[book_name]历象考成后编 [book_author]戴进贤 [book_date]清代 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]天文地理,天文,完结 [book_length]158454 [book_dec]十卷。清戴进贤主编。康熙朝《历象考成》所述主要是丹麦天文学家第谷的宇宙体系和天文学数据。随着科技的发展，特别是望远镜的使用，第谷旧法所测经纬度与实测已出现了差距。乾隆初期不得不采用法国卡西尼的计算方法，引入行星运动的椭圆运动定律和面积定律。其宇宙体系仍是地心系统。后编的主要内容是修正日躔、月离二表，又增加表解图说，以阐明卡西尼计算方法的正确使用。该书乾隆朝有官刊本，有《摛藻堂四库全书荟要》本传世。 [book_img]Z_11177.jpg [book_title]御制厯象考成后编目録 天文算法类一【推之属】卷一 日躔数理 卷二 月离数理 卷三 交食数理 卷四 日躔歩法 月离歩法 卷五 月食歩法 卷六 日食歩法 卷七 日躔表 卷八 月离表上 卷九 月离表下 卷十 交食表 [book_title]提要 【臣】等谨案 御定厯象考成后编十卷乾隆二年奉 撰新法算书推步法数皆仍西史第谷之旧其 图表之参差觧説之隠晦者 圣祖仁皇帝厯象考成上下二编研精阐微穷究理数固己极一时推步之精示万世修明之法矣第测验渐久而渐精算术亦愈变而愈巧自康熙中西洋噶西尼法兰徳等出又新制坠子表以定时千里镜以测逺以发第谷未尽之义大端有三其一谓太阳地半径差旧定为三分今测止有十秒葢日天半径甚逺测量所系秪在秒微又有防气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日星相较可得其凖而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半经差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差以比例算之必更小于火星地半径差也其一谓清防气差旧定地平上为三十四分髙四十五度止有五秒今测地平上止三十二分髙四十五度尚有五十九秒其説谓防气绕乎地球之周日月星照乎防气之外人在地面为防气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎防气之中必反折之使下故光线与视线在防气之内则合而为一防气之外则岐而为二所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为防气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得防气差角也其一谓日月五星之本天旧説为平圆今以为圆两端径长両腰径短葢太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮推盈缩差惟中距与实测合而最髙最卑前后则差因用均轮以消息之然天行不能无差刻白尔以来屡加精测又以均轮所推髙卑前后渐有防差乃设本天为撱圆均分撱圆而积为逐日平行之度则卑卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与实测相符也据此三者则第谷旧法经纬俱有微差雍正八年六月朔日食以新法较之纎微宻合是以 世宗宪皇帝特允监臣戴进贤之请命脩日躔月离二表续于厯象考成之后然有表无説亦无推算之法吏部尚书顾琮恐久而失奏请増修表觧图説仰请 睿裁垂诸永久凡新法与旧不同之处始抉剔底 蕴阐发无余而其理仍与 圣祖仁皇帝御制上下二编若合符节益足见圣 圣相承先后同揆矣乾隆四十六年十月恭校上 总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 总　校　官 【臣】　陆　费　墀 钦定四库全书 [book_title]御制厯象考成后编卷一 日躔数理 日躔总论 嵗实 黄赤距纬 清气差 地半径差 用撱圆面积为平行 求两心差及撱圆与平圆之比例 求撱圆大小径之中率 撱圆角度与面积相求 求均数 日躔总论 钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月防而为朔行天一周而为嵗嵗月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治厯之大经万世莫能易也其推之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天髙卑本轮均轮诸説用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法逈殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天髙卑之説也至若嵗实之转増距纬与两心差之渐近地半径差气差之互为大小则亦由于积损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云 嵗实 日行天一周为嵗周嵗之日分为嵗实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一嵗实为三百六十五日四分日之一【周日为一万分四分之一为二千五百分】尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为嵗实太强减嵗余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓嵗当有差乃损嵗余以益天周嵗差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得嵗实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定嵗实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】嵗差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天嵗自为嵗而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测嵗实又谓第谷所减太过酌定嵗实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纤有竒每年少三十微有竒盖嵗实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒【见推日躔用数】而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于嵗实消长统天授时用之新法算书虽为之説而实未用其数兹不具论 黄赤距纬 黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年 皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园养斋开局测太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等厯考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十 数分之多康熙年间所用气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不逺由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载 清气差 清气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为髙映小为大而气之厚薄升像之髙下又随地不同其所作气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大气差三十四分自地平以上其差渐少至距地髙四十五度犹差五秒更髙则无气矣厥后西人又言北极髙四十八度太阳髙四十五度时气差尚有一分余自地平至天顶皆有气差上编具载其説而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等厯考西史第谷所定地平上气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其説谓气绕乎地球之周日月星照乎气之外人在地面为气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎气之中必反折之使下故光线与视线在气之内则合而为一气之外则岐而为二此二线所交之角即为气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得气差角爰在北极出地髙四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左 如图甲为地心乙为地面 乙甲为地半径一千万丙 乙为气之厚六千零九 十五丁为太阳【月星仿此】照于 气之戊人自地面乙视 之则见日于戊者当本天 之巳巳戊乙为视线丁戊 乙为光线是视线常髙光 线常卑视线常直光线常 折在戊气之内则光 线与视线合同为戊乙出 乎戊之外则视线己戊 光线丁戊岐而为二故己 戊丁角为气差角试自 地心甲出线过戊至庚 则庚甲即为地平上气 之割线己戊庚角为视线 与割线所成之角丁戊庚 角为光线与割线所成之 角而己戊丁气差角即 为两角之较今既测得地 平上气差为三十二分 一十九秒又测定气之 厚为六千零九十五则己 戊庚视线角与丁戊庚光 线角可以得其比例其术 用甲乙戊直角三角形以 甲戊一○○○六○九五 与甲乙一千万之比同于 乙直角正一千万与戊 角正九九九三九○八 【小余七一】之比而得戊角为八 十八度【小余百分秒之四二】即己戊 庚角又以己戊丁气差 角三十二分一十九秒与 之相加得八十八度三十 二分一十九秒【小余四二】即丁 戊庚角其正为九九九 六七四八【小余二五】夫视线角 之正己辛为九九九三 九○八【小余七一】则光线角之 正丁壬为九九九六七 四八【小余二五】若设己辛为一 千万则丁壬必为一○○ ○二八四一此两角正 之比例也既得两之比 例而气差之戊角与视 线交气割线之戊角同 以在地平为最大渐近天 顶则渐小则是二者常相 因而逐度之气差皆可 以两比例而推如求地 平上髙二十度癸己弧之 气差则癸戊乙为视线 子戊乙为光线丑戊甲为 地平上二十度气之割 线戊乙丙角为七十度癸 戊丑角为视线与割线所 成之角其正为癸寅子 戊丑角为光线与割线所 成之角其正为子卯先 用甲戊乙三角形求得戊 角六十九度五十四分一 十五秒【小余五五】即癸戊丑角 又以一千万与一○○○ 二八四一之比同于癸寅 与子卯之比而得子戊丑 角为六十九度五十六分 五十五秒【小余九二】两角相减 余癸戊子角二分四十秒 【小余三七】即地平上二十度之 气差也余仿此 地半径差 地半径差者视髙与实髙之差也太阳距地平近则差角大渐髙则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最髙距地心逺则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚逺无地半径差而测量所系只在秒微又有气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤逺地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其説今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最髙为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最髙为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左 康熙十一年壬子秋分前 十四日火星与太阳冲西 人噶西尼于富郎济亚国 测得火星距天顶五十九 度四十分一十五秒利实 尔于噶耶那岛测得火星 距天顶一十五度四十七 分五秒同时用有千里镜 能测秒微之仪器与子午 线上最近一恒星测其相 距噶西尼所测火星较低 一十五秒【如噶西尼测得火星距恒星下 四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十 分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九 度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火 星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度】以 之立法甲为地心乙为富 郎济亚国地面丙为天顶 丁为噶耶那岛地面戊为 天顶己为火星丙戊己庚 为子午线【如两地面不同在一子午线则 须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日 躔厯理】己乙丙角为乙处火 星视距天顶五十九度四 十分一十五秒己丁戊角 为丁处火星视距天顶一 十五度四十七分五秒【地面 为视距地心为实距】辛为恒星辛甲 丙角为乙处恒星距天顶 之度辛甲戊角为丁处恒 星距天顶之度因恒星距 地甚逺地面所视与地心 无异故无地半径差假若 火星亦无地半径差则乙 处火星实距天顶当为己 甲丙角丁处火星实距天 顶当为己甲戊角而火星 与恒星之相距即同为己 甲辛角无髙低之异乃乙 处所测火星距天顶为己 乙丙角较之实距天顶之 己甲丙角低一乙己甲角 是即乙处之地半径差也 丁处所测火星距天顶为 己丁戊角较之实距天顶 之己甲戊角低一丁己甲 角是即丁处之地半径差 也夫火星之距恒星一也 因乙处所测火星距天顶 逺故乙己甲差角大丁处 所测火星距天顶近故丁 己甲差角小则乙处所测 火星距恒星较丁处一 十五秒即两差角相减所 余之丁己乙角乃两处地 半径差之较也既得地半 径差较丁己乙角而欲求 地平上最大差甲壬乙角 则以两处所测火星距天 顶之正相减与地半径 差较秒数之比即同于半 径一千万与地平上最大 差秒数之比盖将己乙线 引长至癸自甲作甲癸垂 线成甲癸乙直角形癸为 直角乙角与己乙丙为对 角即乙处火星距天顶之 度甲癸为地半径差乙己 甲角之正【甲己为半径故】甲乙 为地半径即最大差甲壬 乙角之正【甲壬为半径故】其法 为乙角正与甲癸之比 同于癸直角正一千万 与甲乙之比检表而得壬 角也又将己丁线引长至 子自甲作甲子垂线成甲 子丁直角形子为直角丁 角与己丁戊为对角即丁 处火星距天顶之度甲子 为地半径差丁己甲角之 正甲丁与甲乙等亦为 最大差甲壬乙角之正 其法为丁角正与甲子 之比同于子直角正一 千万与甲丁之比亦检表 而得壬角也夫两视距天 顶之正与两地半径差 正之比既皆同于一千 万与最大差正之比则 两视距天顶正相减之 较与两地半径差正相 减之较之比亦必同于一 千万与最大差正之比 又地半径差角甚小其两 正之较与两角度之较 可以相为比例则两视距 天顶正相减之较与两 地半径差相减所余秒数 之比亦必同于一千万与 最大差秒数之比矣故以 己乙丙角五十九度四十 分一十五秒之正八六 三一三八六与己丁戊角 一十五度四十七分五秒 之正二七二○二三六 相减余五九一一一五○ 为一率乙己丁角一十五 秒为二率一千万为三率 求得四率二十五秒【小余三七】即甲壬乙角为火星在地 平上最大之地半径差也 既得火星地半径差甲壬 乙角而欲求太阳地半径 差甲丑乙角据歌白尼第 谷测得火星距地甲壬与 太阳距地甲丑之比如一 百与二百六十六其法当 先用甲乙壬形以乙角正 为一率甲壬为二率壬 角正为三率甲乙为四 率此第一比例也次用甲 乙丑形以甲丑为一率乙 角正为二率甲乙为三 率丑角正为四率此第 二比例也然第二比例之 二率三率即第一比例之 一率四率而一率四率相 乗原与二率三率相乗之 数等故即以甲丑二六六 为一率甲壬一○○为二 率壬角二十五秒【小余三七】为 三率求得四率九秒【小余五三】进为一十秒为丑角度【因壬 丑二角甚小正与角度可以相为比例故壬角用 秒丑角亦得秒】即太阳在地平上 最大之地半径差也 又按上编日躔求地半径 差法以两处恒星距天顶 相减余四十三度五十二 分五十五秒为戊丙弧即 戊甲丙角先用乙甲丁三 角形甲乙甲丁二边俱命 为一千万以甲角折半之 正倍之得七四七三○ 二三为乙丁边又以甲角 与半周相减余数半之得 六十八度三分三十二秒 三十微为乙角亦即丁角 次用乙己丁三角形此形 有乙丁边有己乙丁角五 十二度一十六分一十二 秒三十微【半周内减去甲乙丁角又减去 己乙丙角余即己乙丁角】有己丁乙角 一百二十七度四十三分 三十二秒三十微【半周内减去甲 丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己 丁角一十五秒【乙丁二角相并与半 周相减余即己角与前地半径差较合】求得 己丁边八一二七五一二 五一五四【小余二九】次用己丁 甲三角形此形有甲丁边 有丁己边有丁外角一十 五度四十七分五秒【即丁处火 星距天顶】将己丁线引长至子 成甲子丁直角形丁角正 二七二○二三六【小余五】即甲子边丁角余九六 二二九○六即丁子边以 丁子与己丁相加得己子 八一二八四七四八○六 ○【小余二九】为股甲子为勾求 得八一二八四七四八 一一二为甲己边与甲壬 等即火星距地心数以地 半径较之其比例为一与 八千一百二十八又以甲 壬为一率甲乙为二率一 千万为三率求得四率一 二三○【小余二四】为壬角之正 检表得二十五秒【小余三七】为火星在地平上最大差 与前法所得数同【上编求日纒地 半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶 南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天 顶之正相加与地半径差总秒数之比同于一千 万与地平上最大差秒数之比耳】 用撱圆面积为平行 太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图説如左 如图甲为地心乙丙丁戊 为黄道己为不同心天之 心庚辛壬癸为不同心天 乙庚为本轮半径与甲己 两心差等以本轮之法论 之最卑时本轮心在乙太 阳在庚中距时本轮心在 丙太阳在辛乙丙为平行 九十度辛甲丙角为平行 实行之最大差以不同心 天之法论之太阳自最卑 庚行至辛亦九十度己辛 甲角为平行实行之最大 差与辛甲丙角等故本轮 之法与不同心天之法相 同以均轮之法论之最卑 时本轮心在乙均轮心在 子太阳在丑中距时本轮 心在丙均轮心在卯太阳 在辛最髙时本轮心在丁 均轮心在辰太阳在巳辛 甲丙角最大差仍当甲己 之全而丑乙之卑于本天 半径巳丁之髙于本天半 径者止及甲己之半与甲 寅等故以推盈缩差惟中 距与本轮同最髙半周比 之本轮则大【距地近故角大】最卑 半周比之本轮则小【距地逺故 角小】此其所以消息乎本轮 之行度者当时必有所据 而自刻白尔以来则谓髙 卑之数均轮所定诚是但 其数渐减耳至以推盈缩 差则均轮之所消息者又 属太过惟以寅为不同心 天之心作撱圆形自地心 甲分之计太阳在撱圆 周右旋其所行之分撱圆 面积日日皆相等而用以 推黄道实行之盈缩则在 本轮均轮所得数之间而 与实测脗合试以寅为心 与己丑作十字线又取寅 丑之度从甲截横线于午 使午甲午己皆与寅丑半 径等乃以甲己两各为 心午为界各用一针钉之 围以丝线末以铅笔代午 针引而旋转即成丑午己 未撱圆形寅丑寅己为撱 圆大半径寅午寅未为撱 圆小半径则撱圆不以甲 己为心而以寅为心丑乙 之卑于黄道巳丁之髙于 黄道者止及甲己之半与 寅甲等是髙卑之理与均 轮合矣又将撱圆面积以 甲为心均分为三百六十 分每分之积皆为一度每 一度积为六十分太阳每 日右旋当每一度积之五 十九分有竒是为平行在 最卑半周甲心至撱圆界 之线短则角度必寛是为 行盈在最髙半周甲心至 撱圆界之线长则角度必 狭是为行缩故太阳循撱 圆周行惟所当之面积相 等而角不等其角度与积 度之较即平行实行之差 中距平行至申甲申丑积 为撱圆四分之一为平行 九十度与寅午丑积等【申午 酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等】亦 与申己甲角等而自地心 甲计之己当黄道之戌戌 甲丑角为实行己申甲角 为平行实行之差是中距 之盈缩差与本轮均轮皆 合矣用是以推逐度之盈 缩差在最髙半周比之本 轮固大比之均轮又微小 最卑半周比之本轮固小 比之均轮又微大验诸实 测庶为近之推算之法具 详后篇 求两心差及撱圆与平圆之比例 新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有竒乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为求得股九九九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆之小半径而凡撱圆之正角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉 如图甲为地心乙为本天 心甲乙为两心差甲丙为 倍差丁戊己庚撱圆为本 天乙丁为大半径一午万 乙戊为小半径丙戊甲戊 皆与乙丁等太阳行至戊 甲戊丁分撱圆面积八十 九度一分五十四秒为平 行其小于九十度之五十 八分六秒即甲乙戊勾股 积【乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊 丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积】亦即 乙戊甲角【甲乙戊勾股积甲戊边即大径 乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面 相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲 己则边长而角小详后篇】戊甲丁角九 十度五十八分零六秒为 实行其大于九十度者亦 五十八分六秒即戊甲辛 角与乙戊甲角等亦与丙 戊乙角等平行实行之差 一度五十六分一十二秒 即甲戊丙角折半得五十 八分零六秒即乙戊甲角 甲戊既为一千万则甲乙 即乙戊甲角之正故检 表得一六九○○○即甲 乙两心差以甲乙为勾甲 戊为求得乙戊股九九 九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆小半径也既得撱 圆小径则凡撱圆之面线 及角度皆可以得其比例 以正之比例言之试以 乙为心乙丁为半径作丁 壬己癸平圆则撱圆乙丁 大半径与平圆乙壬半径 相等戊乙小半径之小于 平圆半径者即壬戊撱圆 差若逐度割之则撱圆之 余必与平圆之余相 等而撱圆之正必小于 平圆之正然平圆正 与撱圆正之比例必同 于平圆半径与撱圆小半 径之比例也如丁为初 度无正丁乙为初度之 余平圆与撱圆等丁壬 弧为九十度无余壬乙 为平圆九十度之正即 大半径戊乙为撱圆九十 度之正即小半径壬戊 即九十度之撱圆差丁子 弧为三十度丑乙为三十 度之余平圆与撱圆等 子丑为平圆三十度之正 寅丑为撱圆三十度之 正子寅为三十度之撱 圆差丁卯弧为六十度辰 乙为六十度之余平圆 与撱圆等卯辰为平圆六 十度之正巳辰为撱圆 六十度之正卯巳为六 十度之撱圆差则子丑与 寅丑之比卯辰与巳辰之 比皆同于壬乙与戊乙之 比而子丑与子寅之比卯 辰与卯巳之比皆同于壬 乙与壬戊之比也奚以明 其然也盖撱圆之与平圆 处处皆有一小半径藏乎 其内试取壬戊之分于乙 心作圜则午乙未乙申乙 酉乙皆与壬戊等壬午卯 未子申丁酉皆与戊乙等 是推而抵于平圆之界各 有一小半径在也又自甲 丙二出线合于戊则小 径之端在戊而末在乙自 甲丙二出线合于丁则 小径之端在丁而末在酉 若自甲丙出二线合于寅 则小径必端在寅而末在 戌合于巳则小径必端在 巳而末在亥是引而归于 平圆之径又各有一小半 径在也夫寅戌巳亥既皆 为小径而申戌未亥又与 子丑卯辰为平行则寅戌 与子申巳亥与卯未亦必 为平行而申戌与子寅未 亥与卯巳必各相等故乙 子丑与戌寅丑及乙申戌 为同式形乙卯辰与亥巳 辰及乙未亥亦为同式形 而子丑与寅丑之比同于 子乙【即壬乙】与寅戌【即戊乙】之 比卯辰与巳辰之比同于 卯乙【即壬乙】与巳亥【即戊乙】之 比又子丑与申戌【即子寅】之 比同于子乙【即壬乙】与申乙 【即壬戊】之比卯辰与未亥【即卯 巳】之比同于卯乙【即壬乙】与 未乙【即壬戊】之比是平圆与 撱圆正之比例同于大 径与小径之比例也以角 度之比例言之设卯乙辰 角为平圆六十度【即丁卯弧】求 撱圆之巳乙辰角试以乙 辰为半径作弧则卯辰为 卯乙辰角之正切巳辰为 巳乙辰角之正切夫卯辰 与巳辰之比既同于壬乙 与戊乙之比则卯乙辰角 之正切与巳乙辰角正切 之比亦必同于壬乙与戊 乙之比故以壬乙一千万 为一率戊乙九九九八五 七一【小余八五】为二率卯乙辰 角六十度之正切一七三 二○五○八为三率求得 四率一七三一八○三四 为巳乙辰角之正切检表 得五十九度五十九分四 十七秒即巳乙辰角而卯 乙巳角一十三秒为撱圆 差角【卯乙辰角内减巳乙辰角余即卯乙巳角】又设巳甲辰角六十度五 十分三十二秒求卯甲辰 角试以甲辰为半径作弧 则巳辰为巳甲辰角之正 切卯辰为卯甲辰角之正 切夫卯辰与巳辰之比既 同于壬乙与戊乙之比则 巳辰与卯辰之比必同于 戊乙与壬乙之比而巳甲 辰角之正切与卯甲辰角 正切之比亦必同于戊乙 与壬乙之比故以戊乙九 九九八五七一【小余八五】为一 率壬乙一千万为二率巳 甲辰角之正切一七九二 三八九七为三率求得四 率一七九二六四五七为 卯甲辰角之正切检表得 六十度五十分四十五秒 即卯甲辰角而卯甲巳角 一十三秒为撱圆差角是 平圆与撱圆角度之比例 亦同于大径与小径之比 例也再以面积之比例言 之凡平圆面积与撱圆面 积之比例同于平圆外切 正方面积与撱圆外切长 方面积之比例亦即同于 撱圆大径与小径之比例 【撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节】如求撱圆六十度之面积 则先设丁卯弧六十度求 乙卯丁六十度之平圆面 积以比之法以半周率三 一四一五九二六五【定率圆径 一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万 为半径故周率为半周】用三分之得 一○四七一九七五五为 卯丁弧线【因卯丁弧六十度为半周三分 之一故三分半周率而得卯丁弧线若有竒零则须 用比例法】与乙卯半径一千万 相乗折半得五二三五九 八七七五○○○○○即 乙卯丁分平圆六十度之 面积而为丁壬己癸平圆 全积六分之一又以壬乙 大半径一千万为一率戊 乙小半径九九九八五七 一【小余八五】为二率乙卯丁积 为三率求得四率五二三 五二三九九七二四○九 五即乙己丁分撱圆六十 度之面积而为丁戊己庚 撱圆全积六分之一也【此所 得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径 之小余为八四八进为八五之故然于圆度只差纎 忽可不计也】盖将平圆撱圆二 面积依壬癸横径缕析之 则皆成线矣其线与线之 比既同于大径与小径之 比则面与面之比亦同于 大径与小径之比故分之 丁卯辰弧矢积与丁巳辰 弧矢积之比卯辰乙勾股 积与巳辰乙勾股积之比 皆同于大径与小径之比 而合之乙卯丁分平圆面 积与乙巳丁分撱圆面积 之比亦必同于大径与小 径之比也既得撱圆与平 圆之各比例则面线角度 皆可得而求至于撱圆正 以平圆命度而角度不 同分撱圆面积与全积相 当而角不相应则撱圆差 之所生而与平圆之所以 别也 求撱圆大小径之中率 凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣【见前篇】况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也 如图甲为地心乙为本天 心乙甲为两心差丙甲为 倍差丁戊己庚撱圆为本 天乙丁为大半径一千万 乙戊为小半径九九九八 五七一【小余八四八○一九一】试以 乙丁大半径作丁辛己壬 平圆则平圆与撱圆二面 积之比例同于平圆外切 癸子丑寅正方积与撱圆 外切卯辰巳午长方积之 比例又试以乙丁大半径 为首率乙戊小半径为末 率求得乙申中率九九九 九二八五【小余八九】作平圆则 大半径所作丁辛己壬平 圆与中率所作申酉戌亥 平圆二面积之比例亦同 于大径平圆外切癸子丑 寅正方积与中率平圆外 切干坎艮震正方积之比 例此二比例既同而干坎 艮震正方积原与卯辰巳 午长方积等【首率末率相乘与中率自 乗等】则申酉戌亥平圆积亦 必与丁戊己庚撱圆积相 等矣乃以己丁大径二千 万与戊庚小径一九九九 七一四三【小余六九六○三八二】相 乗得卯辰巳午长方积与 干坎艮震正方积等以方 与圆之比例定率七八五 三九八一六二五通之得 三一四一一四三九八二 八二三三七为申酉戌亥 平圆面积与丁戊己庚撱 圆面积等将申酉戌亥平 圆面积以三百六十度除 之得八七二五三九九九 五二二九为一度之面积 其形为分平圆面其两腰 皆为中率半径与乙申等 其弧其角皆为一度若将 丁戊己庚撱圆面积自甲 心亦平分为三百六十分 则其形为分撱圆面其两 腰自甲丁极短以渐而长 逐度俱不等其弧其角亦 不等然其每分之面积则 皆与一度之面积等故凡 分一段撱圆面积以一度 之面积为法而一则面积 即可以度分命之然后以 面积之度与角度相较而 平行实行之差出焉如以 甲为心以中率为半径作 平圆则甲巽丁分撱圆面 积为太阳距最卑后之平 行度与甲离申分平圆面 积等亦即与离甲申角等 巽甲离角为平行实行之 差其实行在平行前甲坤 己分撱圆面积为太阳距 最髙后之平行度与甲兑 戌分平圆面积等亦即与 兑甲戌角等兑甲坤角为 平行实行之差其实行在 平行后也 撱圆角度与面积相求 前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反覆参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图説详着于左 先设以角求积法如图甲 为地心乙为本天心甲乙 为两心差丙甲为倍差丁 戊己庚为本天丁为最卑 己为最髙设太阳在辛辛 甲丁角为实行距最卑后 六十度求甲辛丁分撱圆 面积平行若干度分先将 甲辛线引长至壬作丙壬 垂线成甲丙壬辛丙壬两 勾股形乃以半径一千万 为一率甲角六十度之正 八六六○二五四为二 率【丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等】丙 甲倍两心差三三八○○ ○为三率求得四率二九 二七一六【小余五九】为丙壬边 又以半径一千万为一率 甲角六十度之余五○ ○○○○○为二率丙甲 边为三率求得四率一六 九○○○为甲壬边次以 丙壬为勾自乗以甲壬与 甲辛丙辛两边和二千万 相加得二○一六九○○ ○为股和除之得四二 四八【小余二五】为股较与股 和相加折半得一○○ 八六六二四【小余一三】为丙辛 边与二千万相减余九九 一三三七五【小余八七】为甲辛 边即太阳距地心线次以 半径一千万为一率甲角 六十度之正八六六○ 二五四为二率甲辛边为 三率求得四率八五八五 二三五【小余三○】即辛癸边次 以撱圆小径九九九八五 七一【小余八五】为一率大径一 千万为二率辛癸边为三 率求得四率八五八六四 六一【小余五八】即子癸边检正 得五十九度九分五十 三秒【小余六九】即乙角度亦即 子丁弧度次以半周天一 百八十度化作六十四万 八千秒为一率半圆周定 率三一四一五九二六【小余 五】为二率乙角度分化作 二十一万二千九百九十 三秒【小余六九】为三率求得四 率一○三二六二二五【小余 四七八四○○九】为子丁弧线与 乙丁半径一千万相乗折 半得五一六三一一二七 三九二○○五为乙子丁 分平圆面积次以撱圆大 径一千万为一率小径九 九九八五七一【小余八五】为二 率乙子丁积为三率求得 四率五一六二三七五三 六九二五四六为乙辛丁 分撱圆面积次以乙甲一 六九○○○与辛癸八五 八五二三五【小余三○】相乗折 半得七二五四五二八八 二八五○为辛乙甲三角 积【辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同 底同髙折半之积等】与乙辛丁积相 减余五○八九八三○○ 八○九六九六即甲辛丁 分撱圆面积以一度之面 积定率八七二五三九九 九五二二九除之得五十 八度三三三四【小余八七】收作 五十八度二十分○秒三 十三微即实行距最卑后 六十度时之平行度也 又法求甲辛太阳距地心 线将甲辛线引长至壬使辛 壬与丙辛等又自丙至壬作 丙壬线成甲丙壬三角形此 形知丙甲倍两心差三三八 ○○○知甲壬二千万知甲 外角六【甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛 等故甲壬亦二千万】十度用切线分 外角法求得壬角四十九分 五十三秒又求得丙壬边二 【小余三六】○一七一○八○次 将丙壬边折半【小余二九】于癸 作辛癸垂线成壬癸辛直角 形以半径一千万为一率壬 角正割线一○○○一○五 三为二率癸壬边一○○八 五【小余三五】五四○为三率求 得四率一○○甲辛【小余一四五】丙辛共二千万辛壬既与丙 八六六○二【小余六一】为辛壬 边与甲壬二千万相减余 九九一三三九七【小余三九】即 甲辛太阳距地心线也此 法所得甲辛线较前法多 二十二盖因壬角甚小比 例易差耳然其角度自不 爽故后借角求角之法则 用之且以甲为心以二千 万为半径作圜【如甲壬】又取 两心差之倍度截直径于 丙自丙出线至圜周【如丙壬】折半作垂线【如癸辛】所抵圜 径之即撱圆界【如辛】依 法逐度作连之即成撱 圆周以此发明撱圆之理 最为精巧故附于此 又设太阳在壬壬甲己角 为实行距最髙后六十度 求甲壬己分撱圆面积平 行若干度分则以半径一 千万为一率甲角六十度 之正八六六○二五四 为二率丙甲三三八○○ ○为三率求得四率二九 二七一六【小余五九】为丙癸垂 线又以半径一千万为一 率甲角六十度之余五 ○○○○○○为二率丙 甲边为三率求得四率一 六九○○○为甲癸分边 次以丙癸为勾自乘以甲 癸与甲壬丙壬两边和二 千万相减余一九八三一 ○○○为股和除之得 四三二○【小余六六】为股较 与股和相加折半得九 九一七六六○【小余三三】为丙 壬边与二千万相减余一 ○○八二三三九【小余六七】为 甲壬边即太阳距地心线 次以半径一千万为一率 甲角六十度之正八六 六○二五四为二率甲壬 边为三率求得四率八七 三一五六二【小余二五】即壬子 边次以撱圆小径九九九 八五七一【小余八五】为一率大 径一千万为二率壬子边 为三率求得四率八七三 二八○九【小余四二】即丑子边 检正得六十度五十分 三十一秒【小余八三】即乙角度 亦即己丑弧度次以半周 天一百八十度化作六十 四万八千秒为一率半周 率三一四一五九二六【小余 五】为二率乙角度分化作 二十一万九千零三十一 秒【小余八三】为三率求得四率 一○六一八九六二【小余七六 六一一一九】为已丑弧线与已 乙半径一千万相乗折半 得五三○九四八一三八 三○五五九为乙丑已分 平圆面积次以撱圆大径 一千万为一率小径九九 九八五七一【小余八五】为二率 乙丑己积为三率求得四 率五三○八七二三一○ 九四七二二为乙壬已分 撱圆面积次以甲乙一六 九○○○与壬子八七三 一五六二【小余二五】相乗折半 得七三七八一七○一○ 一二五为壬乙甲三角积 与乙壬己积相加得五三 八二五○四八一○四八 四七即甲壬己分撱圆面 积以一度之面积定率八 七二五三九九九五二二 九除之得六十一度六八 七七【小余七二】收作六十一度 四十一分一十五秒五十 八微即实行距最髙后六 十度时之平行度也若设 平行求实行亦可以所得 之平行转相比例然必累 求累较方得恰合【一率两设平行 较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实 行较】法属繁难故兹不载 次设以积求角之法如太 阳在辛甲辛丁分撱圆面 积为平行距最卑后一度 求甲角实行若干度分法 以甲丁最卑距地心九八 三一○○○【乙丁一千万减甲乙两心 差一六九○○○余甲丁】自乗得九六 六四八五六一○○○○ ○○为一率中率半径九 九九九二八六自乗得九 九九八五七一八四八○ 一九一【即大径与小径相乗之数】为二 率甲辛丁一度之面积八 七二五三九九九五二二 九为三率求得四率九○ 二六六七七四二○○三 以一度之面积八七二五 三九九九五二二九除之 得一度二分四秒【小余三○】为 甲角度即平行距最卑后 一度时之实行度也盖以 甲为心以中率为半径作 弧将甲丁线引长至壬甲 辛线引长至癸则甲壬甲 癸皆为中率甲壬癸分平 圆面积与一度之面积为 比例即得甲角而甲辛丁 分撱圆面与甲壬癸分平 圆面为同式形【甲辛长于甲丁然为 数无多故为同式形】以甲丁自乗正 方积与甲壬自乗正方积 之比即同于甲辛丁积与 甲壬癸积之比【凡同式形两面积之 比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷 第九节】故先比例得甲壬癸 积以一度之面积除之而 得甲角也【捷法以甲丁自乗方积除甲壬 自乗方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率 相乗又以一度面积除今省一乗则并省一除也】又如太阳在子甲子丁分 撱圆面积为平行距最卑 后二度求子甲丁角实行 若干度分则先求平行距 最卑后一度时日距地心 之甲辛线将甲辛线引长 至丑自丙作丙丑垂线成 甲丑丙辛丑丙两勾股形 以半径一千万为一率甲 角一度二分四秒【小余三○】之 正一八○五四九【小余五五】为二率甲丙边三三八○ ○○为三率求得四率六 一○二【小余五七】为丙丑边又 以半径一千万为一率甲 角一度二分四秒【小余三○】之 余九九九八三七○【小余 一三】为二率甲丙边为三率 求得四率三三七九四四 【小余九一】为甲丑边乃以丙丑 为勾自乗以甲丑与丙辛 甲辛两边和二千万相加 得二○三三七九四四【小余 九一】为股和除之得一【小余 八三】为股较与股和相 加折半得一○一六八九 七三【小余三七】为辛丙与丙 辛甲辛两边和二千万相 减余九八三一○二六【小余 六三】为甲辛日距地心线次 以甲辛子形与甲癸寅形 为比例以甲辛边自乗得 九六六四九○八四五九 九七六九为一率甲癸中 率自乗得九九九八五七 一八四八○一九一为二 率甲子辛一度之面积八 七二五三九九九五二二 九为三率求得四率九○ 二六六二八五一七六九 为甲癸寅分平圆面积以 一度之面积除之得一度 二分四秒【小余二八】即癸甲寅 角与先得之癸甲壬角一 度二分四秒【小余三○】相加得 二度四分八秒【小余五八】为子 甲丁角即平行距最卑后 二度时之实行度也此所 求之实行用求积法反求 之少半秒强因日距地心 线自最卑丁以渐而长中 距戊为适中至最髙巳而 止今所用一率微小故所 得四率微大若每分递算 自得密合然须逐一先求 日距地心线若积度多者 则须合前法而兼用之故 又设后法 次设借积求积之法如平 行距最卑后四十五度求 实行若干度分先从本天 心设辛乙丁角为四十五 度则乙壬丁积即为分撱 圆四十五度之面积三九 二六四二九九七八五二 九二【将撱圆全积八分之得乙壬丁积数】求 得壬乙丁角为四十四度 五十九分四十五秒【小余二七 法见前】次与乙壬平行作丙 癸线使丙角与壬乙丁角 等自甲至癸作甲癸线此 甲癸线所截甲癸丁分撱 圆面积若与乙壬丁积等 则癸甲丁角即为平行距 最卑后四十五度之实行 度乃用甲丙癸三角形求 癸甲丁角以半径一千万 为一率丙角正七○七 ○五六二【小余七六】为二率甲 丙三三八○○○为三率 求得四率二三八九八五 【小余○二】为甲子垂线又以半 径一千万为一率丙角余 七○七一五七二【小余七七】为二率甲丙边为三率求 得四率二三九○一九【小余 一六】为丙子分边次以甲子 为勾自乗以丙子与丙癸 甲癸两边和二千万相减 余一九七六○九八○【小余 八四】为股和除之得二八 九○【小余二三】为股较与股 和相加得一九七六三 八七一【小余○七】折半得九八 八一九三五【小余五四】为甲癸 边次以甲癸边为一率甲 子垂线为二率半径一千 万为三率求得四率二四 一八四○【小余二九】检正得 一度二十三分八秒【小余七九】即癸角度与丙角相加得 四十六度二十二分五十 四秒【小余○六】即癸甲丁角度 【用切线分外角法得数较捷因癸角度小比例得甲 癸线难得确凖故用垂线法】然甲癸线 所截甲癸丁分撱圆面积 比所设乙壬丁四十五度 之面积小一甲乙丑积与 寅壬癸积等【甲癸丁积比乙壬丁积多 一卯壬癸积少一甲乙卯积而甲乙与寅癸等甲卯 与卯癸等乙卯与卯寅等卯壬与卯丑等故甲乙卯 积与寅癸卯积等卯壬癸积与卯甲丑积等以多补 少尚少一甲乙丑积与寅壬癸积相等也】乃用 前角求积法以半径一千 万为一率甲角四十六度 二十二分五十四秒【小余○六】之正七二三九五一三 【小余六○】为二率甲癸边为三 率求得四率七一五四○ 四○【小余六七】即癸辰边次以 撱圆小半径九九九八五 七一【小余八五】为一率大半径 一千万为二率癸辰边为 三率求得四率七一五五 ○六二【小余五二】即己辰边检 正得四十五度四十一 分四秒【小余九四】即巳乙丁角 度亦即巳丁弧度次以半 周天一百八十度化作六 十四万八千秒为一率半 周率三一四一五九二六 【小余五】为二率巳丁弧度分 化作一十六万四千四百 六十四秒【小余九四】为三率求 得四率七九七三四八五 【小余二八八三七四八】为巳丁弧线 与半径一千万相乗折半 得三九八六七四二六四 四一八七四为乙巳丁分 平圆面积次以撱圆大半 径一千万为一率小半径 九九九八五七一【小余八五】为 二率乙巳丁分平圆面积 为三率求得四率三九八 六一七三二七七五三六 七为乙癸丁分撱圆面积 内减所设乙壬丁分撱圆 四十五度之面积余五九 七四三二九九○○七五 为乙癸壬积次以癸辰边 七一五四○四○【小余六七】与 癸寅边一六九○○○相 乗折半得六○四五一六 四三六六一五为乙癸寅 积内减乙癸壬积余七○ 八三四四六五四○为寅 壬癸积与甲乙丑积等即 甲癸丁积小于乙壬丁积 之较【或于乙癸丁积内先减甲乙癸积得甲癸 丁积再与乙壬丁积相减得数亦同】夫甲癸 丁积既小于乙壬丁积则 是甲癸丁积不足四十五 度而平行距最卑后四十 五度时太阳必仍在癸 之前如午则甲癸午积与 寅壬癸积等甲午丁为分 撱圆四十五度之面积与 乙壬丁积等实行午甲丁 角比癸甲丁角尚大一午 甲癸角乃用前积求角法 将甲癸线引长至未甲午 线引长至申甲未甲申皆 为中率半径成甲未申分 平圆面与甲癸午为同式 形以甲癸自乗得九七六 五二六五○○一六七一 五为一率甲未中率自乗 得九九九八五七一八四 八○一九一为二率甲癸 午积七○八三四四六五 四○为三率求得四率七 二五二六八○七一六为 甲未申积以撱圆一秒之 面积二四二三七二二二 一除之得二十九秒【小余九二】为未甲申角【即癸甲午角】与癸 甲丁角四十六度二十二 分五十四秒【小余○六】相加得 四十六度二十三分二十 三秒【小余九八】为午甲丁角即 平行距最卑后四十五度 时之实行度也此法乃合 前二法而兼用之而午甲 癸角止三十秒甲癸甲午 二线相差无多得数为密 其所以先设辛乙丁角为 四十五度乙壬丁积为四 十五度而求壬乙丁角以 为丙角者第借积以比其 大小耳究之撱圆面积逐 度皆有成数原不待求且 先求壬乙丁角为丙角而 求甲癸丁积又与所设之 乙壬丁积相差不逺则并 先求壬乙丁角亦属可省 详后法 又法迳设丙角为四十五 度依前法求得甲癸线九 八八一九四四【小余二八】癸甲 丁角四十六度二十三分 九秒【小余一四】甲癸丁积三九 二六○七九四六七九三 四八与四十五度撱圆积 三九二六四二九九七八 五二九二相减余三五○ 五一○五九四四为甲癸 丁积小于四十五度平行 积之较即知平行四十五 度时太阳在癸之前如 午乃以甲癸自乘得九七 六五二八二二七五三○ 二五为一率中率自乘方 九九九八五七一八四八 ○一九一为二率积较为 三率【即甲癸午积】求得四率三 五八八八四一八四一为 甲未申分平圆面积以一 秒之面积二四二三七二 二二一除之得一十四秒 【小余八一】为未甲申角【即癸甲午角】与癸甲丁角四十六度二 十三分九秒【小余一四】相加得 午甲丁角为四十六度二 十三分二十三秒【小余九五】即 平行距最卑后四十五度 时之实行度此法得数与 前同而即以平行积度为 丙角较前法为省便也 又如平行距最卑后九十 度求实行若干度分则先 设丙角为九十度作丙丑 甲丑二线成甲丙丑勾股 形依法求得甲丑线一○ ○○二八五六【小余一】丑甲 丁角九十一度五十六分 一十一秒【小余○九】甲丑丁积 七八五二八七六○一八 三六九五与九十度撱圆 积七八五二八五九九五 七○五八四相减余一六 ○六一三一一一为甲丑 丁积大于九十度平行积 之较即知平行九十度时 太阳在丑之后如卯乃 依中率半径截甲卯线于 辰截甲丑线于巳成甲辰 巳分平圆面与甲卯丑为 同式形以甲丑自乘得一 ○○○五七一三○一五 七三○七为一率中率自 乘方九九九八五七一八 四八○一九一为二率积 较为三率【即丑甲卯积】求得四 率一六○四九八四八○ 为甲辰巳分平圆面积以 一秒之面积二四二三七 二二二一除之得百分秒 之六六为辰甲已角【即丑甲卯 角】与丑甲丁角九十一度 五十六分一十一秒【小余○九】相减余九十一度五十六 分一十秒【小余四三】为卯甲丁 角即平行距最卑后九十 度时之实行度也 又如平行距最卑后一百 二十度求实行若干度分 则先设丙角为一百二十 度作丙寅甲寅二线成甲 丙寅三角形依法求得甲 寅线一○○八六六二四 【小余一三】寅甲丁角一百二十 一度三十九分四十六秒 【小余六九】甲寅丁积一○四七 ○七九九○六四九五○ 六与一百二十度之撱圆 积一○四七○四七九九 四二七四四六相减余三 一九一二二二○六○为 甲寅丁积大于一百二十 度平行积之较即知平行 一百二十度时太阳在寅 之后如辰乃依中率半 径截甲寅线于巳截甲辰 线于午成甲巳午分平圆 面与甲寅辰为同式形以 甲寅边自乘得一○一七 三九九八六三三九八九 八为一率中率自乘方九 九九八五七一八四八○ 一九一为二率积较为三 率【即甲寅辰积】求得四率三一 三六一九七八九一为甲 已午积以一秒之面积二 四二三七二二二一除之 得一十二秒【小余九四】为巳甲 午角【即寅甲辰角】与寅甲丁角 一百二十一度三十九分 四十六秒【小余六九】相减余一 百二十一度三十九分三 十三秒【小余七五】为辰甲丁角 即平行距最卑后一百二 十度时之实行度也右借 积求积之法最为精密而 理亦易晓然须乗除比例 十数次推算则属繁难故 又设后法 次设借角求角之法如太 阳平行距最卑后四十五 度求实行若干度分先从 本天心设丁乙辛角为四 十五度则乙壬丁分撱圆 面积亦为四十五度次将 丁乙辛角加癸乙子撱圆 差角【九十度以内大一撱圆差角九十度以外 小一撱圆差角解见后】以撱圆小半 径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为 二率所设丁乙辛角四十 五度之正切一千万为三 率求得四率一○○○一 四二八【小余三五】为丁乙癸角 之正切检表得四十五度 ○分一十四秒【小余七三】即丁 乙癸角度次与乙癸平行 作丙丑线自甲作甲丑线 则丙角与丁乙癸角等而 甲丑丁积为分撱圆四十 五度之面积与乙壬丁积 等是为平行丑甲丁角即 为实行乃将丙丑线引长 至寅使丑寅与甲丑等则 丙寅为二千万【甲丑丙丑共二千万 丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万】又自甲 至寅作甲寅线成甲寅丙 三角形用切线分外角法 求得寅角四十一分三十 四秒【小余七四】倍之得一度二 十三分九秒【小余四九】即甲丙 丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以 甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑 等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】与丙角四十五度○分一 十四秒【小余七三】相加得四十 六度二十三分二十四秒 【小余二二】为丑甲丁角度【丑甲丁角 为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与 丙角相加得丑甲丁角】即平行距最 卑后四十五度时之实行 度也然则何以设丙角比 平行积度大一撱圆差角 而甲丑丁积即与平行积 度相等也盖与丙丑平行 之乙癸线截本天于卯所 截之乙卯丁积比甲丑丁 积多一甲乙巳形【乙卯丁积比甲 丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰 等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补 少尚多一甲乙巳积也】此甲乙巳形 之积与癸午倍撱圆差乘 乙未余折半之乙癸午 三角形积等【癸子辛壬皆撱圆差而辛 壬防小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故 谓癸午为倍差】亦即与乙卯壬积 等【以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓 相等】夫乙卯丁积比乙壬丁 积多一乙卯壬形比甲丑 丁积多一甲乙巳形甲乙 已积既与乙卯壬积等则 甲丑丁积必与乙壬丁积 等而乙壬丁为分撱圆四 十五度之面积辛乙丁角 为四十五度之角癸乙丁 角比辛乙丁角原大一撱 圆差角丑丙丁角又原与 癸乙丁角等故设丙角比 平行积大一撱圆差角而 甲丑线所截撱圆积即与 平行积相等也然则又何 以知甲乙巳积与乙癸午 积相等也试以乙丁大半 径作乙丁申酉正方形又 以乙戊小半径作乙戊戌 亥正方形两积相减余酉 申丁亥戌戊磬折形积与 两心差自乘之甲乙干坎 正方积等【乙丁与甲戊等为乙戊为股 甲乙为勾股两方相减与勾方等】斜分而 半之则乙甲坎勾股积即 与酉申戌戊斜尖长方积 等而申艮倍撱圆差与酉 申相乘折半之乙申艮三 角积原与酉申震戊长方 积等【乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以 酉申为髙而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相 乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等】比酉申戌戊斜尖长方积 仅多申震戌一小勾股积 则借乙申艮三角积为与 乙甲坎勾股积相等可也 又以方为斜截丁辛弧为 四十五度乙辛与乙丁等 辛巽为四十五度之正 辛离为四十五度之余 依乙戊小径截乙辛线于 坤依乙甲两心差截乙辛 线于兑与辛巽平行作坤 亢兑氐二线与辛离平行 作坤房兑尾二线所成正 方各为前图正方积之一 半则于离辛巽乙正方形 内减房坤亢乙正方形余 离辛巽亢坤房磬折形积 亦与乙尾兑氐正方积等 乙兑氐勾股积亦与离辛 坤房斜尖长方积等而辛 箕倍撱圆差乘辛离余 折半之乙辛箕三角积原 与离辛壬房长方积等【辛壬 为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离余相 乗折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等】比 离辛坤房斜尖长方积仅 多辛壬坤一小勾股积则 借乙辛箕三角积为与乙 兑氐勾股积相等亦可也 由此推之逐度之正余 所成之勾股虽非正方 而斜不改则各数比例 皆同试自与丙丑平行之 乙癸线所截之癸作癸 未正癸斗余又依乙 戊小径截乙癸线于牛作 牛女牛虚二线又依甲乙 两心差截乙癸线于水作 水火水金二线皆相平行 则于斗癸未乙长方形内 减去女牛虚乙长方形余 斗癸未虚牛女磬折形积 亦与金水火乙长方积等 乙水火勾股积亦与斗癸 牛女斜尖长方积等而癸 午倍撱圆差乗癸斗余 【与乙未等】折半之乙癸午三角 积原与斗癸子女长方积 等【癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗余相乗 折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等】比 斗癸牛女斜尖长方积仅 多癸牛子一小勾股积则 借乙癸午积为亦与乙水 火勾股积等而甲乙土勾 股与乙水火勾股为相等 形【同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与 乙水等故三边及面积皆相等】比甲乙巳 积仅多甲巳土一小弧矢 积其差只在微纎之间故 谓甲乙巳积与乙癸午积 相等也此法所得实行较 前法多百分秒之二十四 盖乙卯丁积比乙壬丁积 多乙卯壬积实与甲乙土 积等而比甲丑丁积仅多 甲乙巳积则是甲丑丁积 比乙壬丁四十五度积为 稍大故所得实行丑甲丁 角亦稍大计其所大之数 适与甲巳土弧矢积度相 去不逺至于以乙癸午三 角积为与斗癸牛女斜尖 长方积等其数微多【多癸牛子 勾股积】以癸午为倍撱圆差 其数微少然其多少之差 约足相抵可不计也 又如太阳平行距最卑后 九十度求实行若干度分 先从本天心设丁乙戊角 九十度则乙戊丁分撱圆 面积亦为九十度次与乙 戊平行作丙癸线自甲至 癸作甲癸线则丙角与戊 乙丁角等而甲癸丁分撱 圆面积即为九十度与乙 戊丁积等【九十度无撱圆差觧见后】是 为平行癸甲丁角即为实 行乃丙癸线引长至子 使癸子与甲癸等则丙子 为二千万又自甲至子作 甲子线成甲丙子三角形 求得子角五十八分五秒 【小余五五】倍之得一度五十六 分一十一秒【小余一○】即甲丙 癸形之癸角度与丙角九 十度相加得九十一度五 十六分一十一秒【小余一○】为 癸甲丁角度即平行距最 卑后九十度时之实行度 也盖乙戊丁为撱圆四分 之一其积为九十度戊乙 丁角亦九十度【积度与角度同为一 线故无撱圆差】丙角既与乙角等 甲癸丁积又与乙戊丁积 等【甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲 乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比 甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积 与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等】故即以平行积度为丙角 而求甲角为实行度也此 法所得实行较前法多百 分秒之六十七盖甲癸丁 积比乙戊丁积多癸戊寅 弧矢积九十度稍大故实 行亦稍大又丙角至九十 度则弧矢之癸寅半与 甲乙两心差相等是为最 长积亦最大故所差最多 过此则所差又渐少矣 又如太阳平行距最卑后 一百二十度求实行若干 度分先从本天心设丁乙 癸角一百二十度则乙子 丁分撱圆面积亦为一百 二十度次将丁乙癸角减 丑乙寅撱圆差角【九十度以外小 一撱圆差角故减】则癸乙已外角 大一撱圆差角以撱圆小 半径九九九八五七一【小余 八五】为一率大半径一千万 为二率所设癸乙已外角 六十度之正切一七三二 ○五○八为三率求得四 率一七三二二九八一【小余 九八】为己乙寅外角之正切 检表得六十度○分一十 二秒【小余七六】即己乙寅外角 度与一百八十度相减余 一百一十九度五十九分 四十七秒【小余二四】即寅乙丁 内角度次与乙寅平行作 丙卯线自甲作甲卯线则 丙角与寅乙丁角等甲卯 丁积为分撱圆一百二十 度之面积与乙子丁积等 是为平行卯甲丁角即为 实行乃将丙卯线引长至 辰使卯辰与甲卯等则丙 辰为二千万又自甲至辰 作甲辰线成甲丙辰三角 形求得辰角四十九分五 十三秒【小余四六】倍之得一度 三十九分四十六秒【小余九二】即甲丙卯形之卯角度与 丙内角一百一十九度五 十九分四十七秒【小余二四】相 加得一百二十一度三十 九分三十四秒【小余一六】为卯 甲丁角度即平行距最卑 后一百二十度时之实行 度也盖与丙卯平行之乙 寅线截本天于巳所截之 乙巳丁积比甲卯丁积小 一卯己午形与甲乙未形 等【乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲 乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少 一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳 等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未 弧则卯巳午积即与甲乙未积等】此甲乙 未形之积与寅申倍撱圆 差乘乙戌余折半之乙 寅申三角形积等【寅丑癸子皆撱 圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为 数无多故谓寅申为倍差与乙戌余相乘折半得 积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一 小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等】亦 即与乙子巳积等【与前法同】夫 乙巳丁积比乙子丁小一 乙子巳积比甲卯丁积小 一甲乙未积甲乙未积既 与乙子巳积等则甲卯丁 积必与乙子丁积等而乙 子丁为分撱圆一百二十 度之面积癸乙丁角为一 百二十度之角寅乙丁角 比癸乙丁角原小一撱圆 差角卯丙丁角又原与寅 乙丁角等故于平行一百 二十度内减一撱圆差角 为丙角其甲卯线所截撱 圆积即与平行度相等而 求得甲角为实行度也此 法所得实行较之前法多 百分秒之四十一盖乙巳 丁积比乙子丁积少乙子 己积仅与甲乙亥积等而 比甲卯丁积则少甲乙未 积是甲卯丁积比乙子丁 一百二十度积为稍大故 所得实行卯甲丁角亦稍 大然所差最大者不过半 秒有竒不为不密而法最 为简便故日躔求实行用 此法也 求均数 均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最髙前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最髙起算最髙前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最髙后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法畧同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左 如图甲为地心乙为本天 心甲乙为两心差甲丙为 倍差丁戊己庚为本天辛 壬癸子为黄道以行度言 之太阳在最卑前后当子 辛辛壬两象限其本天平 行丑甲寅丁面积未及半 周而以黄道度计之巳见 自子行至壬故为行盈太 阳在最髙前后当壬癸癸 子两象限其本天平行寅 甲丑已面积巳过半周而 以黄道度计之止见自壬 行至子故为行缩以盈缩 差言之太阳在最卑丁是 为初宫初度当黄道之辛 甲丁辛成一直线无盈缩 差太阳在最髙已是为六 宫初度当黄道之癸甲癸 己成一直线亦无盈缩差 而自最卑后行丁寅戊巳 半周实行皆大于平行如 平行至寅所截甲寅丁平 行积度畧与寅丙丁角度 等【争一撱圆差角故谓畧等】自地心甲 视之巳当黄道之壬壬甲 辛角必大于寅丙丁角又 如平行至戊所截之甲戊 丁平行积度畧与戊丙丁 角度等自地心甲视之己 当黄道之卯卯甲辛角必 大于戊丙丁角故皆为加 差自最髙后行已庚丑丁 半周实行皆小于平行如 平行至庚所截甲庚已平 行积度畧与庚丙己角度 等自地心甲视之方当黄 道之辰辰甲癸角必小于 庚丙己角又如平行至丑 所截甲丑巳平行积度畧 与丑丙巳角度等自地心 甲视之方当黄道之子子 甲癸角必小于丑丙已角 故皆为减差此盈缩之理 与不同心天之理同至求 盈缩差之法当先以平行 积度加减撱圆差角【九十度以 内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角 则减正九十度无差角解见前】为所设之 丙角而求对倍差之角与 所设之丙角相加得实行 以平行与实行相减乃为 均数【解见前借角求角法】然其数竒 零不便立算故先以平行 求得对倍差之角而后加 减撱圆差角为尤便也如 设太阳在己甲己丁分撱 圆面积为平行距最卑后 六十度知己丙甲角度比 所设之甲己丁平行积度 大一撱圆差角则于己丙 甲角内减未丙午撱圆差 角余午丙甲角必为六十 度而与甲巳丁平行积度 相等故先设午丙甲角为 六十度用甲丙午三角形 求得对甲丙倍差之午角 一度四十一分二十九秒 与平行午丙甲角相加则 得午甲丁角然太阳原在 已当黄道之申实行申甲 辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚 大一巳甲午角故又求得 未丙午撱圆差角一十三 秒与巳甲午角等【巳甲午角与未 丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角畧大 然所差甚微故为相等】与午角相加 【九十度以内大一撱圆差角故加】得一度 四十一分四十二秒是为 均数为加差以加于平行 而得实行也若太阳在酉 当黄道之戌甲酉巳分撱 圆面积爲平行距最高后 一百二十度而距最卑前 六十度则对甲丙倍差之 亥角与午角等干丙亥撱 圆差角亦与未丙午角等 但其均数爲减差以减于 平行而得实行也 如设太阳在亢甲亢丁分 撱圆面积爲平行距最卑 后一百二十度知亢丙甲 角度比所设之甲亢丁平 行积度小一撱圆差角则 于亢丙甲角加房丙氐撱 圆差角得氐丙甲角必为 一百二十度而与甲亢丁 平行积度相等故先设氐 丙甲角为一百二十度用 甲丙氐三角形求得对甲 丙倍差之氐角一度三十 九分四十七秒与平行氐 丙甲角相加则得氐甲丁 角然太阳原在亢当黄道 之尾实行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲 亢角故又求得房丙氐撱 圆差角一十三秒与氐甲 亢角等【氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧 而甲氐线长于丙氐则角畧小然所差甚防故为相 等】与氐角相减【九十度以外小一撱 圆差角故减】余一度三十九分 三十四秒是为均数为加 差以加于平行而得实行 也若太阳在斗当黄道之 牛甲斗己分撱圆面积为 平行距最高后六十度则 对甲丙倍差之女角与氐 角等女丙虚撱圆差角亦 与房丙氐角等但其均数 为减差以减于平行而得 实行也用此法求得最卑 后半周之加差即得最高 后半周之减差列爲表此 法与以丙爲心作不同心 天之法畧同但多一撱圆 差又平圆之半径爲一千 万撱圆则自甲丙两心出 线合于圆界共爲二千万 耳而太阳距地高卑之差 止及两心差之半与均轮 之法不谋而合故撱圆之 法正所以合不同心天与 本轮均轮而一之也 御制厯象考成后编卷一 <子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编> 钦定四库全书 [book_title]御制厯象考成后编卷二 月离数理 月离总论 太阴本天面积随时不同 太阴本天心距地及最高行随时不同 求初均数 求一平均 求二平均 求三平均 求二均数 求三均末均 求交均及黄白大距 地半径差 月离总论 古歴皆谓月一日行十三度十九分度之七出入日道不逾六度东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬乃定为转分进退时各不同犹今之初均数而其出入日道之大距则仍恒为六度也新法算书初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有迟疾故有初均两又不同于朔望故有二均两前后又不同于两故有三均此经度之差也朔望交行迟而大距近两交行疾而大距逺故有交均此交行之差而亦纬度之差也上编言太阴行度有九种一曰平行二曰自行三曰均轮行四曰次轮行五曰次均轮行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其实均轮行自行度次轮次均轮皆行月距日倍度则九种行度之中又止六种而巳自西人刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及太阴诸行又皆以日行与日天为消息故日行有盈缩则太阴平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有逺近则太阴本天心有进退两心差有大小而平行面积亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白极绕黄极而转移则白道度有进退而太阴之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所无而刻白尔以来柰端等屡测而创获者也夫两心差既有大小则月距最高虽等而迟疾之差不等故分大中小三数而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在两而在朔望之间仍名曰二均又月高距日高与月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而迟仍名曰三均又朔后恒差而迟望后恒差而疾因月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交后一象限则交行疾日在交前一象限则交行迟仍名曰正交均此五者末均为昔日之所无其余诸均亦名同而数异皆刻白尔以来噶西尼等屡测而改定者也至于黄白交角【即大距度】新法算书朔望最小两最大今则谓日在交交角大前后皆小朔望尤小日在大距交角小前后皆大两尤大似皆与新法算书不同然用以推歩交食则皆与实测合而与新法算书亦相去不逺计其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度较旧用行度多四种一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高则其行度共行种矣今考其表中所列诚皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两前后参互比较而得之兹为总举其端而各具测算之法于后庶学者知其立法所自来而推歩考验咸可通其条贯云 太阴本天面积随时不同 太阴初均数生于两心差两心差不等则均数亦不等然于平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太阴之平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小径及面积以定平行而后均数可得而推也 如图甲为地心乙为本天 心甲乙为两心差甲丙为 倍差丁戊己庚撱圆为太 阴本天乙丁为大半径一 千万乙戊为小半径甲戊 丙戊皆与乙丁大半径等 以甲戊为甲乙为勾求 得股即乙戊小半径也以 乙丁大半径求得丁辛己 壬平圆积以乙辛与乙戊 为比例即撱圆全积也用 度分秒数除之即得一度 一分一秒之积也以庚戊 小径与丁己大径相乗开 平方折半即乙癸中率半 径也其理皆与日躔同惟 两心差随时不同则小径 与面积皆各异具列于左 最大两心差　　　　　　六六七八二○ 小径　　　　　　九九七七六七五【小余九○】 中率半径　　　　九九八八八三一【小余七二】中率半径方　　　九九七七六七五九○四一一七二撱圆全积　　　三一三四五七九三二八四四五六七 九十度积　　　　七八三六四四八三二一一一四二 一度积　　　　　　　八七○七一六四八○一二四 一分积　　　　　　　　一四五一一九四一三三五 一秒积　　　　　　　　　　二四一八六五六八九 中数两心差　　　　　　五五○五○五 小径　　　　　　九九八四八三五【小余七一】 中率半径　　　　九九九二四一四【小余九八】中率半径方　　　九九八四八三五七一四四七一○撱圆全积　　　三一三六八二八六四九二○三九六 九十度积　　　　七八四二○七一六二三○○九九 一度积　　　　　　　八七一三四一二九一四四六 一分积　　　　　　　　一四五二二三五四八五七 一秒积　　　　　　　　　　二四二○三九二四八 最小两心差　　　　　　四三三一九○ 小径　　　　　　九九九○六一二【小余九二】 中率半径　　　　九九九五三○五【小余三六】中率半径方　　　九九九○六一二九一五三二七一撱圆全积　　　三一三八六四三六一○三七八六七 九十度积　　　　七八四六六○九○二五九四六七 一度积　　　　　　　八七一八四五四四七三二七 一分积　　　　　　　　一四五三○七五七四五五 一秒积　　　　　　　　　　二四二一七九二九一太阴本天心距地及最高行随时不同 太阴之行有迟疾由于本天有高卑其説一为不同心天一为本轮与太阳同西人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万即不同心天之两心差其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大因将本轮半径三分之存其二分五十四万为本轮半径取其一分二十七万为均轮半径其高卑之数迟疾之差虽各有不同而其距地之有定数最高之有常行则一也自刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有竒与旧数相去不逺若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日厯月天高卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也今考其表中所载其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多最卑前后九十度少与上编小轮之理同其求两心差则在本天高卑之适中而亦不正九十度与本编日躔之理同而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数巳见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣 如甲为地心乙为太阴本天心丙为最高丁为最卑戊己为中距【戊己乃实行之中距非平行之中距因朔望相对故借实行以明之】设日天最高当月天最高丙太阳在最高后中距戊太阴亦在戊合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒又设太阳在最高前中距己太隂亦在己合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒太阴在最高后中距戊望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒两测太隂在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然太阳在戊则少数小多数大太阳在己则少数大多数小是必另有一均因太阳在戊而加在己而减者若不因太阳之故则太隂在戊为减在己为加其数必相等也于是以大小两数相减折半得一十一分五十秒别为一平均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 又设日天最高当月天最高后中距戊太阳在最高戊太阴在最高后中距戊合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒又设日天最高当月天最高前中距己太阳在最高己太阴在最高前中距己合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒太阴在最高后中距戊望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度则少数大多数小日天最高在己月天最高距日天最高九十度则多数大少数小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加与前测合 又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在中距戊上测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒太阴在中距己下测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒又设日天最高当月天最卑丁太阳在最高丁太阴在中距己上测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒太阴在中距戊下测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然上则少数小多数大下则少数大多数小是必另有一均因上而加下而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得七度三十七分五十九秒为日在月天最高最卑时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 又设日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太阳在庚距月天最高四十五度太阴在戊距最高九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太阳在辛距月天最高一百三十五度太阴仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒又设日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太阳在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太阳在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣而朔与上之间则少数小多数大下与朔之间则少数大多数小是必另有一均因朔后而加朔前而减者而所大所小之数又不及二均加减之多是必又有别均加减于其间而此特为其加减之较于是以大小两数相减折半得二十八分三十二秒为二均与二平均末均加减之较【查朔后四十五度二均应加三十三分一十四秒而日距月天高卑后四十五度二平均应减三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔后四十五度时末均应减一分八秒故以二十八分三十二秒为加减之较又查朔前四十五度二均应减三十三分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均应加三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔前四十五度时末均应加一分八秒故亦以二十八分三十二秒为加减之较详后各篇】以减大数加小数得六度二十六分一十七秒为日距月天高卑前后四十五度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同但日躔从最卑起算月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分二十五秒故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也 又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也 前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也【此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非直角则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣 求初均数 新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云 如图甲为地心乙为本天 心甲乙为最大两心差六 六七八二○丙丁戊己为 月本天乙丙为大半径一 千万与乙庚等乙丁为小 半径九九七七六七五【小余 九○】设太阴平引距最高后 九十度用日躔借角求角 法依甲乙之分截乙丙线 于辛取丙辛壬角为九十 度自地心甲作甲壬线命 甲壬丙分撱圆面积为九 十度与乙丁丙面积等亦 与丙乙丁角度等用甲辛 壬三角形丙辛壬外角为 平引九十度甲辛为倍两 心差一三三五六四○甲 壬与辛壬共为二千万求 得壬角七度三十八分二 十八秒【小余七○】为初均数即 得壬甲丙角八十二度二 十一分三十一秒【小余三○】为 实引试依日躔借积求积 法细推之辛壬边为九九 五五四○一【小余六四】甲壬边 为一○○四四五九八【小余 三六】甲壬丙分撱圆面积为 七八三五四五六三一八 四七七三与最大两心差 之撱圆九十度积七八三 六四四八三二一一一四 二相减余九九二○○二 六三六九为甲壬癸积即 甲壬丙积小于九十度积 之较故知平引距最高九 十度时太阴必在壬防之 后如癸乃依最大两心差 中率半径九九八八八三 二截甲壬线于子截甲癸 线于丑成甲子丑分平圆 面与甲壬癸为同式形【甲壬 长于甲癸然为数无多故为同式形】以甲壬 自乗得一○○八九三九 五六二一三七一五为一 率甲子中率自乗方九九 七七六七五九○四一一 七二为二率甲壬癸积较 为三率求得四率九八一 ○一八二○七五为甲子 丑分平圆面积以最大两 心差之一秒积二四一八 六五六八九除之得四十 秒【小余五六】为子甲丑角与壬 甲丙角相加得八十二度 二十二分一十一秒【小余八六】为癸甲丙角即平引距最 高后九十度之实引与平 引九十度相减余七度三 十七分四十八秒【小余一四】即 平引距最高后九十度时 之初均数前用日躔借角 求角法所得实引壬甲丙 角比细推少四十秒盖乙 丁丙为撱圆面四分之一 其积为九十度今命太隂 在壬以甲壬丙分撱圆积 为与乙丁丙积等其实甲 壬丙积比乙丁丙积多一 甲乙寅形少一寅壬丁形 而甲乙寅积仅与寅壬卯 积等以多补少尚少壬卯 丁弧矢积故推得壬甲丙 角比细推少四十秒也【日躔 从最卑起算则推得辰甲戊角比细推为多】又 查日天两心差为一六九 ○○○小矢为一四二六 所得实引比细推差百分 秒之六十六月天甲乙两 心差为六六七八二○与 壬卯半等几为日天之 四倍卯丁小矢为二二二 七四【乙丁内减去辛壬余即卯丁小矢也】几 为日天之一十六倍则壬 卯丁弧矢积几为日天之 六十四倍【四因一十六倍得六十四倍】故实引比细推差四十秒 亦几为日躔实引所差之 六十四倍也 今用两三角形法先设丙 乙庚角为平引九十度用 甲乙庚三角形甲乙庚角 为九十度乙庚为半径一 千万甲乙为最大两心差 六六七八二○求得甲庚 乙角三度四十九分一十 四秒【小余三五】又与甲庚平行 作乙己线自甲至己作甲 己线成甲乙己三角形己 乙庚角与甲庚乙角等以 己乙庚角与甲乙庚角九 十度相加得九十三度四 十九分一十四秒【小余三五】为 甲乙己角求得乙甲己角 八十二度二十三分二秒 【小余四一】为平圆引数次以乙 庚大半径一千万为一率 乙丁小半径九九七七六 七六为二率乙甲己角之 正切线为三率求得四率 为乙甲午角之正切线检 表得八十二度二十二分 一秒【小余七九】为实引与平引 九十度相减余七度三十 七分五十八秒【小余二一】即最 大两心差平引九十度之 初均数也此法推得实引 比前细推所得之数仍少 一十秒而较之日躔借角 求角之法则为己宻葢设 丙乙庚角为九十度则乙 庚丙分平圆积乙丁丙分 撱圆积皆为九十度今与 甲庚平行作乙己线甲己 丙面与乙庚丙面相等而 为平圆九十度积则甲午 丙面亦必与乙丁丙面相 等而为撱圆九十度积夫 甲己丙面内有乙己丙形 与甲乙己形乙庚丙面内 有乙己丙形与乙己庚形 甲乙己积与乙己庚积相 等则甲己丙积即与乙庚 丙积相等试自己至庚作 己庚直线则乙己庚与甲 乙己为二平行线内同底 同高之两三角形其积相 等【乙己原与甲庚平行庚未正与甲申垂线等 以乙己底与庚未高相乗折半得乙己庚三角积以 乙己底与甲申高相乗折半得甲乙己三角积庚未 旣与甲申等故两三角积必等也】是甲乙 己形比乙己庚形尚少庚 酉巳弧矢积而甲己丙分 平圆面比乙庚丙平圆九 十度积甲午丙分撱圆面 比乙丁丙撱圆九十度积亦 少庚酉已弧矢积故求得实 引比细推少一十秒即庚酉 巳弧矢积之度然为数无多 非若差壬卯丁弧矢积者比 故其法较日躔为己宻也又 以日躔之法明之日躔设太 阴在壬其甲壬丙分撱圆面 积比乙丁丙撱圆九十度积 少壬卯丁弧矢积故实引壬 甲丙角少四十秒今平引用 乙角甲乙与乙辛等而乙庚 长于辛壬则与甲庚平行之 乙己线必在壬防下减巳甲 午撱圆差角太阴午防亦必 仍在壬防下是甲午丙积比 甲壬丙积 即多甲午壬积足与所少 壬卯丁弧矢积相补故求 得实引午甲丙角即比壬 甲丙角大一午甲壬角以 数计之已午畧与卯丁等 甲戌畧与甲辛等则甲已 午三角积为壬卯丁勾股 积之二倍而甲午壬积约 为甲己午积之一半故甲 午壬积与壬卯丁勾股积 等比壬卯丁弧矢积仅少 壬亥丁一小弧矢积故实 引止少一十秒且此之平 引为九十度乃差之最大 者九十度前后愈近最高 最卑其差愈少故推太阴 初均用此法也 依前法设平引九十度甲 乙为最小两心差四三三 一九○求得乙甲午角八 十五度二分二十九秒为 实引与平引九十度相减 余四度五十七分三十一 秒为最小两心差平引九 十度之初均数又设甲乙 为中数两心差五五○五 ○五求得乙甲午角八十 三度四十二分一十秒为 实引与平引九十度相减 余六度一十七分五十秒 为中数两心差平引九十 度之初均数如设平引九 十度日距月最高四十五 度两心差为五六二八六 六求初均数则以最大两 心差与中数两心差相减 余一一七三一五为一率最 大两心差之初均数与中数 两心差之初均数相减余一 度二十分八秒化作四千八 百零八秒为二率今有之两 心差与中数两心差相减余 一二三六一为三率求得四 率五百零七秒収作八分二 十七秒与中数两心差之初 均数相加得六度二十六分 一十七秒为平引九十度两 心差五六二八六六之初均 数盖均数因两心差为大小 故初均大小之差即用两心 差之较为比例若以甲乙两 心差五六二八六六用两三 角形法算 之则得乙甲午角八十三度 三十三分四十三秒为实引 与平引九十度相减余六度 二十六分一十七秒为初均 数与用两心差之较为比例 所得数同故初均表止列大 中小三限为省算也余仿此 求一平均 新法算书推歩朔望惟用初均数若月在本天最高或在本天最卑则平行与实行合为一线并无初均数矣刻白尔以来奈端等屡加测騐谓月在最高最卑虽无初均数而日在最卑后则太阴平行常迟最高平行正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交平均则兼左旋右旋两差之故焉以太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十 八秒六二为 【十三秒变时得七分四十】二率太阳中距均数一度【每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒】五十六分一五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収为一十一分四十九秒为太阴一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度巳差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行太阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加巳过子正应减之时差行又其在外者也故以一日太阳平行三千五百四十八秒三三为一率一日最高平行四百零一秒○七为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒为三率求得四率七百八十八秒一六加四倍时差最高行八秒用一五因之再加最高时差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒为最高一平均又以一日太阳平行为一率一日正交平行一百九十秒六三为二率太阳中距均数为三率求得四率三百七十四秒六二加四倍时差正交行四秒用一五因之再加正交时差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒为正交一平均最高顺行故加减与太阳均数同正交退行故加减与太阳均数相反是为太阳实行至子正时之最高平行与正交平行也最高一平均与旧表合太阴一平均正交一平均皆少一秒今仍用旧数既得太阳中距之平均而逐度之平均皆由太阳均数立算故以太阳中距均数与中距平均之比即同于太阳逐度均数与逐度平均之比也测法附后 如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高当日天最高丙太阳在中距丁太阴在最卑戊上测得太阴实行比平行多一十四分一十五秒太阴在最高丙下测得太阴实行比平行多九分二十五秒又设太阳在中距己太阴在最高丙上测得太阴实行比平行少九分二十五秒太阴在最卑戊下测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣而上则多数大少数小下则多数小少数大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也 又设太阳在丁月天最高在丁距日天最高后九十度太隂在丁合朔测得太隂实行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己望测得太隂实行比平行多九分二十五秒又设太阳在己月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己合朔测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高后九十度太阴在丁望测得太隂实行比平行少九分二十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高后九十度则多数大少数小月天最高在己距日天最高后二百七十度则多数小少数大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也 又设太阳在庚距最高后四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔测得太隂实行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望测得太隂实行比平行多六分三十二秒又设太阳在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔测得太隂实行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望测得太隂实行比平行少六分三十二秒两测太阳距最高前后皆四十五度而在最高后庚太隂实行皆比平行为多在最高前壬太隂实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最高前则减为一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高后四十五度则多数大月天最高在辛距日天最高后二百二十五度则多数小月天最高在壬距日天最高后三百一十五度则少数大月天最高在癸距日天最高后一百三十五度则少数小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得八分一十五秒为太阳距最高前后四十五度之一平均最高后为加最高前为减也查太阳最高前后四十五度之均数为一度二十分五十七秒以太阳中距之均数一度五十六分一十三秒与中距一平均一十一分五十秒之比同于最高前后四十五度之均数一度二十分五十七秒与四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均当以逐度太阳均数为比例也 又设太阳在最高后中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正当交防此时应无初均惟一平均应加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均应加二分二十五秒然测太隂实行比平行多一十九分一十四秒较之一平均与三均应加之数仍多四分五十九秒为最卑后三十四分一十一秒所应加之初均数夫太隂本在最卑以一平均与三均应加之数计之应在最卑后一十四分一十五秒是必最高又有减差太隂始得在最卑后三十四分一十一秒乃于三十四分一十一秒内减一平均与三均应加之一十四分一十五秒余一十九分五十六秒为太阳在最高后中距应减之最高平均也又此时太隂正当交防应无距纬然测太阴纬度在黄道北二十六秒为太隂距正交后四分四十五秒之纬度夫太隂本在交防以一平均与三均应加之数计之则应距正交后一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交后四分四十五秒乃于一平均与三均应加之一十四分一十五秒内减四分四十五秒余九分三十秒为太阳在最高后中距应加之正交平均也太阳在最高前仿此 求二平均 前篇言太阴在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒高卑后为减中距后为加其间日距月最高逐度之差皆以半径与日距月最高倍度之正为比例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平均盖太阴本天心循最高均轮周行日距月最高之倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度则两心差与撱圆之面积皆为适中太隂平行原以适中之数立算故其平行无迟速也然推盈缩迟疾之法皆以小轮上下二防为起算之端而以九十度处为差数之极今太隂本天心既循均轮周行日距月最高之倍度则是日在月天高卑时本天心皆在均轮上防也日在月天中距时本天心皆在均轮下防也日距月天高卑中距四十五度时本天心皆在均轮九十度处也故二平均以高卑中距分加减之限而以四十五度为最大差至其大差之数与比例之法固由测量而得亦可推算而知测算之法并设于左 如甲为地心乙为月本天心丙丁戊己为月本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太隂初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十二分二十五秒比所推实行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太隂初均应减四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推实行少一分五十一秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太隂初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推实行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太隂初均应减四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行少四度四十二分二十五秒比所推实行多五分一十七秒两测太阳同在最高前测太阳一在月天最高后四十五度一在月天最卑后四十五度实行皆比所推为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比所推为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分三十四秒为太阳在最高时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也 设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太阴初均应减四度二十分二十四秒然测太阴实行却比平行少四度二十六分三秒比所推实行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太阴初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十五分二十九秒比所推实行少二分一十三秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太阴初均应减四度四十七分四十二秒然测太阴实行仅比平行少四度四十五分二十九秒比所推实行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太阴初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十六分三秒比所推实行多五分三十九秒两测太阳同在最卑前测太阳一在月天最卑后四十五度一在月天最高后四十五度实行皆比平行为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比平行为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分五十六秒为太阳在最卑时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也 设日天最高在丙与月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此时一平均应加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均应加四度四十七分四十二秒实行应比平行多四度五十五分五十七秒然测太阴实行仅比平行多四度五十二分二十秒比所推实行少三分三十七秒是为日在最高后四十五度时距月天最高后四十五度应减之二平均也又设日在壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度距日天最高亦一百三十五度此时一平均应加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均应加四度二十分二十四秒实行应比平行多四度二十八分五十四秒然测太阴实行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推实行多三分五十三秒是为日在最高后一百三十五度时距月天中距后四十五度应加之二平均也又设日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此时一平均应加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均应加二度四十四分二秒实行比平行应多二度四十八分然测太隂实行仅比平行多二度四十五分四十二秒比所推实行少二分一十八秒是为日在最高后二十度时距月天最高二十度应减之二平均也又设日在寅距月天最高一百一十度而在中距后二十度距日天最高亦一百一十度此时一平均应加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高后二百九十度初均应加四度五十五分一十六秒实行比平行应多五度六分二十八秒然测太阴实行却比平行多五度八分五十六秒比所推实行多二分二十八秒是为日在最高后一百一十度时距月天最高一百一十度应加之二平均也以上测得诸数与本天面积比例相似如甲乙丙丁为最大两心差之撱圆其面积小甲戊丙己为最小两心差之撱圆其面积大甲庚丙辛为相加折半之撱圆其面积适中今以适中之面积均分之为平行在小面积必比中积为少故平行迟在大面积必比中积为多故平行速然其迟速之限止在日距月最高倍度九十度之间故其迟速之差亦至九十度而止试以最大两心差之甲乙壬撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二与最小两心差之甲戊壬撱圆九十度积七八四六六○九○二五九四六七相减余一○一六○七○四八三二五为甲乙戊积折半得五○八○三五二四一六二为甲乙庚积与甲庚戊积等以适中一秒积二四二○二二四九○除之得二百一十秒収为三分三十秒比日在最高之最大二平均仅少四秒今仍用旧数 又日在最高距地逺而差数小日在最卑距地近而差数大与转比例相似试以日在最卑距地九八三一之平方九六六四为一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○为二率【面积从末截去十位以便入算】日在最高距地数乗最高二平均三分三十四秒之长方为三率求得四率为日在最卑距地数乗最卑二平均之长方以最卑距地数除之得三分五十六秒强为日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地数与一率最卑平方相乗得最卑距地之立方九五○一五二为一率以三率最高距地数与二率最高平方相乗得最高距地之立方一○五一五六二为二率【立方积从末截去十五位以便入算】即以日在最高二平均三分三十四秒为三率则得四率即为日在最卑二平均三分五十六秒与表合日距月最高逐度之二平均以半径与日距月最高倍度之正为比例如甲为地心甲乙为中数两心差甲丙为最大两心差甲丁为最小两心差日在月天最高月本天心在丙面积最小平行最迟自丙向戊所迟渐少迨日距月天最高四十五度则月本天心自丙行九十度至戊面积适中无所迟而复于平行然积迟之多正在戊故为最大之减差由戊向丁面积渐大平行渐速然因有积迟之度方以次相补迨日距月天最高九十度则月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而积迟之度方补足无缺故自丙至丁半周皆为减差也日在月天中距月本天心在丁面积最大平行最速自丁向己所速渐少迨日距月天最高一百三十五度则月本天心自丙行二百七十度至己面积适中即无所速而复于平行然积速之多正在己故为最大之加差由己向丙面积渐小平行渐迟然因有积速之度方以次相消迨日距月天最高后半周与月天最卑同度则月本天心自丙行一周复至丙平行最迟而积速之度始消尽无余故自丁至丙半周皆为加差也日距月天最卑后皆仿此今以日距月最高倍度之正为比例自丙向戊自丁向己正渐大而其较渐小自戊向丁自己向丙正渐小而其较渐大故自戊防而后所减渐少而所少之较又渐大实即加也加至丁防而极自丁防而后为加虽所加渐多而所加之较实渐小至己则逐日所加相等是即无所加矣自己防而后所加渐少而所少之较又渐大实即减也减至丙防而极自丙防而后为减虽所减渐多而所减之较实渐小至戊则逐日所减相等是即无所减矣故太阴平行以丙防前后为迟丁防前后为速而迟速之差至戊己二防而止其间逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正为比例也太阳距地逐度二平均较以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例盖以本日太阳距地之立方与最高距地之立方为比同于最高之二平均与本日太阳距地之二平均为比此正理也【法见前】然以此立表则不胜其繁而逐度太阳距地之立方推算亦不易且其至大之差不过二十二秒用立方较为比例其数巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高时本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑时本日之二平均两二平均相减为高卑二平均之较乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二与日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相减余一○一四一○为高卑立方大较为一率高卑二平均之较为二率本日太阳距地之立方与最高距地之立方相减为本日之立方较为三率求得四率为本日二平均较与日在最高之二平均相加即得本日之二平均也 求三平均 前篇言日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数然惟太阳在两交与大距为然若太阳在两交后则平行又稍迟在大距后则平行又稍速其最大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮周新法算书谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正交之倍度【详见后交均篇】故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直其平行无加减太阳在两交后则白极在均轮心之东而白道经圏之过黄道者亦差而东其黄道旧防所当白道度即差而西故平行应减而迟也太阳在大距后则白极在均轮心之西而白道经圏之过黄道者亦差而西其黄道旧防所当白道度即差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒之间虽不易得之仰观而实可稽诸仪象其法以半径一千万与均轮半径切线为比同于本轮半径与最大三平均切线为比而逐度之三平均皆以半径与日距正交倍度之正即为比例焉 如图甲为黄极乙丙丁戊为 黄道以最大黄白大距五度 一十七分二十秒与最小黄 白大距四度五十九分三十 五秒相加折半得五度八分 二十七秒半为黄白大距之 中数以中数为半径作己庚 辛壬圏为白极绕黄极本轮 又以两大距相减折半得八 分五十二秒半为半径作癸 子丑寅圏为负白极均轮均 轮心循本轮周左旋自己向 庚每日三分有余为正交行 度白极循均轮周右旋自癸 向子每日二度四分有余为 日距正交之倍度日在两交 白极在癸 日在大距白极在丑与均轮 心参直成一直线故无三平 均如日距两交后四十五度 则白道之北极自癸行九十 度至子在均轮心之东而白 道之南极转在均轮心之 西白道经圏交白道于卯当 黄道之辰在乙防黄道度之 东而白道经圏之过乙防者 即当白道之己是白道度退 矣白道度退则太隂亦随之 而退故白极在癸子丑半周 三平均皆为减差也如日在 大距后四十五度则白道之 北极自丑行九十度至寅在 均轮心之西而白道之南极 即转在均 轮心之东白道经圏交白 道于卯当黄道之午在乙 防黄道度之西而白道经 圏之过乙防者即当白道 之未是白道度进矣白道 度进则太阴亦随之而进 故白极在丑寅癸半周三 平均皆为加差也巳卯子 卯寅卯皆九十度巳角子 角寅角皆直角巳子巳寅 皆均轮半径八分五十二 秒半即卯角度乙卯五度 八分二十七秒半与甲己 本轮半径等故以半径一 千万与卯角正切线二五 八一六为比同于乙卯弧 之正八九六○六六与 乙午或乙辰之正切线二 三一三为比而得乙午乙 辰弧各四十七秒为最大 三平均若日距正交之倍 度不及九十度或过九十 度则巳角或鋭或钝不得 成直角而卯角与乙辰乙 午三平均皆以渐而小当 用弧线三角形法推算然 均轮半径不过八分余其 逐度之正即与卯角等 故逐度之三平均即以半 径与日距正交倍度之正 为比例也今按三平均 系白道度当用卯巳与卯 未弧又按推交均法将均 轮半径减五十秒余巳申 八分二秒半为小轮半径 则三平均又当用卯酉弧 然以数推之卯巳弧为四十 八秒卯酉弧为四十三秒其 差不逺故即以均轮半径比 例为省算云 求二均数 新法算书惟太阴两行度止有初均二均两前后始有三均初均之最大者四度五十八分余二均之最大者二度二十七分余三均之最大者四十二分余计两前后最大差共八度弱噶西尼以来屡加测验谓两太阴行度止有初均三均而三均又不尽关乎两之故二均之最大者不在两而在朔望之间其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒计两前后最大差共八度强则是今之二均固兼新法算书二均三均之义而其数则又不同盖太阴去地甚近其行最着又二十七日有竒而一周天一月之中备日行四时之轨至为参错不齐古人惟重交食故朔望而外置之弗论西人第谷始创二三均之法其门人精测不已又数十年然后改定则其数必实有所据而非为臆説也其法定日在最高朔望前后四十五度最大差为三十三分一十四秒日在最卑朔望前后四十五度最大差为三十七分一十一秒朔望后为加两后为减其间月距日逐度之二均则以半径与月距日倍度之正为比例其太阳距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例与二平均同测算之法并设于后 如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高在日天最高丙太阳在最高丙太阴在庚距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上之间此时太阴初均应减五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行少四度三十一分一十四秒比所推实行多三十四分五十七秒若太隂在辛距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行多六度一十六分比所推实行多三十一分三十一秒又设太隂在壬距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下与朔之间此时太隂初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度三十一分一十四秒比所推实行少三十四分五十七秒若太阴在癸距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上与望之间此时太隂初均应减五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行少六度一十六分比所推实行少三十一分三十一秒两测太阳同在最高前测太隂在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十三分一十四秒为太阳在最高时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两后为减也 设月天最高在日天最卑戊太阳在最卑戊太阴在辛距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上之间此时太隂初均应减五度六分一十一秒然测太隂实行则仅比平行少四度二十七分一十七秒比所推实行多三十八分五十四秒若太隂在庚距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行多六度一十九分五十七秒比所推实行多三十五分二十八秒又设太阴在癸距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下与朔之间此时太阴初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度二十七分一十七秒比所推实行少三十八分五十四秒若太阳在壬距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上与望之间此时太阴初均应减五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行少六度一十九分五十七秒比所推实行少三十五分二十八秒两测太阳同在最卑前测太阴在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十七分一十一秒为太阳在最卑时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两后为减也 设月天最高当日天最高丙太阳在最高丙太阴在子距最高三十度距日亦三十度此时太阴初均应减三度三十三分五十七秒然测太阴实行仅比平行少三度三分五十七秒比所推实行多三十分若太阴在丑距最高二百一十度距日亦二百一十度而在望后三十度此时太阴初均应加四度七分一十三秒然测太阴实行却比平行多四度三十四分四十七秒比所推实行多二十七分三十四秒又设太隂在寅距最高三百三十度距日亦三百三十度而在朔前三十度此时太阴初均应加三度三十三分五十七秒然测太隂实行仅比平行多三度三分五十七秒比所推实行少三十分若太阴在卯距最高一百五十度距日亦一百五十度而在望前三十度此时太阴初均应减四度七分一十三秒然测太隂实行却比平行少四度三十四分四十七秒比所推实行少二十七分三十四秒两测太阳同在最高前测太阴在朔望后三十度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前三十度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分一十三秒别为三均以减大数加小数得二十八分四十七秒为日在最高时月距日三十度之二均数朔望后为加两后为减也乃以前第一测月距日四十五度倍之得九十度其正即半径一千万为一率前第一测月距日四十五度之二均三十三分一十四秒为二率第三测月距日三十度倍之得六十度其正八六六○二五四为三率求得四率二十八分四十七秒与所测合故知月距日逐度之差以半径与月距日倍度之正为比例也 又设月天最高在日天最高丙太阳在辰距本天最高三十度距月天最高亦三十度太阴在己距本天最高六十度距日三十度此时一平均应加五分四十九秒二平均应减三分六秒初均应减五度五十三分二十二秒三均应加一分一十三秒实行应比平行少五度四十九分二十六秒然测太阴实行则仅比平行少五度二十分二十六秒比所推实行多二十九分是为日在日天最高后三十度时月距日三十度应加之二均数与本天高卑比例相合盖以日在最卑距地之立方九五○一五二为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高之最大二均数三十三分一十四秒加高卑二平均较二十二秒得三十三分三十六秒为三率则得四率三十七分一十一秒为日在最卑之最大二均数以今设日距最高三十度距地一○一四五六之立方一○四四三一九为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高月距日三十度之二均数二十八分四十七秒加本日二平均较一秒【法见前求二平均篇】得二十八分四十八秒为三率则得四率二十九分为本日之二均数此正理也然列表则甚繁而入算亦不易故先以半径为一率日在最高最大二均数三十三分一十四秒为二率月距日三十度倍之得六十度其正八六六○二五四为三率得四率二十八分四十七秒为日在最高月距日三十度之二均数又以半径为一率日在最卑最大二均数三十七分一十一秒为二率月距日倍度之正为三率得四率三十二分一十二秒为日在最卑月距日三十度之二均数两二均之较为三分二十五秒乃以太阳高卑立方大较一○一四一○为一率两二均之较三分二十五秒为二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九与最高距地之立方一○五一五六二相减余七二四三为本日立方较为三率求得四率一十四秒与日在最高之二均相加得二十九分一秒为日距最高三十度时月距日三十度之二均数比前法仅多一秒故太阳距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例也 求三均末均 新法算书推歩朔望两皆无三均数而三均之最大者毎在朔望之间故知三均之差生于月距日之倍度自噶西尼以来以朔望间之最大差属之二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差正等【见求两心差第二第三条求一平均第一第二条】月距日四十五度与月高距日高四十五度其差又等【见求一平均第三条求二平均第一条求二均第一条】则是三均之差不専系乎月距日之故也于是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等乃知三均之差生于月距日与月高距日高之总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以半径与总度之正为比例则三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月又有距度则三均之外朔后又差而迟望后又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分为九限各于月距日九十度时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正为比例朔后为减望后为加而后推太隂经度之法纎悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之间其时又数十年而不一遇然其用意细宻学者茍通乎此何患推测之无术欤 如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度与月高距日高共为九十度此时二平均应加三分三十四秒二均应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太隂实行却比平行多三十八分五秒半比所推实行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度与月高距日高共为四百五十度减全周余亦九十度此时二平均亦应加三分三十四秒二均亦应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行多四十分二十秒半比所推实行多三分三十二秒半又设月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度与月高距日高共六百三十度减全周余二百七十度此时二平均应减三分三十四秒二均应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少三十八分五秒半比所推实行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度与月高距日高亦共为二百七十度此时二平均亦应减三分三十四秒二均亦应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少四十分二十秒半比所推实行少三分三十二秒半前测两距总数共九十度实行皆比所推为多后测两距总数共二百七十度实行皆比所推为少是知两距之总度半周内为加半周外为减两三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得一分七秒半别为末均以加小数减大数得二分二十五秒为两距共九十度与二百七十度之三均九十度为加二百七十度为减也 设日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半与月高距日高共为四十五度此时二平均应加二分三十一秒二均应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推实行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半与月高距日高共四百零五度减全周余亦四十五度此时二平均亦应加二分三十一秒二均亦应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推实行多二分八秒五十二微半又设月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半与月高距日高共六百七十五度减全周余三百一十五度此时二平均应减二分三十一秒二均应减二十三分三十秒实行应比平行少二十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推实行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半与月高距日高亦共为三百一十五度此时二平均亦应减二分三十一秒二均亦应减二十三分三十秒实行应比平行少一十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推实行少二分八秒五十二微半前测两距总数共四十五度实行皆比所推为多后测两距总数共三百一十五度实行皆比所推为少是知两距总度半周内为加半周外为减为三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得二十五秒五十二微半别为末均以加小数减大数得一分四十三秒为两距共四十五度与三百一十五度之三均四十五度为加三百一十五度为减也 前测日月同度两高相距九十度三均差二分二十五秒【见求两心差第二条一平均第二条】两高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒【见求两心差第三条一平均第一条】日月同度两高相距四十五度三均差一分四十三秒【见求二平均第二条】两高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒【见求二均第一条】今测两距共九十度三均亦差二分二十五秒两距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生于两距之总度而九十度之正与二分二十五秒之比同于四十五度之正与一分四十三秒之比故知逐度之三均以半径与总度之正为比例也前测月天最高在日天高卑前后四十五度月在朔望前后四十五度末均皆为一分七秒半月天最高在日天高卑前后二十二度半月在朔望前后二十二度半末均皆为二十五秒五十二微半可见月天最高距日天高卑前后之度等则其差亦等月距朔望前后之度等则其差亦等而独四十五度与二十二度半一分七秒半与二十五秒五十二微半无以为比例于是取月天最高距日天高卑前后九十度时按月距日逐度测之设日在最高丙正当交点月天最高在丁距日天最高后九十度月在最高丁距朔后九十度此时无一二三平均亦无初二三均然测太阴实行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以测太阴实行则比平行多三分是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后九十度时末均为三分朔后为减望后为加又设日在最高丙月天最高在丁距日天最高后九十度月在庚距最高前六十度而在朔后三十度此时太阴初均应加四度一十分五十六秒二均应加二十八分四十七秒三均应加二分六秒实行应比平行多四度四十一分四十九秒然测太阴实行仅比平行多四度四十分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高后二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望后三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行则比平行多四度四十三分一十九秒比所推实行多一分三十秒又设日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高后六十度距日一百五十度而距望前三十度此时初均应减四度一十分五十六秒二均应减二十八分四十七秒三均应减二分六秒实行应比平行少四度四十一分四十九秒然测太阴实行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行仅比平行少四度四十分一十九秒比所推实行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后三十度时末均为一分三十秒朔后为减望后为加又九十度之正一千万与三分之比同于三十度之正五百万与一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半径与月距日之正为比例也乃用此法各于月距日九十度时测得月天最高距日天高卑前后九十度最大末均为三分八十度最大末均为二分三十九秒七十度最大末均为二分一十九秒六十度最大末均为二分五十度最大末均为一分四十三秒四十度最大末均为一分二十八秒三十度最大末均为一分一十六秒二十度最大末均为一分七秒一十度最大末均为一分一秒月天最高与日天高卑同度无末均其间月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前后四十五度之最大末均为一分三十五秒半以半径与月距日四十五度之正为比例得本时末均为一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前后二十二度半之最大末均为一分九秒一十五微以半径与月距日二十二度半之正为比例得本时末均为二十六秒二十二微半与前测合 求交均及黄白大距 正交之行有迟疾由于黄白大距有大小上编言之详矣授时厯用古法黄白大距恒为六度【以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒】朔望两无异故无交均新法算书测定朔望时交角【即大距度】最小为四度五十八分三十秒两时交角最大为五度一十七分三 ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜