甲角之外角故用甲乙丙 三角形有乙角及甲乙乙 丙二边求甲丙边及甲角 先求甲丙边以半径一千 万为一率乙角一百二十 二度二十九分之大矢一 千五百三十七万零五百 四十二为二率以夹乙角 之甲乙边二十三度三十 分与乙丙边九十二度三 十七分相加得一百一十 六度零七分为总弧其余 四百四十万二千零四 又以甲乙乙丙两边相减 余六十九度零七分为较 弧其余三百五十六万 四千六百六十二两余 相加【总弧过象限较弧不过象限故两余相 加】得七百九十六万六千 六百六十六折半得三百 九十八万三千三百三十 三为中数为三率求得四 率六百一十二万二千五 百九十九为矢较与较弧 六十九度零七分之正矢 六百四十三万五千三百 三十八相加得一千二百 五十五万七千九百三十 七为甲丙对边之大矢【凡矢 度过于半径者为大矢其弧即为过弧】内减 半径一千万余二百五十 五万七千九百三十七为 甲丙边之余检表得七 十五度一十分四十六秒 与半周相减余一百零四 度四十九分一十四秒即 甲丙边之度内减九十度 余一十四度四十九分一 十四秒为赤道南之纬度 也如图己癸为半径己子 为甲角之大矢甲乙与乙 丙相加【乙丙与乙丑乙卯皆相等】得甲 丑为总弧其正为丑寅 余为寅癸甲乙与乙丙 相减余甲卯为较弧其正 为卯辰余为辰癸两 余相加得辰寅折半得 辰巳与午未等为中数又 对乙角之甲丙边与甲申 等其正为申酉余为 酉癸大矢为甲酉以甲酉 与甲卯较弧之正矢甲辰 相减余辰酉与戌亥等为 矢较遂成卯午未与卯戌 亥同式两勾股形而卯未 与卯亥之比同于午未与 戌亥之比又卯未为丑卯 距等圈之半径卯亥与巳 子两段同为乙辛丙黄道 经圈之所分则卯未与卯 亥之比原同于己癸与己 子之比是以半径己癸与 乙角大矢己子之比即同 于中数午未与矢较戌亥 之比也既得戌亥矢较与 甲卯较弧之正矢甲辰相 加得甲酉即为甲丙弧之 大矢内减甲癸半径余酉 癸为甲丙弧之余亦即 丙干弧之余检表得丙 干弧之度故与半周相减 始为甲丙弧之度也次求 甲角则以甲丙弧一百零 四度四十九分一十四秒 之正九百六十六万七 千三百一十六为一率乙 丙弧九十二度三十七分 之正九百九十八万九 千五百七十三为二率乙 角一百二十二度二十九 分之正八百四十三万 五千四百七十七为三率 求得四率八百七十一万 六千六百七十一为甲角 之正检表得六十度三 十九分一十秒即甲角之 度与半周相减余一百一 十九度二十分五十秒即 星距夏至赤道经度自夏 至未宫初度逆计之为辰 宫二十九度二十分五十 秒也 又法将乙丙弧引长至丁 自甲作甲丁垂弧补成甲 丁乙甲丁丙两正弧三角 形先求甲丁乙形以丁角 正即半径一千万为一 率乙外角五十七度三十 一分之正八百四十三 万五千四百七十七为二 率甲乙弧二十三度三十 分之正三百九十八万 七千四百九十一为三率 求得四率三百三十六万 三千六百三十八为甲丁 弧之正检表得一十九 度三十九分二十秒即甲 丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤 交角有黄道求距纬之法】又以半径一 千万为一率乙外角五十 七度三十一分之余五 百三十七万零五百四十 二为二率甲乙二十三度 三十分之正切四百三十 四万八千一百二十四为 三率求得四率二百三十 三万五千一百七十八为 乙丁弧之正切检表得一 十三度零八分三十八秒 即乙丁弧之度也【此即正弧三角 形有黄赤交角有黄道求赤道之法】次求甲 丁丙形以半径一千万为 一率乙丙弧九十二度三 十七分与乙丁弧一十三 度零八分三十八秒相加 得丙丁弧一百零五度四 十五分三十八秒其余 二百七十一万六千一百 七十八为二率甲丁弧一 十九度三十九分二十秒 之余九百四十一万七 千三百一十八为三率求 得四率二百五十五万七 千九百一十一为甲丙弧 之余检表得七十五度 一十分四十六秒与半周 相减余一百零四度四十 九分一十四秒即甲丙边 之度也【此即正弧三角形有赤道有距纬求 黄道之法】既得甲丙边则以对 边对角之法求之即得甲 角矣此两边夹一角之法 也 设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道经度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黄极赤极相距二十三度三十分求黄道纬度赤道纬度各几何 甲乙丙三角形甲为赤极 【即北极】乙为黄极甲乙相距 二十三度三十分丙为土 星丁戊为赤道己庚为黄 道己辛为黄道经度距夏 至一百二十二度二十九 分即乙角丁壬为赤道经 度距夏至一百一十九度 二十分五十秒即甲角之 外角丙辛为黄道南纬度 乙丙为星距黄极度丙壬 为赤道南纬度甲丙为星 距赤极度故用甲乙丙三 角形有甲乙二角及甲乙 边求甲丙乙丙二边乃用 次形法先求丙角将甲乙 丙形易为癸子丑次形葢 本形之甲角即次形之子 丑边【甲角当壬戊弧与子丑等】本形乙 角之外角即次形之癸丑 边【乙外角当辛庚弧与癸丑等】本形之 丙角即次形之癸子边【丙角 当寅卯弧与癸子等】本形之甲乙边 即次形之丑角【丁己与甲乙等即丑 角度】本形之乙丙边与半周 相减之余度即次形癸角 之外角【乙丙边与半周相减余丙辰与卯辛 等即辛癸卯角为癸子丑形癸角之外角葢卯丙与 辛辰皆象限各减辛丙故卯辛与丙辰等】本形 之甲丙边与半周相减之 余度即次形之子角【甲丙边与】 【半周相减余丙巳与寅壬等即子角度葢寅丙与壬 巳皆象限各减壬丙故壬寅与丙巳等】故用 癸子丑三角形有丑角及 癸丑子丑二边求癸子边 【即丙角】以半径一千万为一 率丑角二十三度三十分 之正矢八十二万九千三 百九十九为二率以癸丑 边【即乙外角】五十七度三十一 分与子丑边【即甲角】六十度 三十九分一十秒相加得 一百一十八度一十分一 十秒为总弧其余四百 七十二万零八百零七又 以癸丑子丑两边相减余 三度零八分一十秒为较 弧其余九百九十八万 五千零二十四两余相 加得一千四百七十万五 千八百三十一折半得七 百三十五万二千九百一 十五为中数为三率求得 四率六十万九千八百五 十为矢较与较弧三度零 八分一十秒之正矢一万 四千九百七十六相加得 六十二万四千八百二十 六为癸子对边之正矢与 半径一千万相减余九百 三十七万五千一百七十 四为癸子对边之余检 表得二十度二十一分四 十一秒为癸子边之度亦 即丙角度也次求乙丙边 则以丙角之正三百四 十七万九千三百八十七 为一率甲角六十度三十 九分一十秒之正八百 七十一万六千六百五十 七为二率甲乙边二十三 度三十分之正三百九 十八万七千四百九十一 为三率求得四率九百九 十八万九千五百七十三 为乙丙边之正检表得 八十七度二十三分与半 周相减余九十二度三十 七分即乙丙边之度内减 九十度余二度三十七分 即星距黄道南之纬度也 次求甲丙边以丙角之正 三百四十七万九千三 百八十七为一率乙角一 百二十二度二十九分之 正八百四十三万五千 四百七十七为二率仍以 甲乙边之正三百九十 八万七千四百九十一为 三率求得四率九百六十 六万七千三百三十一为 甲丙边之正检表得七 十五度一十分四十六秒 与半周相减余一百零四 度四十九分一十四秒即 甲丙边之度内减九十度 余一十四度四十九分一 十四秒即星距赤道南之 纬度也 又法将乙丙弧引长至丁 自甲作甲丁垂弧补成甲 丁乙甲丁丙两正弧三角 形先求甲丁乙形以丁角 正即半径一千万为一 率乙外角五十七度三十 一分之正八百四十三 万五千四百七十七为二 率甲乙弧二十三度三十 分之正三百九十八万 七千四百九十一为三率 求得四率三百三十六万 三千六百三十八为甲丁 弧之正检表得一十九 度三十九分二十秒即甲 丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤 交角有黄道求距纬之法】又以甲乙弧 二十三度三十分之正切 四百三十四万八千一百 二十四为一率甲丁弧一 十九度三十九分二十秒 之正切三百五十七万一 千七百五十二为二率半 径一千万为三率求得四 率八百二十一万四千四 百六十七为甲虚角之余 检表得三十四度四十 六分一十二秒即甲虚角 之度也【此即正弧三角形有黄道有赤道求 黄赤交角之法】次求甲丁丙形以 丙甲乙角六十度三十九 分一十秒与甲虚角三十 四度四十六分一十二秒 相加得九十五度二十五 分二十二秒为丙甲丁角 乃以其余九十四万五 千零六十四为一率半径 一千万为二率甲丁弧一 十九度三十九分二十秒 之正切三百五十七万一 千七百五十二为三率求 得四率三千七百七十九 万三千七百五十七为甲 丙弧之正切检表得七十 五度一十分四十六秒与 半周相减余一百零四度 四十九分一十四秒即甲 丙边之度也【此即正弧三角形有黄赤 交角有赤道求黄道之法】既得甲丙边 则以对边对角之法求之 即得乙丙边矣此两角夹 一边之法也 御制象考成上编卷三 [book_title]上编卷四 <子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成 钦定四库全书 御制歴象考成上编卷四 日躔歴理 南北眞线 北极髙度 地半径差 黄赤距纬 清气差 测岁实以定平行 本天髙卑为盈缩之原 求两心差及最髙 最髙行及本轮均轮半径 求盈缩差 时差【原名日差】 曚影刻分 昼夜永短 节气时刻 南北眞线 辨方定位厯象首务盖必先定南北然后可以候中星歩日躔然南北之大势虽若昜知而立线定向必豪厘不失乃得其眞即用指南针亦有所偏向不可为准其所偏向又随地不同故欲得南北之眞线者必以测量星日为主 法于春秋分日植表于案 令极平取日影自午前至 午后视表末影所至随作 防为识次联诸防成一直 线即东西线取东西线之 正中作垂线即南北线也 或不拘何日植表取影自 午前至午后视表末影所 至随作防为识次取与表 心最近之一防为午正表 影乃太阳出地平最髙之 度依此防向表心作直线 即南北线也 又法用方案令极平作圜 数层植表于圜心以取日 影凡影圜上者皆作防识 之乃视午前午后两防同 在一圜上者作直线联 之即东西线取东西线之 正中向圜心作垂线即南 北线也 又法植表取日影别用仪 噐测得午前日轨髙度作 防于影末又测得午后日 轨髙度与午前等亦作防 于影末乃以两防作直线 联之即东西线取东西线 之正中向表作垂线即南 北线也 又法于冬至日前后用仪 噐测勾陈第五星初昏时 此星在北极之西候其渐 转而西至不复西而止至 五更后此星在北极之东 候其渐转而东至不复东 而止两表视线之正中即 南北线也葢勾陈第五星 冬至日酉时在极西卯时 在极东他星则离极右逺 故止取此星可以得东西 之准他时非不可测但或 日永夜短卯酉二时星不 可见故必于冬至日前后 测之也 又法取恒星之大者用两 仪噐测之一测其髙度一 测其地平经度视此星在 东时测其髙度若干随测 其地平经度俟此星转而 西测其髙度与在东时等 者复测其地平经度此两 经度之正中即南北线此 法与前同然不拘冬至他 日皆可用较前法为简便 也 北极髙度 北极为天之枢纽居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖厯法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精髙度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之髙下最宜精宻不容或略也授时厯测得京师北极出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分约之为四十度零九分五十一秒新法算书京师北极出地三十九度五十五分今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒 法于冬至日前后用仪器 测勾陈大星出地之度酉 时此星在北极之上候其 渐转而髙至不复髙而止 为最髙之度卯时此星在 北极之下候其渐转而低 至不复低而止为最低之 度乃以所测最高最低之 度折中取之即北极出地 之度也盖北极无星其髙 低不可得而见故取星之 环绕北极上下者测之惟 勾陈大星冬至酉时在最 髙卯时在最低可以得髙 低之准也 又法取恒星之大者测其 最髙为若干度若此星为 赤道以南之星则以其距 赤道之纬与其髙相加得 若干即赤道之髙度若此 星为赤道以北之星则以 其距赤道之纬与其髙相 减得若干即赤道之髙度 既得赤道之髙与一象限 九十度相减余若干即北 极出地之度也此法较之 前法为少烦盖因赤道南 北之星距赤道之纬俱系 测得北极之髙度而后可 得而恒星有岁差其纬度 亦有増损然存此法与前 法参互考騐可也 地半径差 凡求七曜出地之髙度必用测量乃测量所得之数与推歩所得之数徃徃不合盖推歩所得者七曜距地心之髙度而测量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度为眞髙距地面之髙度为视髙人在地面不在地心故视髙必小于眞髙以有地半径之差也【或有大于眞髙者则清蒙气所为也】盖七曜恒星虽皆丽于天而其髙下又各不等惟恒星天为最髙其距地最逺地半径甚防故无视髙眞髙之差若夫七曜诸天则皆有地半径差今欲求太阳之眞髙必先得地半径差欲求地半径差必先得地半径与日天半径之比例今随时测太阳之髙度求得地半径与日天半径之比例最髙为一与一千一百六十二最卑为一与一千一百二十一比旧定地半径与日天半径之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太阳髙卑之故由于两心差然最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半【详见本轮均轮半径篇】旧表日天半径乃依两心差全数所定故最髙较实测则多最卑较实测必少也 如图甲为地心乙为地面 甲乙为地半径乙丙为地 平丁戊己为太阳天庚辛 壬癸为恒星天戊为太阳 人从地面乙测之对恒星 天于壬其视髙为壬乙丙 角若从地心甲计之则见 太阳于戊者对恒星天于 辛其真髙为辛甲癸角此 两髙之差为乙戊甲角即 地半径之差然又时时不 同者其故有二一太阳距 地平近其差角大渐髙则 渐小一太阳在本天上又 有髙卑髙则距地心逺其 差角小卑则距地心近其 差角大【如戊甲线其长短时时不同其所以 逺近之故详见于后】今约为最髙与 中距及最卑三限【太阳本天髙卑 细推之每日不同然用以求差角所差甚防故止用 三限】于夏至春秋分冬至时 各以所测地面上太阳之 髙度求太阳距地心之戊 甲线【太阳夏至前后行最髙限春秋分前后行 中距限冬至前后行最卑限故于三时测之】康熙五十四年乙未五月 二十九日甲子午正【夏至后八 日也以本日太阳躔本天之最髙为距地心之最逺】在畅春园测得太阳髙七 十三度一十六分零二十 三防同时于广东广州府 测得太阳髙九十度零六 分二十一秒四十八防以 之立法甲为地心乙为畅 春园地面庚为天顶子为 广州府地面丑为天顶戊 为太阳寅为赤道寅庚弧 三十九度五十九分三十 秒为畅春园赤道距天顶 之度寅丑弧二十三度一 十分为广州府赤道距天 顶之度【赤道距天顶数俱系实测所得】以 两处赤道距天顶度相减 余一十六度四十九分三 十秒为庚丑弧即庚甲丑 角以畅春园髙度与一象 限相减余一十六度四十 三分五十九秒三十七防 为庚乙戊角于广州府髙 度内减去一象限余六分 二十一秒四十八防即戊 子丑角【戊在天顶丑北】先用乙甲 子三角形此形有甲角一 十六度四十九分三十秒 又有乙甲及子甲边俱地 半径命为一千万乃以甲 角折半之正倍之得二 九二五九七七为乙子边 又以甲角与半周相减余 数半之得八十一度三十 五分一十五秒为乙角亦 即子角次用乙戊子三角 形此形有乙子边二九二 五九七七有戊乙子角八 十一度四十分四十五秒 二十三秒【半周内减去甲乙子角又减去 庚乙戊角余即戊乙子角】有戊子乙角 九十八度一十八分二十 三秒一十二防【半周内减去甲子乙 角又减去戊子丑角余即戊子乙角】即有乙 戊子角五十一秒二十五 防求得戊子边一一六一 三二二三八三九次用戊 子甲三角形此形有戊子 边有子甲边【地平径一千万】有戊 子甲之外角六分二十一 秒四十八防【即戊子丑角】求得 戊甲边一一六二二六四 二五一二为太阳在本天 最髙时距地心之逺以地 半径较之其比例如一与 一千一百六十二也【乙甲一千 万与一一六二二六四二五一二之比同于一与一 千一百六十二有余之比】末用乙戊甲 三角形乙甲边为一戊甲 边为一一六二戊乙甲之 外角一十六度四十三分 五十九秒三十七防【即庚乙戊 角】求得乙戊甲角五十一 秒零五防为最髙限太阳 髙七十三度一十六分之 地半径差以加畅春园视 髙七十三度一十六分零 二十三防得七十三度一 十六分五十一秒二十八 防为畅春园太阳之眞髙 也于乙戊子角五十一秒 二十五防内减去乙戊甲 角五十一秒零五防余二 十防为甲戊子角乃最髙 限太阳髙九十度零六分 二十一秒之地半径差【即八 十九度五十三分三十九秒之地半径差】以减 广州府视髙九十度零六 分二十一秒四十八防【视髙 过九十度故减】得九十度零六分 二十一秒二十八防为广 州府太阳之眞髙也 又康熙五十五年丙申三 月初五日丙申午正【春分后八 日也以本日太阳躔本天之中距为距地心之适中】在畅春园测得太阳髙五 十三度零三分三十八秒 一十防同时于广东广州 府测得太阳髙六十九度 五十四分零八秒三十八 防减去纬差一十四秒余 六十九度五十三分五十 四秒三十八防【测得广州府子午线 在京师之西三度三十三分其午正时乃京师午正 初刻十四分也夫太阳距纬度夏至时每日止差四 十余秒其一刻所差甚防可不论若春分时每日差 至二十四分则十四分时可差一十四秒又春分后 太阳自卑而髙纬度既差一十四秒则午正之髙度 亦多一十四秒故必于所测之度减去纬差始为与 京师子午相当地面之髙度也此即东西里差详后 节气时刻篇】以之立法庚为畅 春园天顶丑为广州府天 顶戊为太阳寅为赤道乙 甲子三角形之三边三角 俱与前图等以畅春园髙 度与一象限相减余三十 六度五十六分二十一秒 五十防为庚乙戊角以广 州府髙度与一象限相减 余二十度零六分零五秒 二十二防为戊子丑角先 用乙戊子三角形此形有 乙子边二九二五九七七 有戊乙子角六十一度二 十八分二十三秒一十防 【半周内减去甲乙子角又减去庚乙戊角余即戊乙 子角】有戊子乙角一百一十 八度三十分五十秒二十 二防【半周内减去甲子乙角加入戊子丑角即 戊子乙角】即有乙戊子角四十 六秒二十八防求得戊子 边一一四一○三一○二 九九次用戊子甲三角形 此形有戊子边有子甲边 【地半径一千万】有戊子甲之外角 二十度零六分零五秒二 十二防【即戊子丑角】求得戊甲 边一一四二一八六七七 三○为太阳在本天中距 时距地心之逺以地半径 较之其比例如一与一千 一百四十二也末用乙戊 甲三角形乙甲边为一戊 甲边为一一四二戊乙甲 之外角三十六度五十六 分二十一秒五十防【即庚乙戊 角】求得乙戊甲角一分四 十八秒三十二防为中距 限太阳髙五十三度零三 分三十八秒之地半径差 以加畅春园视髙五十三 度零三分三十八秒一十 防得五十三度零五分二 十六秒四十二防为畅春 园太阳之眞髙也于乙戊 甲角一分四十八秒三十 二防内减去乙戊子角四 十六秒二十八防余一分 零二秒零四防为子戊甲 角乃中距限太阳髙六十 九度五十四分零八秒之 地半径差以加广州府视 髙六十九度五十四分零 八秒三十八防得六十九 度五十五分一十秒四十 二防为广州府太阳之眞 高也 今若以最髙太阳距地心 一一六二与中距太阳距 地心一一四二相减余二 ○为两限距地心之较则 最卑限太阳距地心之逺 为一一二二然中距太阳 距地心如本天半径如 股【图见后求盈缩差篇】其距最髙之 差应少距最卑之差应多 故最卑限太阳距地心当 不足一一二二欲以实测 求之奈冬至后太阳躔本 天最卑时髙弧仅二十六 度余蒙气差甚大难得其 眞今以太阳最髙与本天 半径比例数一○一七九 二○八【见交食厯理求日月距地与地半径 之比例篇】与地半径比例数一 一六二之比即同于太阳 最卑与本天半径比例数 九八二○七九二与地半 径比例数一一二一之比 是为最卑限太阳距地心 之逺也既得三限距地心 之逺即各用为一邉【即戊甲】地半径为一边【即乙甲为一】太 阳出地逐度之髙【即戊防】与 象限相加为一角【即甲乙戊角】成戊乙甲三角形求得乙 戊甲角为三限太阳自地 平至天顶逐度之地半径 差以列表 黄赤距纬 黄道斜交赤道而出其内外其相距最逺之度即二至太阳距赤道之纬度古今所测不同授时厯测得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之为二十三度三十三分三十二秒新法厯书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来于畅春园累测夏至午正太阳髙度得视髙七十三度二十九分十余秒加地半径差五十秒得实髙七十三度三十分减去本处之赤道髙五十度零三十秒余二十三度二十九分三十秒为黄道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黄道每度每分之距纬以立表 如图甲乙为黄道一象限 甲丙为赤道一象限甲为 春分乙为夏至乙丙为大 距二十三度二十九分三 十秒即甲角之度设丁防 为立夏距甲春分四十五 度求丁戊距纬若干则用 甲丁戊正弧三角形此形 有甲角乙丙大距度二十 三度二十九分三十秒有 甲丁黄道四十五度有戊 直角九十度今以戊直角 九十度之正一千万与 甲角乙丙大距度二十三 度二十九分三十秒之正 三九八六一五七之比 即同于甲丁黄道四十五 度之正七○七一○六 八与丁戊距纬一十六度 二十二分一十七秒之正 二八一八六三九之比 也既得立夏之距纬度则 立春立秋立冬之距纬度 亦同按法于甲乙一象限 内逐度逐分求其距纬则 其余三象限之距纬度亦 得矣 清防气差 清气差从古未闻明万厯间西人第谷始发之其言曰清气者地中游气时时上腾其质轻防不能隔碍人目却能映小为大升卑为髙故日月在地平上比于中天则大星座在地平上比于中天则广此映小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西此升卑为髙也又曰清之气有厚薄有髙下气盛则厚而髙气防则薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地势殊也若海或江湖水气多则清气必厚且髙也故欲定七政之纬宜先定本地之清差第谷言其国北极出地五十五度有竒测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更髙则无差矣此即新法厯书所用之表也近日西人又言于北极出地四十八度地方测得太阳髙四十五度时气差尚有一分余自地平至天顶皆有气差即此观之益见气差之随地不同而第谷之言为不妄矣今述其测量推算之法于左使观者知气差表之所自立云 假如太阳髙一十度三十 四分四十二秒距正午八 十三度【地平经度】于时日躔降 娄宫三度三十六分距赤 道北一度二十六分如图 甲为地心乙为天顶丙为 太阳丁为北极乙戊为子 午规乙丙己为髙弧丙己 为太阳实髙弧庚己为视 髙弧今用丁乙丙斜弧三 角形此形有北极距天顶 之丁乙弧五十度零三十 秒有太阳距北极之丁丙 弧八十八度三十四分【以距 纬一度二十六分减象限九十度得之】有丁 乙丙角九十七度【己乙戊角八十 三度为太阳距正午之度与半周相减即得丁乙丙 角】求太阳实距天顶之乙 丙弧法以乙丙弧引长从 丁作丁辛垂弧两弧相交 于心为直角遂成丁辛乙 丁辛丙两正弧三角形先 用丁辛乙正弧三角形以 半径一千万与乙角八十 三度之正九九二五四 六二之比同于乙丁弧五 十度零三十秒之正七 六六一三七九与丁辛弧 之正七六○四二七三 之比得丁辛弧四十九度 三十分零七秒又以半径 一千万与乙角八十三度 之余一二一八六九三 之比同于乙丁弧五十度 零三十秒之正切一一九 二一○五六与乙辛弧之 正切一四五二八一一之 比得乙辛弧八度一十五 分五十八秒次用丁辛丙 正弧三角形以丁丙弧八 十八度三十四分之正 九九九六八七一与丁辛 弧四十九度三十分零七 秒之正七六○四二七 三之比同于半径一千万 与丙角正七六○六六 五三之比得丙角四十九 度三十一分二十二秒又 以丙角四十九度三十一 分二十二秒之正切一一 七一七九二七与半径一 千万之比同于丁辛弧四 十九度三十分零七秒之 正切一一七○九三○二 与辛丙弧之正九九九 二六三九之比得辛丙弧 八十七度四十八分零五 秒于辛丙弧内减去乙辛 弧八度一十五分五十八 秒余乙丙弧七十九度三 十二分零七秒为太阳实 距天顶之度以乙丙弧与 乙己弧九十度相减余丙 己弧一十度二十七分五 十三秒为太阳之实髙乃 以实髙与视髙一十度三 十四分四十二秒相减余 六分四十九秒加地半径 差二分五十七秒得九分 四十六秒为地平上一十 度三十五分之气差按 法求得逐度之差数以立 表 测岁实以定平行 太阳之实行每日不同歩日躔者必以平行为根而求平行之法则在于定岁实岁实者太阳循黄道右旋一周而复于原界之日时也【或自今年冬至至明年冬至或自今年春分至明年春分】古厯定太阳每日所行为一度故周天为三百六十五度四分度之一其后渐觉后天以为岁实太强自汉以来每次修厯必有所减以合当时实测故每日之平行虽定为一度而天周与岁实讫无定率也今法定天周为三百六十度故太阳每日之行不及一度其分秒之进退视岁实之消长得岁实即得毎日之平行矣数岁以来于二分二至遣人各省分测得岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒【即三百六十五日十分日之二分四二一八七五】乃置天周三百六十度为实以岁实三百六十五日五时三刻三分四十五秒为法实如法而一得太阳每日平行五十九分零八秒一十九防四十九纎五十九忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】既得太阳每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表【毎日二十四时毎时六十分】 测岁实之法古人皆测冬至然冬至之时刻难定不如用春秋分时得数为眞葢冬至时黄道与赤道平行其纬度一日所差不过数十秒仪噐无从分别春秋分黄道与赤道斜交其纬度一日差二十四分其差易见且求平行须用平行岁实而测量止能得视行惟二分时去中距不逺其平行实行之差甚防可以不计况冬至时太阳之地平纬度少清之气甚大古来岁实难得确准此其故也 康熙五十四年乙未二月 十六日癸未午正于畅春 园测得太阳髙五十度零 三十二秒三十五防加地 半径差一分五十六秒零 五防得实髙五十度零二 分二十八秒四十防与赤 道髙五十度零三十秒相 减余一分五十八秒四十 防为太阳在赤道北之纬 度即知春分时刻在午正 前也如图甲为春分乙为 太阳丙为赤道乙丁为午 正太阳实髙丙丁为赤道 髙乙丙为太阳距赤道北 纬度用甲乙丙正弧三角 形此形有甲角大距度二 十三度二十九分三十秒 有丙直角有乙丙纬度一 分五十八秒四十防求甲 乙弧为太阳过春分之经 度法用甲角正三九八 六一五七与丙直角正 一千万之比同于乙丙弧 正五七五三与甲乙弧 正一四四三三之比得 甲乙弧四分五十七秒四 十三防用变时法以一日 之平行五十九分零八秒 二十防为一率【二分时太阳之实行 与平行相近故即用平行为一率若他节气须用本 日之实行为一率】二十四时化为 一千四百四十分为二率 甲乙弧四分五十七秒四 十三防为三率得四率一 百二十分四十九秒一十 二防以每时六十分収之 得二时零四十九秒一十 二防为春分距午正前之 时即已初三刻一十四分 一十秒四十八防春分也 康熙五十五年丙申二月 二十七日戊子午正于畅 春园测得太阳髙四十九 度五十四分四十九秒五 十一防加地半径差一分 五十六秒一十七防得实 髙四十九度五十六分四 十六秒零八防与赤道髙 五十度零三十秒相减余 三分四十三秒五十二防 为太阳在赤道南之纬度 即知春分时刻在午正后 也依法用甲乙丙正弧三 角形求得乙甲弧九分二 十一秒三十九防为太阳 未到春分之经度变时得 三时四十七分五十五秒 四十八防为春分距午正 后之时即申初三刻二分 五十五秒四十八防春分 也乃总计两春分相距得 三百六十五日五时三刻 三分四十五秒即为岁实 本天髙卑为盈缩之原 太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有盈缩乃征之目下实测则春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数求其所以然之故则惟有本天髙卑之説能尽之本天髙卑之法有二一为不同心天一为本轮立名虽异而理则同故髙卑之距盈缩之度皆不谋而合焉 不同心天之法盖以天包 地外以地为心太阳本天 亦包乎地外而不以地为 心因其有两心之差而髙 卑判焉如图甲为地心乙 丙丁戊为黄道己为太阳 本天心庚辛壬癸为太阳 本天其癸庚辛大半周逺 于地为髙辛壬癸小半周 近于地为卑戊为春分丙 为秋分乙为夏至丁为冬 至自春分厯夏至以至秋 分太阳自癸厯庚以至辛 行本天之大半周故厯日 多而自地心甲立算其自 戊厯乙以至丙止行黄道 之半周故为行缩自秋分 厯冬至以至春分太阳自 辛厯壬以至癸行本天之 小半周故厯日少而自地 心甲立算其自丙厯丁以 至戊亦行黄道之半周故 为行盈夫日在本天原自 平行因自地心甲立算而 不以太阳本天心已立算 遂有髙卑盈缩之异故髙 卑为盈缩之原而两心之 差又髙卑之所由生也 本轮之法盖以本天与地 同心而本天之周又有一 本轮本轮心循本天周向 东而行日在本轮之周向 西而行两行之度相等【轮心 东行太阳西行二者亦有防差然积至周岁才差一 分虽谓相等可也】太阳在本轮之 下半周去地近为卑则顺 轮心行故见其速于平行 在本轮之上半周去地逺 为髙则背轮心行故见其 迟于平行在本轮之左右 去地不逺不近为髙卑适 中故名中距其行与平行 等如图甲为地心即本天 心乙丙丁戊为本天其本 轮循本天东行由丁向戊 而乙而丙而复于丁为平 行度【即经度】太阳循本轮西 行由下而左而上而右而 复于下【本轮以近地心为下逺地心为上】为自行度【名引数】如本轮心 在丁则太阳在本轮之下 如辛去地心甲最近是为 最卑本轮心在乙则太阳 在本轮之上如己去地心 甲最逺是为最髙最髙最 卑之防皆对本轮心与地 心成一直线其平行实行 同度故为盈缩起算之端 如本轮心由丁向戊太阳 由本轮下向左顺轮心行 能益东行之度故较平行 度为盈至半象限后所益 渐少迨轮心行一象限至 戊太阳亦行轮周一象限 至壬即无所益而复于平 行是为中距然而积盈之 多正在中距盖平行至戊 而太阳在壬从地心甲立 算则太阳当本天之子子 戊弧以本轮之半径为正 切为盈差之极大也从中 距而后太阳行本轮之上 半周背轮心行故实行渐 缩然因有积盈之度方以 次渐消其实行仍在平行 前迨行满一象限至最髙 为极缩而积盈之度始消 尽无余其实行与平行乃 合为一线故自最卑至最 髙半周俱为盈厯也如本 轮心由乙向丙太阳由本 轮上向右背轮心行能损 东行之度故较平行度为 缩至半象限后所损渐少 迨轮心行一象限至丙太 阳亦行轮周一象限至庚 即无所损而复于平行是 为中距然而积缩之多亦 在中距盖平行至丙而太 阳在庚从地心甲立算则 太阳当本天之丑丑丙弧 亦以本轮之半径为正切 为缩差之极大也从中距 而后太阳行本轮之下半 周顺轮心行故实行渐盈 然因有积缩之度方以次 相补其实行仍在平行后 迨行满一象限至最卑为 极盈而积缩之度始补足 无缺其实行与平行乃合 为一线故自最髙至最卑 半周俱为缩厯也此本轮 之法于盈缩之理最为显 著然谓与不同心天之理 同何也试于本轮上己庚 辛壬诸防聨为一圜此圜 必不以甲为心而以癸为 心遂成不同心天之形其 癸甲两心之差即本轮之 半径故求得两心之差而 本轮之径自见明于本轮 之故而盈缩之理益彰然 则其理相通其用相辅并 存其説实可以参稽而互 证也 求两心差及最髙 新法厯书用春分秋分立夏三节气相距日时推得两心差为三五八四一六最髙在夏至后五度三十分然而未详何年月日永年表载康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒今以丁酉年实测节气时刻依法推算得两心差为三五八九七七最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五防皆与原数不合葢今之春分秋分立夏皆不正当最髙最卑中距之度用两心差以推其时刻与实测不合则用实测之时刻以推两心差亦必与原数不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太阳在最髙最卑二防平行与实行合为一线本天与黄道皆平分为两半周太阳厯半周岁而适行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周岁四分之一至中距应行九十度其实行之过于九十度者即积盈之度自最髙厯周岁四分之一至中距亦应行九十度其实行之不及九十度者即积缩之度检其正切即两心差之数也今以丁酉年逐日实测日躔度分求得最髙过夏至最卑过冬至各七度四十四分三十六秒四十八防又自太阳过最髙之日分加周岁四分之一求其时刻之实行不及中距二度零三分零九秒四十防检其正切得三五八四一六皆与歴书所载相合是故用两心差之全数以推盈缩维中距与实测合最髙前后两象限则失之小最卑前后两象限则失之大所以又用均轮以消息其数方与实测相符今于其相合者得最髙及两心差所自来于其不相合者得本轮均轮所由设推算之法并述于左 用实测最髙最卑中距求 两心差及最髙所在如康 熙五十六年丁酉二至后 畅春园逐日测午正太阳 髙度求其经度用实行推 得五月二十一日甲戌辰 正一刻零四十秒四十五 防交未宫七度五月二十 二日乙亥已初一刻一十 四分五十七秒二十七防 交未宫八度十一月二十 七日丁丑子正一刻一十 二分五十七秒四十一防 交丑宫七度本日夜子初 三刻一十二分二十七秒 四十七防交丑宫八度夫 未宫七度至丑宫七度厯 一百八十二日一十六时 一十二分一十六秒五十 六防大于半周岁一时一 十七分五十四秒二十六 防而未宫八度至丑宫八 度厯一百八十二日一十 四时二十七分三十秒二 十防小于半周岁二十六 分五十二秒一十防乃以 此两数立法以求最髙所 在如图甲为地心即宗动 天心乙丙丁戊为黄道与 宗动天相应【同以甲为心也】乙为 夏至丙为秋分丁为冬至 戊为春分又设己防为心 作庚辛壬癸圈为不同心 天庚为最髙当黄道之子 壬为最卑当黄道之丑则 寅夘为其中距【距最髙子最卑丑各 九十度】过巳甲两心作庚丑 线则平分本天与黄道各 为两半周故厯半周岁一 百八十二日一十四时五 十四分二十二秒三十防 适行半周天一百八十度 若夫夏至乙则在最髙前 有加差时刻早冬至丁则 在最卑前有减差时刻迟 故夏至至冬至大于半周 岁而秋分丙在最髙后有 减差时刻迟春分戊在最 卑后有加差时刻早故秋 分至春分小于半周岁今 未宫七度至丑宫七度大 于半周岁未宫八度至丑 宫八度小于半周岁即知 未宫七度在最髙前如辰 未宫八度在最髙后如巳 丑宫七度在最卑前如午 丑宫八度在最卑后如未 今以大于半周岁之一时 一十七分五十四秒二十 六防与小于半周岁之二 十六分五十二秒一十防 相并得一时四十四分四 十六秒三十六防与辰巳 或午未一度之比同于大 于半周岁之一时一十七 分五十四秒二十六防与 辰子或午丑四十四分三 十六秒四十八防之比而 得辰子或午丑与乙辰或 丁午之七度相加得乙子 或丁丑七度四十四分三 十六秒四十八防即最髙 过夏至最卑过冬至之度 亦即中距过春秋分之度 也【丙寅弧夘戊弧皆与乙子弧相等】此所 得之数比永年表丁酉年 前冬至最卑度多四十七 秒比戊戌年前冬至最卑 度少一十五秒葢最髙每 岁行六十一秒今合最髙 最卑取数立算则其所得 为中距过秋分之度较之 丁酉年前冬至固应差四 分之三较之戊戌年前冬 至固应差四分之一是所 测与永年表合矣又用比 例法求得本年五月二十 二日乙亥寅初初刻一分 三十七秒四十五防过最 髙加周岁四分之一九十 一日七时二十七分一十 一秒一十五防得秋分后 丙午日巳正一刻一十三 分四十九秒过中距在黄 道应从最髙子行九十度 至寅为辰宫七度四十四 分三十六秒四十八防而 在本天则从最髙庚行九 十度至辛当黄道之申今 以实测求其经度在辰宫 五度四十一分二十七秒 零八防【即申防之度】不及中距 二度零三分零九秒四十 防即申寅弧当辛甲寅角 与甲辛巳角等检其正切 得三五八四一六为已甲 两心差【亦即本轮半径】与厯书所 载同 用实测春分秋分立夏求 两心差及最髙所在如康 熙五十六年丁酉畅春园 测得春分为二月初八日 癸巳亥初二刻六分四十 七秒立夏为三月二十四 日己夘亥正二刻一分三 十六秒秋分为八月十九 日庚子申初二刻四分零 三秒则春分距立夏得四 十六日三刻九分四十九 秒以毎日平行五十九分 零八秒二十防乘之得平 行度四十五度二十二分 三十八秒一十六防春分 距秋分得一百八十六日 七十一刻一十二分一十 六秒以每日平行五十九 分零八秒二十防乗之得 平行度一百八十四度零 四分零三秒五十八防如 图甲为地心乙丙丁戊为 黄道戊为春分己为夏至 丙为秋分庚为冬至辛为 立夏戊辛弧四十五度又 以壬防为心作子丑寅夘 圈为不同心天春分时太 阳在子实度在戊立夏时 太阳在癸实度在辛子癸 弧四十五度二十二分三 十八秒一十六防为平行 度秋分时太阳在寅实度 在丙子癸丑寅弧一百八 十四度零四分零三秒五 十八防为平行度于是过 壬甲两心作丑丁线则丑 为最髙当黄道之乙卯为 最卑当黄道之丁今命丑 壬半径为一千万求壬甲 两心差得丑壬半径之若 干分并求辛甲乙角为最 髙距立夏之度乃以子癸 丑寅弧一百八十四度零 四分零三秒五十八防与 全周相减余一百七十五 度五十五分五十六秒零 二防为寅辰卯子弧又甲 辰子三角形其子甲辛外 角为四十五度【当辛弧也】戊则 子甲辰角必一百三十五 度而辰角为癸子弧相对 界角必为癸子弧之一半 得二十二度四十一分一 十九秒零八防则子角必 为二十二度一十八分四 十秒五十二防倍之得四 十四度三十七分二十一 秒四十四防为寅辰弧【因与 子界角相当故】与寅辰夘子弧相 减余一百三十一度一十 八分三十四秒一十八防 为子卯辰弧检其通得 一八二二一五六二为子 辰边用三角形边角相求 法求得甲辰边九七八二 九九八又以癸子弧与子 卯辰弧相加得一百七十 六度四十一分一十二秒 三十四防为癸子卯辰弧 半之得八十八度二十分 三十六秒一十七防检其 余得二八九○八九即 壬巳其正得九九九五 八二○即辰巳内减甲辰 余二一二八二二即巳甲 乃用壬巳甲勾股形求得 壬甲三五八九七七为 两心差比厯书所载多一 千万分之五百六十一又 用边角相求法求得甲角 五十三度三十八分二十 五秒五十五防为最髙乙 距立夏辛之度内减立夏 距夏至四十五度得最髙 过夏至后八度三十八分 二十五秒五十五防比永 年表多五十四分三十六 秒五十五防葢目今春分 秋分立夏皆不正当最髙 最卑中距之度故太阳之 自最卑至中距自中距至 最髙其行度必有不同所 以用实测节气推两心差 及最髙所在皆不相合是 故歴家于本轮半径【即两心差】分设一均轮以消息四象 限之行分而后与实测相 符此均轮之法所由立也 最髙行及本轮均轮半径 太阳之行因去地有髙卑遂生盈缩故最髙最卑之防即极盈极缩之度而为起算之端但此髙卑之防不定在冬夏至而有行分且最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半歴家殚精推测因悟太阳本天之周有本轮而本轮之周又有均轮乃以两心差三十五万八千四百一十六四分之取其三分得二十六万八千八百一十二为本轮半径取其一分得八万九千六百零四为均轮半径而后髙卑之数盈缩之行始与实测相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本轮心之行防速于均轮心之行本轮心循本天东行已满一周而均轮心循本轮西转尚未满一周其本轮心与均轮心两行之差即最髙之行分也但其行分甚防积久始着康熙永年表戊午年测得最髙在夏至后七度零四分零四秒至丁酉年则最髙在夏至后 七度 【秒约毎年东行一分一秒一十防】四十三分四十九【即本轮心毎岁之行速于均轮心每岁之行一分一秒一十防也】 如图甲为地心即本天心 乙丙丁戊为本天本天之 周载本轮心本轮之周又 载均轮心本轮心循本天 东行由丁而戊而乙而丙 而复于丁为经度【每日平行五十 九分零八秒二十防】均轮心循本轮 西行由下而左而上而右 而复于下其行度防不及 于本轮名曰引数【每日行五十九 分零八秒零九防有余】太阳则循均 轮周东行由最近而最逺 【逺近皆以距本轮心言】而复于最近 其行倍于均轮心【均轮心行一度 太阳在轮周行二度】癸甲为两心差 本轮半径为癸甲四分之 三均轮半径为癸甲四分 之一最卑时本轮心在本 天之丁均轮心在本轮之 辛【本轮下点】太阳则在均轮之 辰【均轮近点】居两轮心之间从 地心甲计之成一直线故 无平行实行之差辰丁为 两心差之半辰甲为太阳 距地心之逺其卑于甲丁 本天半径者即辰丁两心 差之半也本轮心由丁行 九十度至戊为中距均轮 心由本轮之下防行九十 度至壬【本轮左防】太阳则由均 轮之近防行一百八十度 至已【均轮逺防】从地心甲立算 则太阳当本天之子子戊 弧为积盈之度【即子甲戊角】其 正切已戊为本轮与均轮 两半径相并之数与癸甲 两心差等最髙时本轮 心在本天之乙【由戊行九十度至乙】均 轮心在本轮之已【由本轮左防行 九十度至上防】太阳则在均轮之 寅【由均轮之逺防行一百八十度至近防】居 两轮心之间从地心甲计 之成一直线故亦无平行 实行之差【中距时所积之盈度至此消尽 而合于平行】寅乙为两心差之 半寅甲为太阳距地心之 逺其髙于乙甲本天半径 者即寅乙两心差之半也 本轮心由乙行九十度至 丙为中距均轮心由本轮 之上防行九十度至庚【本轮 右防】太阳则由均轮之近防 行一百八十度至夘【均轮逺防】从地心甲立算则太阳当 本天之丑丑丙弧为积缩 之度【即丑甲丙角】其正切夘丙 为本轮与均轮两半径相 并之数与癸甲两心差等 夫子戊弧与丑丙弧既皆 以两心差为正切故其度 等但子戊为积盈之度【在最 卑至最髙之半周故也】其平行戊在 后实行子在前故子戊弧 为加差以加于平行而得 实行也【由最卑至最髙之半周皆平行在后 实行在前故皆为加差也】丑丙弧为积 缩之度【在最髙至最卑之半周故也】其 平行丙在前实行丑在后 故丑丙弧为减差以减于 平行而得实行也【由最髙至最卑 之半周皆平行在前实行在后故皆为减差也】本 轮心复由丙行九十度至 丁则均轮心复至辛太阳 复至辰其积缩之度俱已 补足而平行实行复合为 一线矣然使两轮心之行 度皆等而无秒忽之不同 则最髙卑必常与冬夏至 同度【据今最髙所在而上溯之得元世祖至元 初年最髙卑正与冬夏至同度其前此则在至前也】因两轮心之行每年相差 一分余积久至今已差七 度四十余分而最髙即在 夏至后七度四十余分矣 如图未为冬至午为夏至 本轮心由冬至未行一百 七十九度余将至午而均 轮心才至本轮之申未至 上防七度有余【均轮行每年不及本 轮行一分余积之遂差七度余也】而太阳 必尚在均轮近防之东十 四度余然从地心甲计之 则太阳已当本天之午为 夏至矣迨均轮心行至上 防时本轮心复行七度余 至乙而两轮心始与地心 参直太阳亦至寅防在两 轮心之间其距地最逺是 为最髙而以日躔计之已 在夏至后七度余最卑之 在冬至后理亦如之故曰 两轮心行度之差即最髙 卑之行分也 求盈缩差 盈缩差即今所用之均数自最卑至最髙六宫为盈厯为加差自最髙至最卑六宫为缩厯为减差最卑前三宫与后三宫相当最髙前三宫亦与后三宫相当其差数皆相等故止求得最卑后六宫之差数而最髙后六宫之差数视此但加减不同耳【如最卑前三十度与最卑后三十度其差数必等但在最卑前者为减差在最卑后者为加差也】授时厯最大之盈缩差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分今推得最大之差为二度零三分一十一秒【即二度零百分度之五分三一】 如图甲为地心即本天心乙丙为本天之一弧今命乙甲半径为一千万丁戊已为本轮则丁乙半径为二十六万八 千八百一十二丁为上防已为下防【距地心近为下防距地心逺为上防】庚辛壬为均轮而庚己半径为八万九千六百零四庚为最近壬为最逺【逺近皆以距本轮心言】假如本轮心乙在本天之最卑则均轮心在本轮之下防已而太阳在均轮之近防庚是为初宫初度从地心甲计之太阳在两轮心之间成一直线无平行实行之差无均 数也如本轮心乙在本天之最髙则均轮心在本轮之上防丁而太阳在均轮之近防庚是为六宫初度从地心甲计之太阳亦在两轮心之间成一直线无平行实行之差亦无均数也 如本轮心乙距最卑后一象限为三宫初度则均轮心从本轮下防已行一象限至癸而太阳则从均轮近防庚行半 周至逺防壬从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙为直角乙壬为两轮半径相并之数三十五万八千四百一十六乙甲为本天半径一千万则乙子弧即甲角之度而乙壬为其正切检表得二度零三分零九秒四十 防为甲角即乙子弧乃太阳中距时之均数是为加差以加于平行而得实行【实行者太阳实在之行度】若本轮心乙距最卑前一象限为九宫初度则均轮心从本轮下防已行三象限至丑而太阳从均轮近防庚行一周复自庚行半周至逺防壬从地心甲计之太阳当本天之寅寅乙 弧与乙子弧等亦为太阳中距时之均数但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也 如本轮心乙距最卑后三十度为一宫初度则均轮心从本轮下防已行三十度至夘而太阳则从均轮近防庚行六十度至辰从地心甲计之太阳当本天 之巳乙巳弧为实行盈于平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度【即己夘弧】则庚角必六十度有乙庚边一七九二○八【即乙夘半径之三分之二】求得午庚边八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半径一千万减去乙午一五五一九九得午甲九 八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八【庚辰壬三角形与乙午庚三角形之边角俱相等盖庚为交角辰角立于圜界之一半为直角与午角等则壬角必与乙角等是三角俱等也庚壬为均轮全径与乙庚等则辰庚必与午庚等故倍午庚即得午辰也】于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八防即乙巳弧是为加差以加于平行而得实行 若本轮心乙在最卑前三十度是为十一宫初度则均轮心从本轮下防已行三百三十度至未而太阳则从均轮近防庚行一周复行三百度至申从地心甲计之太阳当本天之酉酉乙弧与乙巳弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法 求得最卑后一象限之加差即得最卑前一象限之减差 如本轮心乙距最髙前四十度为四宫二十度则均轮心从本轮下防已行一百四十度至戌而太阳则从均轮近防庚行二百八十度至亥从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于 平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度【即丁戌弧】则庚角必五十度有乙庚边一七九二○八【即乙戌半径之三分之二】求得丑庚边一一五一九三丑乙边一三七二八一乃置乙甲本天半径一千万加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑 庚得丑亥二三○三八六于是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三防即乙子弧是为加差以加于平行而得实行若本轮心乙距最髙后四十度是为七宫一十度则均轮心从本轮下防已行二百二十度至寅而太阳则从均轮近防庚行一周 复行八十度至夘从地心甲计之太阳当本天之辰辰乙弧与乙子弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙后一象限之减差 时差【原名日差】 时差者平时与用时相较之时分也推歩所得者为平时测量所得者为用时【用时即视时也】二者常不相合其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分至为加减之限也新法厯书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶于法为宻也 如图甲为地心乙为本轮 心冬至后本轮心平行一 百一十八度余至乙太阳 从本轮最卑自行一百一 十一度余至丙从地心甲 作实行线至丙割黄道于 丁丁乙弧即平行实行之 差设推得某日申正太阳 平行乙未到酉宫尚一度 余因行盈厯实行大于平 行故平行乙虽未至酉宫 而实行丁巳交酉宫若以 平行乙所临之时刻为交 宫之时刻则为申正太阳 入酉宫是为平时然平行 乙虽临于申正而太阳丙 实在其东一度余【即丁乙弧】故 必以此一度余变时约得 五分为时差以减申正得 申初三刻十分大阳入酉 宫是为用时也又如夏至 后本轮心平行六十一度 余至乙太阳从本轮最髙 自行五十四度余至丙从 地心甲作实行线至丙割 黄道于丁丁乙弧为平行 实行之差设推得某日辰 正太阳平行乙巳入巳宫 一度余因行缩厯实行小 于平行故平行乙虽入巳 宫一度余而实行丁方交 巳宫初度若以平行乙所 临之时刻为交宫之时刻 则为辰正太阳入巳宫是 为平时然平行乙虽临于 辰正而太阳丙实在其西 一度余故必以此一度余 变时约得五分为时差以 加辰正得辰正初刻五分 太阳入巳宫是为用时也 准此论之凡最卑后半周 实行皆大于平行则用时 在平时东其时差宜减最 髙后半周实行皆小于平 行则用时在平时西其时 差宜加此以最髙卑为时 差加减之限黄道上事也 然时刻以赤道为主黄道 上之用时犹非赤道上之 用时何也黄道与赤道斜 交二分之后黄道如赤 道如股【从赤极出线至赤道成直角勾股形】故黄道一度赤道一度不 足赤道度少则时刻増矣 【右旋度少则左旋度多故时刻増】二至之 后黄道以腰围大圈之度 当赤道距等小圈之度故 黄道一度赤道一度有余 赤道度多则时刻减矣【右旋 度多则左旋度少故时刻减】如图甲为 北极乙戊丙为赤道乙丁 丙为黄道乙为春分丙为 秋分丁为夏至春分后太 阳实行四十五度至已赤 道上与已相等之度为庚 庚距乙亦四十五度与已 相当之度为辛辛庚弧为 赤道少于黄道之度得二 度二十九分是为升度差 如推得太阳本日实行距 春分四十五度而即以四 十五度之防当某位为某 时者是以赤道之庚防命 时也【如庚防当午位即为午时】而实度 之辛防实在其西故必以 辛庚升度差变时为时差 以加于平时得用时【如庚防当 午正末即午正末为平时以时差加之得辛防在未 初为用时秋分后与春分后同】又如夏至 后太阳实行四十五度至 已赤道上与已相等之度 为庚庚距戊为四十五度 与巳相当之度为辛庚辛 弧为赤道多于黄道之度 得二度二十九分是为升 度差如推得太阳本日实 行距夏至四十五度而即 以四十五度之防当某位 为某时者是以赤道之庚 防命时也【如庚防当午位即为午时】而 实度之辛防实在其东故 必以庚辛升度差变时为 时差以减于平时得用时 【如庚防当午初即午初为平时以时差减之得辛防 在已正为用时冬至后与夏至后同】准此论 之凡分后两象限用时皆 在平时西其时差宜加至 后两象限用时皆在平时 东其时差宜减此以分至 为时差加减之限赤道上 事也是二者一以髙卑为 加减之限一以分至为加 减之限若以太阳实行宫 度求得赤道同升度与平 行宫度相减余度变时为 时差逐度立表以加减平 时而得用时是合两次加 减为一次加减然而宫度 引数又因逐年最髙卑有 行分不能相同合立一表 虑岁久不可用故仍分作 二表一以太阳均数变时 用引数查之一以升度差 变时用实行查之依法加 减两次庶平时与用时相 较之分可得其眞数也 曚影刻分 曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之后距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有髙下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈髙则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是 如图甲为天顶乙丙为地 平丁戊为地平下一十八 度曚影限【乙丁及丙戊皆一十八度】已 为北极庚为南极辛壬为 赤道癸子为夏至距等圈 丑寅为冬至距等圈二分 时日行辛壬赤道出入于 卯交曚影限于辰则日在 卯辰弧地平上皆有光故 以卯辰为曚引之刻分也 若冬至时日行丑寅距等 圈出入于已交曚厯限于 午则日在巳午弧地平上 皆有光故以巳午为曚影 之刻分而巳午与赤道相 当之弧为未申其度多于 卯辰故冬至之刻分多于 二分也夏至时日行癸子 距等圈出入于酉交曚影 限于戌则日在酉戌弧地 平上皆有光故以酉戌为 曚影之刻分而酉戌与赤 道相当之弧为亥干其度 更多于未申故夏至之刻 分不惟多于二分而更多 于冬至也夫冬至相当之 未申弧度多于二分相当 之卯辰弧度其故易知若 夏至相当之亥干弧度多 于冬至相当之未申弧度 其故则难知葢未申亥干 二分皆系与赤道相当之 正非弧度也正之数 近圜心则疎疎则所当之 度少近圜周则宻宻则所 当之度多试于赤道上之 未申亥干四防各作垂线 引至圜周其割圜周之防 为坎艮震巽而坎艮弧为 未申弧相当之度【未卯为坎己弧 之正卯申为已艮弧之正以未卯与卯申相加 成未申以坎已与巳艮相加成坎艮故坎艮弧为未 申相当之度】震巽弧为亥干弧 相当之度【卯干为巳巽弧之正夘亥为 巳震弧之正以卯干与卯亥相减余亥干以已巽 与已震相减余震巽故震巽弧为亥干相当之度】以震巽弧与坎艮弧相较 则度之多少自见矣如求 二分之曚影刻分则用甲 巳辰斜弧三角形求巳角 为赤道之辛夘辰弧此形 有甲巳边五十度零五分 为北极距天顶之度【以京师北 极出地三十九度五十五分立法】有已辰 边九十度有甲辰边一百 零八度用三边求角法求 得巳角一百一十三 ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜