[book_name]数理精蕴 [book_author]佚名 [book_date]清代 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]天文地理,数学,完结 [book_length]654224 [book_dec]五十三卷，题清圣祖御撰。康熙五十一年下诏开蒙养斋，令梅文鼎之孙梅瑴成、陈厚耀、何国宗、明安图等修《律历渊源》。历时十年成书，计有《历象考成》四十二卷、《律吕正义》五卷、《数理精蕴》五十三卷。该书是梅瑴成等人在法国传教士张诚、白晋等人译稿基础上汇编而成。是一部介绍西方数学知识的百科全书。内容涉及上编包括几何学、三角学、代数学及算术等知识。分为上下两编。上编五卷“立纲明体”，下编四十卷“分条致用”。另有表四种八卷。上编有《几何原本》、《算法原本》等。《几何原本》内容虽与欧几里得《几何原本》大致相同，但著述体例差别较大。《算法原本》介绍了小学算术的理论基础，讨论了自然数的性质，包括自然数的相乘积、公约数、公倍数、比例、等差级数、等比级数等的性质。下编包括实用算术，度量衡制度，记数法，整数四则运算，分数运算，比例及其应用，一次联立方程，开平方及开带从平方、开立方及开带从立方，有关直角三角形三边的二次方程应用问题，已知三边长求三角形面积，内切圆径及内接正方形边长的公式，由内接、外切多边形求圆周率的方法，求三角函数值的方法，三角形边长、角度相求——直角三角形和斜三角形的解法，直线形、圆、弓形、椭圆的面积，各正多边形的面积，与外切圆径、内接圆径的关系，柱体、棱锥体、棱台体的体积，圆柱体、圆锥体、截球体、椭球体的体积，各种等面体的体积与各种等面体的边长和外接球径、内切球径的关系等等。代数学知识方面，主要是方程的解法，“对数比例”，等等。各种数学用表包括：素因数表，对数表，三角函数表，三角函数对数表。《数理精蕴》是向我国传播西方数学知识的重要书籍，对我国数学后来的发展产生了重大的影响。 [book_img]Z_11390.jpg [book_chapter]提要 [book_title]提要 钦定四库全书　　　　子部六 御制数理精蕴　　　　　　　天文算法类二【算书之属】 提要 【臣】等谨案 御制数理精蕴五十三卷康熈五十二年 圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第二部也上编五卷曰立纲明体其别有五曰数理本源曰河图曰洛书曰周髀经解曰防何原本曰算法原本下编四十卷曰分条致用其别亦有五曰首部曰线部曰靣部曰体部曰末部又表八卷其别有四曰八线表曰对数阐防表曰对数表曰八线对数表皆通贯中西之异同而辨订古今之长短如旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然所立假如仅可施之本例而不可移之他处至于正负加减法实并分母诸例率皆 谬误今则约之为和数较数和较兼用和较交变四例而和数不分正负较数任以一色为正即以相当之一色为负皆以异名相并同名相减实足正旧法之讹误又割圆术古以径一围三为周径之率宋祖冲之用圆容六边起算元赵友钦用圆容四邉起算皆屡求勾股得径一者周三一四一五九六二五泰西法亦同其率古今周率之宻无逾于此而旧所传弧矢诸术周径皆用古率又弧??背互求诸术立法极为疏舛今则以六宗三要二简法求得一象限内?矢割切正余八线立为一表洵极勾股弧矢之变又防何原本止于测面七卷以下徐光启李之藻后无译之者新法算书往往有杂引之处读者未之能详且理分中末线但有求作之法而莫知所用今则求得各等靣体及球内容外切各等靣体之积至十二等靣及二十等靣之体皆以理分中末线为之比例足以补测量全义量体诸率之简畧至末部借根方法即古人天元一之术唐宋诸算家咸用之至眀而失传是以顾应祥唐顺之于元李冶测圆海镜一书所立天元一皆茫然不觧今则具明其加减乗除之例而后根与平方以下诸乗方之多少者咸得其开法与古所云?纵立方三乗方诸变同归一揆且线靣体一以贯之而本法所不能求者皆可以借根而得至为精妙他若对数表以假数求真数比例规解以量代算皆西法之迥异于中法者咸为疏通证明绘图立表粲然毕备寔为从古未有之书虽専门名家未能窥髙深于万一也乾隆四十六年九月恭校上 总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 总　校　官 【臣】　陆　费　墀 [book_chapter]上编 [book_title]卷一 钦定四库全书 御制数理精蕴上编卷一 数理本原 河图 洛书 周髀经解 数理本原 粤稽上古河出图洛出书八卦是生九畴是叙数学亦于是乎肇焉盖图书应天地之瑞因圣人而始出数学穷万物之理自圣人而得明也昔黄帝命首作算九章之义已启尧命羲和治厯敬授人时而岁功已成周官以六艺教士数居其一周髀商高之説可考也秦汉而后代不乏人如洛下闳张衡刘焯祖冲之之徒各有著述唐宋设明经算学科其书颁在学宫令博士弟子肄习是知算数之学实格物致知之要务也故论其数设为几何之分而立相求之法加减乘除凡多寡轻重贵贱盈朒无遗数也论其理设为几何之形而明所以立算之故比例分合凡方圆大小逺近高深无遗理也溯其本原加减实出于河图乘除殆出于洛书一奇一偶对待相资递加递减而繁衍不穷焉奇偶各分纵横相配互乘互除而变通不滞焉征其实用测天地之高深审日月之交会察四时之节候较昼夜之短长以至协律度同量衡通食货便营作皆赖之以为统纪焉今汇集成编以类相从提防线面体以为纲分和较顺逆以为目法无论巨细惟择其善者由浅以及深执简以御繁使理与数协务有裨于天下国家以传于亿万世云尔 易系辞曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天数五地数五五位相得而各有合朱子曰河图以五生数统五成数而同处其方葢揭其全以示人而道其常数之体也考其数始于一中于五终于十阳奇隂偶而数之加减由是生焉自一而二自二而三自三而四自四而五皆递加一以相生自五复加一而成六六加一而七七加一而八八加一而九九加一而十十则仍归于一故至十而天地之数全矣天数阳也地数阴也言天地即所以言阴阳 也五位相得而各有合以五行之序而定位也邵子曰天之阳在南而阴在北地之阴在南而阳在北故河图之数一阳位于北二阴位于南其即五行质具于地之义而言之欤今以阴阳相生之数论之一为阳天一生水而位北一加一为二为阴地二生火而位南二加一为三为阳天三生木而位东三加一为四为阴地四生金而位西四加一为五为阳天五生土而位中至五而五行之数已周此生数之极也自一至五则五又为一体矣于是以五为中数而复加一则为六六阴也因五中数与一相加故与一同位而属之水焉六加一为七以中数五计之实加二故与二同位而属之火焉七加一为八以中数五计之实加三故与三同位而属之木焉八加一为九以中数五计之实加四故与四同位而属之金焉九加一为十以中数五计之复加五故与五同位而属之土焉至十而五行之数再周天地之数已备此成数之极也以阴阳运行之序论之以五生数统十成数位居于中而奇数则始于北一次东三次南七次西九偶数则始于南二次西四次北六次东八此数之阴与阴阳与阳各从其类者也以奇偶相得之数论之一与六合二与七合三与八合四与九合五与十合此又奇偶相得而各有合者也邵子谓圆者河图之数又曰厯纪之数其肇于此然则所谓数者即一阴一阳一奇一偶循环无间表?相维百千万亿总由此推之以成其变化河图者岂非天地自然生成之数也哉 洛书之数戴九履一左三右七二四为肩八六为足五居其中朱子谓以五奇数统四偶数而各居其所葢主于阳以统阴而肇其变数之用也邵子曰数学虽多乘除尽之矣夫洛书者数之源也乘除之所以生也易説卦传曰参天两地而倚数三天数也二地数也天地相合而万物育焉一者太极之体其数不行故数行于二三起于三以三参之则三九七一之数生焉起于二以二两之则二四八六之数生焉其序列之位则天居四正取以阳统阴之义地居四维 取以阴从阳之义其三九七一乘数则旋而左除数则返而右也其二四八六乘数则旋而右除数则返而左也二三相合而为五五则无对居中者立其体也二五相合而为十十仍归一洛书不用者藏其用也是故三始于东方发生之地而位于左自东而南三而三之是为九故戴九自南而西九而三之为二十七去成数余七故右七自西而北七而三之为二十一去成数余一故履一奇数左旋以三参之即天道左行之説也如转而右行以三除之仍复其原数焉二立于西南二阴始生之地而位于右肩自西南而东南二而二之是为四位于左肩自东南而东北四而二之为八位于左足自东北而西北八而二之为十六去十余六位于右足偶数右旋以二两之即地道右行之説也如转而左行以二除之仍复其原数焉此乘除之数见于运行者如此若以对待者观之一与九对一为数之始九为数之终互乘互除其数不变也二与八对二八互乘俱得十六二除十六得八八除十六仍得二此二与八之相倚也三与七对三七互乘皆二十一三除二十一得七七除二十一仍得三此三与七之相倚也四与六对四六互乘皆二十四四除二十四得六六除二十四仍得四此四与六之相倚也至五为二三之合天地之交阴阳之会位于洛书之中以建人极配上下而为三才故斜直四围皆得十五合之得四十有五为九五之数要之运行者其序也对待者其位也进退循环纵横交错总不外于乘除故曰乘除之本原自洛书生也 周髀经解 数学之失传乆矣汉晋以来所存几如一线其后祖冲之郭守敬辈殚心象数立宻率消长之法以为习算入门之规然其法以有尽度无尽止言天行未及地体是以测之有变更度之多盈缩葢有未尽之余蕴也明万厯间西洋人始入中土其中一二习算数者如利玛窦穆尼阁等着为几何原本同文算指诸书大体虽具实未阐明理数之精微及我朝定鼎以来远人慕化至者渐多有汤若望南怀仁安多闵明我相继治理厯法间明算学而度数之理渐加详备然询其所自皆云本中土所流传粤稽古圣尧之钦明舜之濬哲厯象授时闰余定岁璿玑玉衡以齐七政推歩之学孰大于是至于三代盛时声教四讫重译向风则书籍流传于海外者殆不一矣周末畴人子弟失官分散嗣经秦火中原之典章既多缺佚而海外之支流反得眞传此西学之所以有本也古算书存者独有周髀周公商高问答其本文也荣方陈子以下所推衍也而汉张衡蔡邕以为术数虽存考验天状多所违失按荣方陈子始言晷度衡邕所疑或在于是若周髀本文辞简而意该理精而用博实言数者所不能外其圆方矩度之规推测分合之用莫不与西法相为表里然则商高一篇诚成周六艺之遗文而非后人所能假托也旧注义多舛讹今悉详正弁于算书之首以明数学之宗使学者知中外本无二理焉尔 昔者周公问于商高曰窃闻乎大夫善数也请问古者包牺立周天厯度 周天厯度者分周天三百六十度为推求厯日之用也按通鉴载包牺作甲厯天干地支相配六甲一转天度一周年以是纪而岁功成月以是纪而朔望定昼夜以是纪而时日分易大传言包牺仰以观于天文俯以察于地理其观察之时必有度数以纪其法象则厯度始于包牺无疑矣 夫天不可阶而升地不可将尺寸而度请问数从安出 天之高明地之博厚非人力所能及其厯度之数不知从何而得也 商高曰数之法出于圆方 万物之象不出圆方万象之数不离圆方河图者方之象也洛书者圆之象也太极者圆之体奇也四象者方之体偶也奇数天也偶数地也有天地而万物于是乎生有圆方而万象于是乎定有奇偶而万数于是乎立矣 圆出于方 以数而论出于圆方以圆方而论则圆出于方葢 方易度而圆难测方有尽而圆 无尽故推圆者以方度之以有 尽而度无尽也是以圆周内? 外切屡求勾股为无数多边形 以切近圆界将合而为一而圆 周始得故曰圆出于方也 方出于矩 孟子曰不以规矩不能成方圆夫规所以成圆而 矩所以成方也故凡方形必出 于二矩相合如矩之二股均者 合之即为正方矩之二股一大 一小者合之则为长方葢因矩 之为形其角直其线正所以能 成方体此又直内方外之理故曰方出于矩也 矩出于九九八十一 度圆方者递归于矩而矩之形总不外乎二数相乘九九者数之终而一一乃数之始言九九而不及他数者以九九之内他数俱该也是以一一为 一二二为四三三为 九四四为一十六五 五为二十五六六为 三十六七七为四十 九八八为六十四九 九为八十一乃矩之 二股均平所成之正 方也一二为二一三 为三一四为四一五为五一六为六一七为七一八为八一九为九形虽未方而其理犹存也二三为六二四为八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之长方也至于一百之类虽为正方乃十之相乘十则仍归于一也又如八十四九十六之类乃六七四十二六八四十八之倍不得自立为数之本又或十一十三十七十九之类十一为二五一十之奇十三为二六一十二之奇十七为四四一十六之奇不得成正方亦不得成长方故不入九九之数也是以九九之数为方之本而方之形必合以矩故曰矩出于九九八十一也 故折矩以为勾广三股修四径隅五 前言圆方之形此言勾股生成之正数也以二矩 合之既为方形今以一矩折之 则为一方之两边是以折矩之 横者为勾之广折矩之纵者为 股之长于勾股之末以科?连 之是为径隅径直也隅角也言 自两角相对直连之也勾之广必三股之修必四而径隅始得五此乃自然生成之正分也易曰参天两地而倚数天数一参之则为三地数二两之则为四三二合之则为五此又勾三股四?五之正义也 既方其外半其一矩 此言勾股之面积也勾股以?连之不得为方形必再合一矩乃为一长方所谓方其外者言?之外复加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即为两矩合成之数半之得六乃勾股之面积所谓半其一矩者也 环而共盘得成三四五 此言勾股?相和之数也环而共盘者环绕盘旋于勾股?之周围得成三四五共之为一十有二乃三数相和之总数也 两矩共长二十有五是为积矩 此言勾股相求之法也两矩者勾与股也其所以相求者以勾股?各面积彼此加减以立法也勾三自乘为九股四自乘为一十有六合而计之为二十有五是勾股各自乘之积相并而与?自乘 之积等故曰积矩也?之自乘 积内减勾自乘之积得股自乘 之积?之自乘积内减股自乘 之积得勾自乘之积故为勾股 ?相求之法也 故禹之所以治天下者此数之所由生也 言禹之平成之功昭垂万古揆厥所以奏绩者必借勾股以审高下始得顺水之性而告厥成功也然则禹之所以治水者非此勾股之数所由生乎 周公曰大哉言数请问用矩之道 商高曰平矩以正绳 此言用矩立法必以正且直也平矩以正绳有两义平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平【横以度远平以度高】复自一股引绳以度其分则此分为我所知故以所知推所不知此绳引长时必使与直角对正不论其分之几何引之亦必令直方能得测度之准故为平矩以正绳又平者均平整齐之谓用矩之道矩之角正【即直角之説也】然后二股得直以之测高测远乃得度其大小之分此矩既正而所测之度亦正矣孟子曰规矩准绳以为方圆平直绳者即准之之意规矩所以度圆方而准绳所以考平直故准之以平绳之以直始得立法之精微故曰平矩以正绳也 偃矩以望高 此用矩测高之法也偃者仰也仰矩方可测高矩之一股植立在前一股定平在下然后比例推之葢平股与立股之比即所知之远与所测之高之比也故仰测之而得高 覆矩以测深 此用矩测深之法也覆者俯也俯矩方可测深矩之一股立者在前一股平者在上平股与立股之比即所知之远与所测之深之比也故俯测之而得深 卧矩以知远 此用矩测远之法也卧者平也平矩方可测逺以矩之一股为横向内一股为纵向前是以横与纵之比即所知之度与所求之远之比也故平测之而得远 环矩以为圆 此用矩为圆之法也以矩之一端为枢一端旋转为圆则成一圜环矩者即旋规之説也 合矩以为方 此用矩为方之法也矩二股也两矩相合乃成一方即前方出于矩之説也 方属地圆属天天圆地方 前言用矩以测高深广远复用矩以为圆方此以圆方属之天地者非以形体言葢以阴阳动静之理言也乐记云着不息者天也着不动者地也不息故运而不积圆之象也不动故静而有常方之理也且圆之数无尽而方之数有尽天不可阶而升测天者恒于地上度之是仍以方度圆也凡数之不尽者必奇数之可尽者必偶是以阳为奇阴为偶此方圆之理数所以属乎天地也 方数为典以方出圆 典则也言圆之数奇零不尽不可为则故惟方数可为典则以方出圆者以方之形度圆之分从方数中生出圆数即前圆出于方之説也如圆径求积则以径自乘之为正方形而以方率圆率比例推之即得圆积是皆以方出圆之理也 笠以写天天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄为里以象天地之位 此即仪象以表天地之形色也笠形圆故以象天写象也青黑天之色黄赤地之色天数之为笠形则以青黑为表丹黄为里以象天地之位葢取天包地之象也 是故知地者智知天者圣智出于勾勾出于矩夫矩之于数其裁制万物惟所为耳 天地之高深广远非圣智不能知然圣智非由理之自然亦不能无所凭藉而知也故明勾股之数即可以知地而为智知地之数即可因地以知天而为圣矣故曰智出于勾也然勾股之形又赖矩以成故矩为勾股之本而天地之高深广远皆赖矩以测况万物之大小巨细岂能外于矩之度分乎故矩之于数其裁制万物惟其所为而无不可也 周公曰善哉 以周公之圣而与之曰善哉则其得数之本立法之妙可谓至矣至是而周髀之义尽矣 御制数理精蕴上编卷一 [book_title]卷二 钦定四库全书 御制数理精蕴上编卷二 几何原本一 几何原本二 几何原本三 几何原本四 几何原本五 几何原本一 第一 凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本 第二 线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角 第三 凡角之大小皆在于角空之寛狭出角之二线即如规之两股渐渐张去自然开寛是以命角不论线之长短止看角之大小如丙角两线虽长其开股之空狭遂为小角若丁角两线虽短其开股之空寛遂成大角矣 第四 凡命角必用三字为记如甲乙丙三角形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也亦有单举一字者则其所举之一字即是所指之角也【如单言甲角乙角丙角之类】 第五 凡有一线以此线之一端为枢复以此线之一端为界旋转一周即成一圜如甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜面 第六 凡圜界不拘长短其分界之所即为弧线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱为弧线因其形似弧故名之 第七 凡圜自一界过圜心至相对之界画一直线将一圜为两平分则为圜径如乙丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也第八 凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐线其度俱相等因平分全径之半故又谓之半径线 第九 凡圜界皆以所对之角而命其弧而角又以所对之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界为角度之规也如乙角为心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也 第十 凡角相对之弧得圜界四分之一者此角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一半径将半圜界又分为两平分则成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一则此二角为直角也若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线又成丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相等之直角矣故凡画一直线交于别线其所成之角若直此线谓之垂线葢因平分圜界为四其四弧相对之四角必相等而皆为直角则其二径相交必互为垂线可知矣 第十一 凡角相对之弧不足圜界四分之一者谓之鋭角若过四分之一者谓之钝角故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界则成一鋭角一钝角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲己丙之半圜界不两平分于丁处画一辐线遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一钝角再将丁乙线引于相对圜界戊处画一丁乙戊径线复成甲乙戊一鋭角丙乙戊一钝角合前二角总为四角矣故凡二角两尖相对谓之对角二角两尖相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并而同出一线则谓之并角矣 第十二 凡一圜内设两角此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等则此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也 第十三 凡有一圜其径线之中心作相并之二角此二角之度必与二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必与二直角相等也 第十四 凡一直线交于他直线其所成之二角或为二直角或与二直角等如丙乙丁直线上画一甲乙直线至于乙处即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处复成丙乙戊一鋭角丁乙戊一钝角此二角必与二直角相等也再申明之以乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁线为圜之径线必将圜界平分为两平分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线又将半圜界平分为两平分则此二角各相对之弧皆为一圜界四分之一而各为一直角可知矣又如戊乙线将半圜界虽不两平分而成一鋭角一钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度为全圜界四分之二故与二直角相等也 第十五 凡自一心画为众线其所成之角虽多止与四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已画众辐线虽成众角其各角所函之度必与四直角等葢因甲防为心众辐线皆立一圜之界故众角所对之弧总不越一圜之全度前言一圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止与四直角等也 第十六 凡两直线相交所成二对角之度必俱相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必俱相等今以二线相交之处为心旋转画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣惟其俱为径线故将一圜为两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界因两半圜界俱系全圜径线故相交成对角其度必等兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧即余丙乙弧丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧又余甲丁弧凡两相等之弧减去一段相等之弧所余之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则所余丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等则所对之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其余甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊乙同理故其所对之角度亦必相等也第十七 凡大小圜界俱定为三百六十度而一度定为六十分一分定为六十秒一秒定为六十防一防定为六十纤夫圜界定为三百六十度者取其数无竒零便于布算即徴之经传亦皆符合也【易曰凡三百有六十当期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十为二至二分相去之数】度下皆以六十起数者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整数也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度则以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜界之几度如容九十度即是甲乙丙直角【何以知为直角因九十度为全圜三百六十度之四分之一前言凡角得圜界四分之一者为直角故知其为直角也】若过九十度者为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙戊鋭角观此三角之度其余可类推矣第十八 凡二线之间寛狭相离之分俱等则此二线谓之平行线也 第十九 欲求平行线之间相距几何则自上一线不拘何处至下一线画二纵线则此二线为相距度分也如甲乙丙丁二线平行自上线甲乙二处至下线丙丁二处画二纵线则此二线为相等线其度必等然则甲乙丙丁相对之间其相距之远近不已见耶 第二十 平行二线虽引至于无穷其端必不能相合葢二线相离之度各处逺近俱为相等故也如甲乙丙丁平行二线随意引于戊己又自戊至己画一纵线其度亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线虽引至于无穷其端终不能相合也第二十一 凡平行二线或纵或斜画一直线交加于上则平行线上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直线相交成二角则此二角必然相等矣第二十二 凡平行二线上画一斜线则成八角此八角度有相等者必是对角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二线之内外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二线之内而立斜线之左右故又谓之相对错角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二线之内故又谓之内角总之二平行线上交以斜线所成八角必两两相等也第二十三 平行线上一边之二内角或一边之二外角与二直角相等如丁己戊角与丙己戊角为并角则此二并角与二直角等前第十四节云凡一直线交于他直线所成二角必与二直角相等则此二角同出于一直线为并角故亦与二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角而亦为并角此二并角亦与二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦与二直角等也第二十四 有平行二线复与一线相平行者此三线互相为平行线也如甲乙丙丁二线之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也照前第二十一节在此三线上画一庚辛壬斜线则所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三线之与斜线相交所成之角既各相等则三线互为平行可知矣 几何原本二 第一 凡各种界所成俱谓之形其直界所成者为直界形曲界所成者为曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形为诸形之首 第二 凡三角形一角直者为直角三角形一角钝者为钝角三角形三角俱鋭者为鋭角三角形 第三 凡三角形其三边线度等者为等边三角形两边线度等者为两等边三角形三边线度俱不等者为不等边三角形第四 凡三角形之三角度相并必与二直角度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角其度必相等【见首卷第二十二节】而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角与二直角等【见首卷第二十三节】今于甲乙丁直角内减丙乙丁角所余为甲乙丙角丙乙丁角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合成之一直角与甲角之一直角非二直角之度耶 第五 凡三角形自一界线引长成一外角此外角度与三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁所成之丙乙丁角即为外角其度与三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原与二直角等【如本卷第四节云】而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与二直角等【如首卷第十四节云】则此内外二角所并之度与三　形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角则所余之丙乙丁一外角度与甲角丙角所并之度为相等可知矣 第六 凡两三角形其两边线之度相等二线所合之角又等则二形底线之度必等二形之式亦等其底线之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙戊己之二底线必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合则甲丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等因其俱等故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙丙底与戊己底不符必是戊己线上斜于庚或下斜于辛不成直线形矣第七 两三角形其三边线之度若等则三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线戊己线两两相等则甲角与丁角乙角与戊角丙角与己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此两三角形之各线俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八 凡两三角形有一线相等其相等线左右所生之二角又相等则其他线他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线若等而此二线左边所成之甲角丁角右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙线度与丁己线度等丙乙线度与己戊线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再将甲角与丁角乙角与戊角相较此二线二角之度必俱相符此二线二角既俱相符其他线他角亦必各相符矣若谓一线不符则相等之角亦必不符必其一线斜出或一线偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣 第九 三角形之两边线若等其底线之两角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙两边线之度等则其甲丙底线之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁处自丁至乙角画一直线遂成甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两三角形所共用之各一边线然则此两三角形之各三边线度必俱相等可知矣三角形之三线既各相等则其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也 第十 有两边相等之三角形自上角至底线画一直线将底线为两平分则此线为上角之平分线又为底线之垂线也如甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底线丁画一直线将甲丙底线为两平分则为乙角之平分线又为甲丙底线之垂线也葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙丁两三角形此两三角形之各界线度必各相等而各角之度又俱相等则甲乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两直角因其为两直角故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也 第十一 凡三角形内长界所对之角必大短界所对之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界故其相对之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所对之丙角小于乙角也试依甲丙界度截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角与小三角形内之甲乙二角相并之度等【见本卷第五节】既与甲乙二角之度等则大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同 第十二 凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角并之与二直角等【见本卷第四节】如甲乙丙三角形之乙角为直角则所余甲角丙角并之始与乙角相等二角并之仅与一直角等则此二角独较之必小于直角矣故此甲丙二角为鋭角也又如丁戊己三角形之戊角为钝角则所余之丁角己角愈小于直角而为鋭角矣第十三 凡自一防至一横线画众线而众线内有一垂线必短于他线而他线与垂线相离愈逺则愈长也如自甲防至乙丙线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故更长于甲丁线也葢甲乙为垂线则乙角必为直角【见首卷第十节】而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱为鋭角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相对之甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等【见本卷第五节】则此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣 第十四 凡三角形将二界线相并必长于所余之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界线并之则长于所余之乙丙界线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲角与丁角等【见本卷第九节】则丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线可知矣【见本卷第十一节】 几何原本三 第一 凡四边线函四角者其形有五四边线度等而角度亦等者为正方形四角直而两边线短两边线长者为长方形四边线度等而角度不等者为等边斜方形两边线长两边线短而角度又不等者为两等边斜方形以上四形俱自平行线出如四边线不等亦不平行而四角度又不等者为不等边斜方形第二 凡四平行线所成方形其所函之角成两对角必两两相等如甲乙丙丁平行线方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作一线成一丁外角与甲角为二尖交错之角其度相等【见首卷第二十二节】而丁外角与丙角又为一边之内外角其度亦等【见首卷第二十二节】夫甲丁二角既等丁丙二角又等则甲角与丙角必自相等而丁乙两对角之相等不言可知矣 第三 凡平行四边形自一角至相对之角作一对角线必平分四边形为两三角形如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即成丙甲乙丁甲乙两相等三角形葢此四边形之丙丁二角为对角其度必等【见本卷第二节】而对角线所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖交错之角其度又两两相等【见首卷第二十二节】夫此两三角形原自一四边形而分各角又俱相等则其所函之分必等而四边形平分为两平分无疑矣 第四 凡平行线所成方形其两两平行线度俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等此即如前节作一对角线成两三角形而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所对之线其度亦必相等矣【见二卷第八节】第五 平行线方形内两对角线其相交处必平分二线之正中如甲乙丙丁二线相交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊丁二线俱等葢因丙戊乙甲戊丁两三角形之丙乙甲丁二线为平行线其度等【见本卷第四节】而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之错角其度俱等【见首卷第二十二节】夫丙乙甲丁二线既等各相对之错角又等则丙乙戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣【见二卷第八节】 第六 凡平行线方形内于对角线上或纵或横正中截开即将此形为两平分如甲丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相对之角其度又等则此两三角形度亦必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两三角形度必等将此两相等之三角形以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊庚于甲丁乙形内减乙己庚则所余之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之方形为戊己线所截自为两平分可知矣 第七 凡四边形于对角线不拘何处复作相交二平行线即成四四边形设如甲丙乙丁四边形于对角线之戊处复作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四形中之甲戊戊乙二形为对角线上所成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所成之形此对角线旁所成两形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙对角线平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙两大三角形之分必等其对角线上所成之一小方形复为甲戊对角线平分为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角形此两小三角形之分亦必等而对角线上所成之一大方形又为戊乙对角线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两中三角形此两中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三角形所余对角线旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己两四边形此两四边形自然相等矣 第八 凡两平行线内同底所成之四边形其面积必等如甲己乙辛两平行线内于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊乙丙己一斜方四邉形此两形虽不同而所容之分必相等何也试以两三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此两三角形之甲乙丁丙二线等甲戊丁己二线亦等【甲丁戊己二线俱与乙丙平行而度分相等若于甲丁戊己二线各加一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然相等】而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角其度又等则此两三角形自然相等可知矣今于两三角形内各减去丁戊庚则所余之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此二形内毎加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊乙丙己之两四边形其面积必然相等也 第九 两平行线内无论作几四边形其底度若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行线四边形其丙己辛丁两底度相等则其积亦等试自丙己底至庚乙画二直线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底即同前节两形面积俱等矣至于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚乙之底故此两形面积亦俱等观此两两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之面积相等明矣 第十 凡两平行线内同底所成之各种三角形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此两三角形之面积必等何也自丁至戊作一直线与甲丙平行再自丁至乙作一直线与己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二形既同出于丙丁底其面积相等而甲丙丁己丙丁两三角形为平分两四边形之一半其面积亦必相等矣 第十一 两平行线内无论作几三角形其底度若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其丙戊戊己两底度相等故其面积亦等今自戊至辛作一直线与甲丙平行又自己至乙作一直线与庚戊平行即同前节成面积相等之两四边形而此甲丙戊庚戊己两三角形为面积相等两四邉形之各一半则此两三角形之面积必等可知矣 第十二 凡有几三角形其底若俱在一直线而各底相对之角又共遇于一处则其众三角形必在二平行线之间如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直线上而各底相对之角又皆遇于甲处则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行线之间矣 第十三 凡等边等角各形内五边者为五角形六边者为六角形边愈多角愈多者俱随其边与角而名之焉 第十四 多边多角形自角至心作线凡有几界即成几三角形设如辛七边形自心至邉七角作七线即成七三角形而此各三角形之分俱相等也 第十五 欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣 几何原本四 第一 凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二 凡一直线横分圜之两界谓之?线其所分圜界之一段谓之弧此弧与?相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为?其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙?与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉 第三 凡自一圜?线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙?线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也 第四 凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也 第五 凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣 第六 圜?线上自圜心作一垂线则将?线为两平分如乙丙?自圜心甲至?线丁作一垂线必将乙丙?为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至?线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七 凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一?线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣 第八 凡圜内两?线若等其分圜弧面之积必等自心至两?所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二?之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二?各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二?之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二?线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二?为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二?之甲辛甲壬之度自然相等矣 第九 凡?线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之?线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正?凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正?取之皆得乙戊弧之度数焉 第十 一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也 第十一 圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角与甲丁丙丙甲丁二内角等【见二卷第五节】其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁二角亦必等【见二卷第九节】今甲丙乙之外角既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之外则自丁角过圜之丙心至对界作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一图必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角则此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣 第十二 凡自圜之弧线一段任作相切界角几何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段则心角必倍于界角然则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半则此二角之度必等可知矣 第十三 凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半则二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线复自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣第十四 凡圜内界角立于圜界之半者必为直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙角必然为直角也自甲丁丙之半圜于丁界为两平分复自丁界至圜心戊作丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲丁弧为圜界四分之一既为圜界四分之一则必为直角【如首卷第十节云】夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半其二角之度相等矣【如本卷第十三节云】今甲戊丁心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等且甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁心角为直角而甲乙丙界角亦必为直角矣 第十五 凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为钝角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角【见首卷第十一节】夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半则二角之度必相等【如本卷第十三节云】今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙丙界角亦必为钝角矣 第十六 凡圜内界角其所对之弧不及圜界之半者必为鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为鋭角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角此心角所对之甲戊弧线既不足圜界四分之一则此甲丁戊心角必为鋭角矣【见首卷第十一节】此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半则此二角之度必等夫甲丁戊心角既为鋭角则甲乙丙界角亦必为鋭角矣 第十七 凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣 第十八 凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣 第十九 凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也 第二十 函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也 第二十一 圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二 凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也 第二十三 有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜?即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也 防何原本五 第一 平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣 第二 凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣 第三 平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣 第四 凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己 第五 凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣 第六 凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣 第七 凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为鋭角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣 第八 众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣 第九 平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角【见本卷首节】故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十 有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣 第十一 相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣 第十二 有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也 第十三 凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐鋭成形则谓之尖圆体辰图是也 第十四 凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣 第十五 凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也 第十六 凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者爲面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也 第十七 凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必爲面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣 第十八 凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九 凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣【如前节所云】而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也 第二十 平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边 二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉 丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌 卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸 卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对 角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面 各大一倍矣复于所作二底边酉戌二 处作酉未一纵线戌申一纵线即成未 庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑 戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未 庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本 卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既 各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为 未庚申癸二方体之正一半其积必等 无疑矣 第二十一 凡各种体形难以图显葢以图止一面 故也必用木石制之始能相肖况此各 种形体又或有外实而内空者必按其 形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二 凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也 第二十三 凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣】 第二十四 凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必爲戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也第二十五 凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积爲与尖圆体之积等也试将球体从中心分爲千万尖体复将尖圆体亦分爲千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底而以球体之甲戊半径爲高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底而以尖圆体之己壬高爲高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆爲同底同高其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也 第二十六 凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣 第二十七 厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一爲四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二爲六面体毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方体如乙图是也三爲八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四爲十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五爲二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也 第二十八 前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等则爲平面不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱爲钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平 面六角形之三形合于一处爲癸其甲 乙丙三角度与四直角等故不成厚角 六角平面相合既不成厚角其七角八 角等形愈不能成厚角矣故曰四面六 面八面十二面二十面五种体只在三 角四角五角三种平面形所生此外不 能复成他形也 御制数理精蕴上编卷二 [book_title]卷三 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴 钦定四库全书 御制数理精蕴上编卷三 几何原本六 几何原本七 几何原本八 几何原本九 几何原本十 几何原本六 第一 大凡欲论诸物之不齐必借同类之物以比之始可以得其不齐之度数如一线与他线相比其度之或长或短其数之或多或少自能见之如一面与他面相比其面度之或大或小其积数之或多或少自能见之又如一体与他体相比其体度之或厚或薄其积数之或多或少亦自能见之若将一线与一面相比或一面与一体相比既不同类又不同形则线之长短面之大小体之厚薄俱不可辩矣故曰欲论诸物之不齐必借同类之物以比之也 第二 将两数相比其度互为大小则谓【率】之比例其比者与所比者俱谓之【率者法也矩也以数互相准之之谓也】其比之数为前率其所比之数为后率如甲乙二数互相为比其相较之分甲数之度为长其分为多乙数之度为短其分为少如是以比之故谓之二率甲为比之之数故谓之前率乙为所比之数故谓之后率焉 第三 有四率两两相比其一率与二率之比同于三率与四率之比则谓之同理比例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分之五则甲与乙之比例丙与丁之比例此两比例相同而乙有甲防分之数即可知丁有丙防分之数矣故凡四率内将一率与三率分数定为相等二率与四率分数亦定为相等其度之长短虽有不同苟分数定准则一率与二率之比即如三率与四率之比也夫甲乙丙丁四线内甲第一线与丙第三线俱各定为六分乙第二线与丁第四线俱各定为五分则甲度之长虽大于丙度之长其分数则俱为六而乙度之长虽大于丁度之长其分数亦俱为五故知乙第二线度与甲第一线度之六分之五分相等丁第四线度亦与丙第三线度之六分之五分相等所以甲线之比乙线即如丙线之比丁线而谓之同理比例也 第四 凡四率两两相比其一率与二率相比之分若大于三率与四率相比之分则为不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四数甲与乙丙与丁各互相为比苟甲第一数与乙第二数相比之分为六与四其丙第三数与丁第四数相比之分为五与四则此甲与乙之比大于彼丙与丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分为凖则三率四率相比之分为小若依三率四率相比之分为准则一率二率相比之分又大故谓之不同理之比例而比例四率不能行也 第五 凡有四率一率之度与二率之度相比分数若同于三率之度与四率之度相比分数则此四率又谓之相当比例四率焉如甲乙丙丁四线苟甲线与乙线相比之度与丙线与丁线相比之度其分数同则此四线谓之各相当线而毎两率相比其毎度之分数同故又谓之相当比例四率也 第六 凡三率互相为比其一率与二率之比同于二率与三率之比则谓之相连比例率也如甲乙丙三数互相为比苟甲数与乙数之比同扵乙数与丙数之比则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣若相连比例率内将一率与三率比之则为隔一位加一倍之比例或有相连比例四率将一率与四率比之则为隔二位加二倍之比例大凡有几率隔几位以比者皆以隔几位而为加几倍之比例也如甲乙丙相连比例率内其甲与丙之比为隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率其甲与丁之比即为隔二位加二倍之比例而甲与戊之比则又为隔三位加三倍之比例矣 第七 相当比例四率为数学之要因其理之所该最广故设为双圜图以申明之立甲防为心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以为三百六十分【首卷第十七节云凡圜无论大小俱定为三百六十度】于是自圜之甲心过小圜界之辛壬二处至大圜己庚二处作二线则大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相对之己庚弧界设为六十度则为乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既为六十分则丁戊小圜之辛壬弧界度亦为六十分矣大凡角度俱定于相对之圜界【见首卷第九节】今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱与一甲角相对其度虽依圜之大小不同而分数则等分数既等则大圜小圜大弧小弧两两互相为比即如四率之两两相比为同理比例矣是以大圜之三百六十分为一率自大圜所分之己庚弧之六十分为二率小圜之三百六十分为三率自小圜所分之辛壬弧之六十分为四率其乙丙大全圜与本圜己庚分之比即同于丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也故凡各率各度虽异相当之分数若同则一率与二率之比必同于三率与四率之比而俱谓之顺推比例矣要之分合加减各率之法总不越此图之互转相较之理也 第八 一种反推比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者反推之以二率与一率为比四率与三率为比其所比之例仍同故亦谓之相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比反推之以乙与甲为比丁与丙为比则所比之例仍同于相当比例率焉以前双圜图解之葢甲数与乙数之比例即乙丙大圜全界与所分己庚弧界之比例丙数与丁数之比例即丁戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例也今反以乙与甲为比丁与丙为比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙丙大圜全界为比丁戊小圜所分之辛壬弧界与丁戊小圜全界为比也因其以二率为一率以三率为四率前后互移故谓之反推比例然名虽为反推比例而相当比例之率仍与顺推比例相同也 第九 一种递转比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者转较之以一率与三率为比二率与四率为比其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比转较之以甲与丙为比乙与丁为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图　　乙丙大圜全界一率与所分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜全界三率与所分辛壬弧界四率之比若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊小圜之三率为比大圜所分之巳庚弧界二率与小圜所分之辛壬弧界四率为比其度虽依圜之大小有异而分数则同其比例仍同于原比例故甲乙丙丁之四数亦如大小二圜为互相比例之率而甲一率与丙三率之比即大圜与小圜之比乙二率与丁四率之比即大圜所分弧界与小圜所分弧界之比也葢以三率为二率以二率为三率递转相较故谓之递转比例其相当比例之四率虽递转以较之亦仍为相当比例之四率也 第十 一种分数比例彼四率之中以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率所较之分截开以一率与二率之较为一率与二率为比以三率与四率之较为三率与四率为比则其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数于甲数内减去乙数之分为戊巳丙数内减去丁数之分为庚辛乃以戊己易甲与乙线为比以庚辛易丙与丁线为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图　　于乙丙大圜全界内减去所分己庚弧界一段仍与己庚弧界为比丁戊小圜全界内减去所分辛壬弧界一段仍与辛壬弧界为比亦与大圜全界与大圜所分弧界小圜全界与小圜所分弧界相比之理同故此甲线内截去乙所成戊己仍与乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍与己庚弧界相比而丙线内截去丁所成庚辛仍与丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍与辛壬弧界相比也其比例仍同于相当比例四率但因其各分内有分开相减之故所以谓之分数比例也第十一 一种合数比例有四率以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率并之以一率与二率相加为一率仍与二率为比以三率与四率相加为三率仍与四率为比其所比之例亦仍同于相当比例之四率也如甲乙丙丁四数以甲数与乙数相加共为一率与乙数为比丙数与丁数相加共为三率与丁数为比则所比之例仍同于相当比例四率也此合数比例与分数比例之理互相对待彼分数比例以双圜图　　二圜全界内减去所分弧界一段仍与所分弧界一段为比今此合数比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而与所分弧界一段为比也其所比之理仍同于相当比例四率但因有相加之加故谓之合数比例焉 第十二 一种更数比例以一率与二率之比同于三率与四率之比者更之将一率与二率相减用其余分为二率仍与一率为比又将三率与四率相减用其余分为四率仍与三率为比则其比例之理仍同于相当比例四率也如甲乙丙丁四数于甲第一率内减去乙第二率所余为戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲与戊己为比复于丙第三率内减去丁第四率所余为庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙与庚辛为比其所比之理仍同于四率之比例故亦为相当比例之四率也今以双圜图解之　　乙丙大圜三百六十度之全界 仍为一率全界内减去所所分之巳 庚弧界六十度一段余己丙庚三百度一大段　　为二率丁戊小圜三百六十度之全界　　仍为三率全界内减去所分之辛壬弧界六十度一段余辛戊壬三百度一大段　　为四率则乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之两相比例亦同为相当比例率也凡四率之内前后之相差虽更入比之仍与相当比例之理同但以其数有更入之故所以谓之更数比例也 第十三 一种隔位比例有两相比例四率将此一邉四率内一率与末率为比彼一边四率内一率与末率为比则其所比之例仍同于相当比例四率也如此一边有甲乙丙丁四数彼一边有戊己庚辛四数此甲与乙之比同于彼戊与己之比此乙与丙之比同于彼已与庚之比此丙与丁之比同于彼庚与辛之比若将此四率隔位比之使此一边之甲与丁为比以彼一边之戊与辛为比则其比例仍同于相当比例四率也试以双圜图之大小圜所分各弧界之两线引长　　自庚壬过甲至癸丑作一全径线复自己辛过甲至子寅作一全径线则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相当四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四?亦为相当四率此二圜之所分四段既俱为相当四率则其各相比例度之大小虽异而分数相同故大圜之庚己一?与已丑一?之比同于小圜之壬辛一段与辛癸一?之比大圜之已丑一?与丑寅一段之比同于小圜之辛癸一?与癸子一?之比大圜之丑寅一段与寅庚一段之比同于小圜之癸子一段与子壬一?之比也若以此各相当四率隔位以比之其大圜之庚已一?与寅庚一段为比而小圜之壬辛一?与子壬一?为比其比例仍同于相当比例四率但以其两边各相比例四率内各取两率隔位以比之故谓之隔位比例耳 第十四 一种错综比例有两连比例三率此一边三率内中率与末率之比同于彼一边三率内中率与末率之比则为相当比例之四率苟错综其位分以此一边首率与末率隔位为比复取另一数与彼一边中率为比而成同理之四率则此另一数必与彼边三率为连比例四率矣如此一边有甲乙丙连比例三数彼一边有丁戊已连比例三数将此一邉中率乙数与末率丙数之比同于彼一边中率戊数与彼一邉末率己数之比则其比例为同理比例矣今错综其位分使此一边所有之首率甲数与所有之末率丙数隔位为比复另取一庚数与彼一边所有之中率戊数为比则其比例亦同于相当比例四率而此庚数与彼边丁戊己三率为连比例之数矣何也试以庚数置于彼一边丁首率之上则庚为首率而丁移而为中率戊又易而为末率是故此一边甲首率与丙末率之比同于彼一边所取庚首率与所易戊末率之比但以两连比例率互相易位増入比之之不同故名之为错综比例耳 第十五 一种加分比例凡有二率依本度各加几倍所加之分数若等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等倍相加之比例也如甲乙二数于甲数依本度加三倍为丙于乙数依本度加三倍为丁则此丙丁二数互相为比仍同于甲乙二数之互相为比也假若甲度为一大分乙度为一小分则甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相当之分数既等固为同理比例可知矣【见本卷第三节】故凡二率依本度各加几倍其所加之分数若等其加分之率互相为比必同于原率之互相为比因于原数有相加之分故谓之加分比例也第十六 一种减分比例凡有二率依度度各减几倍所减之分数若俱等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等分相减之比例也如有甲乙丙丁二数其甲乙之三分内减去甲戊一分丙丁之三分内减去丙己一分则戊乙己丁互相为比仍同于原甲乙丙丁全数之互相为比也何也夫甲乙度为三尺丙丁度为三寸自甲乙度内减去一尺则为戊乙自丙丁度内减去一寸则为己丁以所余之戊乙二尺与所余之已丁二寸为比以甲乙之全三尺与丙丁之全三寸为比其相当之分数必等故亦为同理比例矣凡二率之内无论减几分其所减之分数若等则相比之理必同于原数之比例因于原数内减之故又谓之减分比例也 几何原本七 第一 前卷所论比例之法凡一十有二【相当比例一种相连比例一种正比例一种反比例一种递转比例一种分数比例一种合数比例一种更数比例一种隔位比例一种错综比例一种加分比例一种减分比例一种】虽种种变化不穷其每相当分数所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆为相当比例四率也是故线与线为比面与面为比体与体为比依前各种比例之法线之比例若同则为相当比例线面之比例若同则为相当比例面体之比例若同则为相当比例体矣夫线面体为类不同虽不能互相为比假使线面体之每相当分数若等则按其各类相当分数比之亦为同理比例率也如甲之六分线与乙之三分线相比丙之六分面与丁之三分面相比戌之六分体与已之三分体相比此三种每相当分数既俱相等故其比例亦俱相等而六率互为同理比例可知矣 第二 大凡直角平方面积皆生于二线之度故欲知方面所生比例之分将其二形之纵横线分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分则视甲乙大形之甲戊横线长度得彼丙丁小形之丙己横线长度为三倍而甲乙大形之甲庚纵线寛度得彼丙丁小形之丙辛纵线寛度为二倍假若将甲乙大形自中线平分为甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横线长度既仍与丙己横线长度为三倍其所分之甲癸形必与丙丁三形相等再彼壬乙形亦与丙丁三形相等则此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形为六分可知矣又或甲乙大形之甲戊横线长度得丙丁小形之丙己横线长度为四倍甲乙大形之甲庚纵线寛度得丙丁小形之丙辛纵线寛度为三倍则大形与小形四倍者有三而大形比小形为十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横线为十二倍丙丁小形之丙辛纵线反比甲乙大形之甲庚纵线为三倍则甲乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小形之丙己横线之长多十一倍而甲乙大形之甲庚纵线之寛又比丙丁小形之丙辛纵线之寛少二倍矣将此纵横二线之多少较之甲乙大形比丙丁小形为四倍而丙丁小形为甲乙大形之四分之一于是以二形之纵横多少互相较对以比例之始得知此形与彼形之比例焉故凡直角平方面形与他一形相比其比例有二以此形之长与他形之长比之为一比例以此形之寛与他形之寛比之为一比例两形相比之间而兼两比例者正以平面之积自二线之度生之之故也 第三 有两直角方面形若将此方面横界与他方面横界为比又将他方面纵界与此方面纵界为比其比例若同则此两方面必相等也如甲乙丙丁两方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚纵界比甲乙形之甲辛纵界亦大一倍则甲乙丙丁两形之分必相等是知两方面形纵横之分互相较对则两方面之积可知矣 第四 凡有相比例四率其二率与三率相乘一率与四率相乘则所得之分数俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率为二分丁戊二率为四分戊己三率为三分乙丙四率为六分将丁戊二率为纵线戊已三率为横线以之相乗又将甲乙一率为纵线乙丙四率为横线以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分数俱是十二互相等矣然则丁已形之丁戊纵度虽比甲丙形之甲乙纵度大一半而丁已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙横度少一半故其纵横互较之分相等而其积亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率将两率之分相乘所得之数以一率之分除之即得其一率矣设如甲乙三分为一率丁戊六分为二率戊己五分为三率乙丙十分为四率今只知一率二率三率之分欲推四率则以丁戊六分二率与戊巳五分三率相乘为丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分为首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率则以乙丙十分为一率戊巳五分为二率丁戊六分为三率二率与三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分为首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率则以丁戊为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率则以戊己为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即递转比例之理也 第五 凡有两直角方面形此一方面之横界与他一方面横界为比此一方面之纵界与他一方面纵界为比其比例若等则此两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界为丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛纵界之二倍则甲乙形面积与丙丁形面积之比比之甲乙形之一界与丙丁形之一界之比者即如连比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之纵横界既为丙丁方面纵横界之二倍则甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二为四故甲乙方面积比丙丁方面积为四倍今甲乙方面积为一十六分与丙丁方面积之四分相比较之甲乙方界之四分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分较之二分比一分不为二倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界二倍之得八分与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积十六与丙丁方面积四分之比矣夫八与十六四与八二与四皆二分之一之比例而十六隔八与四比八隔四与二比则皆成四分之一之比例故十六与四较之四与二为两界上连比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之纵横界为丙丁方面纵横界之三倍则甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三为九故甲乙之面积比丙丁面积为九倍今甲乙之积为三十六分与丙丁方面积四分相比较之甲乙方界之六分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分较之三分比一分不为三倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界三倍之得十八与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积三十六与丙丁方面积四之比例矣葢十八与六六与二皆三分之一之比例而三十六隔十二与四比十八隔六与二比则皆为九分之一之比例故三十六与四较之六与二亦为两界上连比例隔一位相加之比例也 第六 凡直角方面形有二种一为长方一为正方因其纵横界之比例各异故其所生之形不同而积不得互相为比也如欲比之必以长方与长方为比正方与正方为比其比例始行如甲乙丙丁两长方面形其甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙己横界为大一倍甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比则大三倍而甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙己横界为比止大一分犹不得大一倍其比例则异故甲乙形所生之积为二十四而丙丁形所生之积为六俱为长方形焉又如子丑寅夘两正方形其子丑形之子辰横界与寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅未纵界之比俱为大三倍而比例相同复以子丑形之子辰横界与寅卯形之寅未纵界为比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅已横界为比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之积为三十六而寅夘形所生之积为四俱为正方形焉以此四形两两相比则甲乙长方形与丙丁长方形为比而子丑正方形与寅卯正方形为比各为相当比例之四方面也 第七 有两同式长方面于两形相当之二界各作两正方面互相为比即同原两长方面之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方面在甲戊丙己相当二横界各作甲庚丙辛两正方面则所作甲庚丙辛两正方面互相为比即同于原有之甲乙丙丁相同之两长方面之互相为比也夫甲乙丙丁同式之两长方面积既为隔一位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之正方面积亦必为隔一位相加之比例然则甲乙丙丁原有之两面互相为比与所作甲庚丙辛之正方面之互相为比其为同理之比例无疑矣 第八 大凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲已庚丁两直角方面其甲已面与庚丁面之比即同于甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁底线之比也葢甲巳面之丙巳底线与庚丁面之辛丁底线为三倍而甲巳面之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线因同在二平行线内其度固同今以二面纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之皆为四倍则甲巳面为一十二分而庚丁面为四分矣以甲己面之十二分与庚丁面之四分为比即如甲己面之丙己底三分与庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也 第九 凡二平行线内所有二界平行斜方面互相为比同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲戊乙丁两斜方面积互相为比即同于丙戊巳丁两底界之互相为比也试将甲戊乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上立庚戊辛丁两直角面则此两直角面因与两斜方面同底同髙其积必等【见三卷第八节】前节言凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立庚戊辛丁两直角面相等则甲戊乙丁两斜方面互相为比必同于丙戊己丁两底界之互相为比可知矣故凡二平行线内所有面积相比之分数必与底界相比之分数同也 第十 凡二平行线内所有三角形面积互相为比亦同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有戊己庚辛壬癸两三角形其内所函面积互相为比即同于巳庚壬癸两底界之互相为比也何也凡二平行线内所有三角形得其同底所立四边形之一半今以甲乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四边形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四边形则戊巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一半而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边形之一半如以两三角形面积互相为比即同于两四边形面积之互相为比而为相当比例四率矣其面积既互相为比则其两三角形面积相比同于两三角形底之相比者亦如两四边形相比同于两四边形底之相比矣然则戊巳庚辛壬癸两三角形面积互相为比必同于巳庚壬癸两底界互相为比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面积必比戊巳庚三角形面积亦大一倍也 防何原本八 第一 凡三角形内与其底线平行作一直线则所截三角形之两边线互相为比例线其两边线所分各二叚互相为比为相当比例四率而每边所截之一叚与本全线比之亦为相当比例四率也如甲乙丙三角形内与乙丙底线平行作一丁戊线则分甲乙一边为甲丁丁乙二叚分甲丙一边为甲戊戊丙二叚其甲乙一边之甲丁丁乙二叚互相为比甲丙一边之甲戊戊丙二叚互相为比其比例俱同为相当比例四率矣又如甲乙一边之甲丁一叚与本边甲乙全线为比甲丙一边之甲戊一叚与本边甲丙全线为比其比例亦俱同为相当比例四率矣今以三角形按所截分分为各式以各式面积互相比者考之自丁戊线之丁戊二端作丁丙戊乙二线则甲乙丙一三角形分为四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊两三角形既在乙丙丁戊二平行线之间又共立于一丁戊之底其二形之积必等【见三卷第十节】于此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙两三角形其积亦必相等又如甲丁戊乙丁戊两三角形之底俱在甲乙一直线上而两三角形之戊角又共在一戊处其两形必在二平行线之间而甲丁戊丙丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线上而两三角形之丁角又共在一丁处其两形亦在二平行线之间【见三卷第十二节】因各三角形两两俱为二平行线所限故其面积互相为比必同于其底界之互相为比也【见七卷第十节】此所以甲丁戊丙丁戊两三角形积互相为比与其甲戊戊丙两底线之互相为比同其甲丁戊乙丁戊两三角形积互相为比与其甲丁丁乙两底线之互相为比亦同也甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角形之积相等则以甲乙丙之全形与所分之甲乙戊三角形或与所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相为比甲乙戊三角形之甲戊底与甲乙丙全形之甲丙底互相为比亦必俱相同矣因其各三角形得互相为比例故其所截两边线两两为相当比例率也 第二 凡三角形内与底平行作一直线其所截两边线之每一叚与各边全线之比即同于所作线与底线之比也如甲乙丙三角形内与乙丙底平行作一丁戊线此丁戊线所截甲丁一叚与甲乙全线之比甲戊一叚与甲丙全线之比皆如丁戊线与乙丙底线之相比也假若将甲乙丙三角形之甲乙边线为底而与甲乙底线平行作一戊己线即成戊巳乙丁四边长方形其两两平行线之度俱各相等然三角形之两边与所截之每叚既互相为比【如前节所云】则此乙丙边之乙己一叚与乙丙边全线之比即同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比而丁戊之平行线既与乙已平行线度相等则此丁戊平行线与原底乙丙线之比亦必同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比矣故甲戊叚为一率甲丙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率为相当比例四率也又如甲乙边之甲丁一叚与甲乙边全线之比既同于丁戊平行线与乙丙底线之比则甲丁叚为一率甲乙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率亦为相当比例四率也苟甲乙边全线为六分则甲丁叚得其六分之二分乙丙边全线为六分则丁戊叚亦得其六分之二分所以成两两相当比例之率也 第三 凡大小两三角形其相当之二角度若两两相等则其余一角亦必相等如此类两三角形谓之同式三角形也虽其内容积分不同而其相当各界互相为比俱为相当比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小两三角形其甲角与丁角等乙角与戊角等则所余丙角必与己角等而为同式三角形也【二卷第三节言凡三角形之三角相并与二直角等则此大小两三角形之各三角相并亦俱为二直角于二直角中减去大形之甲角乙角余为丙角减去小形之丁角戊角余为己角其所减之数既等则所余之数亦必等矣】若于大形内与乙丙平行作庚辛线与甲乙平行作辛壬线则成甲庚辛辛壬丙两小三角形此两小形之相当角度与大形之相当角度亦必俱等故皆谓之同式形也凡同式之形其容积虽不一而其各界互相为比皆为相当比例之四率是故以大三角形之甲乙全线与所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一边与小三角形之相当丁戊一边之比也大三角形之甲丙全线与所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一边与小三角形之相当丁巳一边之比也大三角形之乙丙底线与所截庚辛底线之比即如大三角形之乙丙底线与小三角形之戊已底线之比也至于甲乙丙大三角形与所截辛壬丙小三角形相当各界之比亦如甲乙丙大三角形与丁戊已小三角形相当各界之比也由此推之凡同式之形其相当各界互相为比皆为相当比例之率可知矣 第四 同式直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而同式三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳两同式直角三角形其面积互相为比即同于此两三角形之乙丙戊巳相当二界所作庚乙辛戊两方形互相为比之比例而此两三角形之面积互相为比比之乙丙戊已相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣葢两三角形之乙戊二角俱为直角若与乙丙戊巳二线平行作甲壬丁癸二线又与甲乙丁戊二线平行作壬丙癸己二线即成壬乙癸戊两直角长方形此甲乙丙丁戊己两三角形因与所作壬乙癸戊两直角长方形在二平行线内同为一底其积为一半将半与半相比者即同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比必同于壬乙癸戊两直角长方形互相为比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方形互相为比之比例既与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同则依乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方形互相为比之比例亦与壬乙癸戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同矣又凡直角两方形其两界互相为比之比例若俱同则两形面积互相为比之比例较之两界互相为比之比例为隔一位相加之比例【见七卷第五节】今甲乙丙丁戊己两三角形之各依底线所作正方形互相为比较之二底线互相为比之比例即为隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己两三角形之面积互相为比者既与所作庚乙辛戊两正方形面积互相为比之比例同则此所作两正方形面积相比较之两底相比为隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相为比较之乙丙戊己相当二界互相为比之比例亦为隔一位相加之比例可知矣 第五 同式无直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己两同式三角形虽无直角然其相当各角俱等则此两形面积互相为比同于在此两形之甲乙丁戊相当二界所作方形互相为比之比例而两形之面积互相为比者比之甲乙丁戊相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣试自两形之丙己二角与甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一线又自甲丁二角至庚辛二线之末作甲庚丁辛二线又与此二线平行自乙戊二角至壬癸二处作乙壬戊癸二线成庚乙辛戊两直角长方形此两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱在两平行线内又同为一底则此两三角形面积为彼庚乙辛戊两长方形之一半将半与半相比者同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形面积之比例必同于庚乙辛戊两长方形之比例矣夫同式两长方形之比例同于相当界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相当界之比例为连比例隔一位相加之比例今此两三角形面积之比例既同于庚乙辛戊两长方之比例亦必同于两正方之比例则两三角形面积之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣 第六 有众多边形其边数同相当各角俱等而相当界之比例又同则谓之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小两多边形其边数俱为五其相当甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙边与己庚边之比即同于乙丙边与庚辛边之比其相当边互相比之俱同者即谓之同式多边形也又如众曲线形于其内外作各种直界形其式若同则谓之同式曲线形也假如有甲乙大小两曲线形在甲大形内作一丙丁戊己庚五边形在乙小形内作一辛壬癸子丑五边形此所作两五边形之式若同则曲线形之式必同又如甲乙大小两曲线形在甲大形外作一丙丁戊己四边形在乙小形外作一庚辛壬癸四边形此所作两四边形之式若同其曲线形之式亦必同故皆谓之同式曲线形也或如甲乙丙丁大小两圜分于大圜分内作一戊甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁三角形此所作两三角形之式若同则圜分之式亦必同故谓之同式圜分也第七 大小各圜分之式若同则其相对之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小两圜之戊甲己庚丙辛两分之式相同其弧虽随圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所对二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己与庚丙辛两叚式既同则此内所函甲戊己丙庚辛两三角形之甲丙相当两界角之度必等若自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙丁作甲壬乙丙癸丁二线则成两界角与两心角葢心角大于界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今将戊壬乙乙壬己两心角并之戊甲乙乙甲己两界角并之则所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛两心角并之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之两界角大一倍夫两圜之两界角度既等而两圜之所并之心角度又等则两界角相对之戊乙己庚丁辛两弧叚之分数亦必相等界角所对之弧分既等则心角所对之弧分亦必相等心角所对之弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二心角之度也 第八 凡大小同式多边形分为众三角形其相当三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二线则大形分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分为己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形与相当己庚辛之形同式甲丙丁之形与相当己辛壬之形同式甲丁戊之形与相当己壬癸之形同式因其所分各三角形俱为同式故相当各角度必等相当各角度既等则其相当各界之比例亦必俱同自五边形所分之各三角形之相当界互相为比之比例既同则五边形之相当各界互相为比之比例亦必同相当各界之比例相同则两形之式相同可知矣 第九 凡大小同式多边形互相为比同于各形相当界所作方形之互相为比而比之各面相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形于大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小两方形其大小五边形互相为比必同于所作子丙丑辛大小二方形之互相为比大小五边形既同于大小两方形之互相为比则比之丙丁辛壬相当二界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形则相当各三角形之式必同相当各三角形之式既同则相当各三角形互相为比即同于在三角形各相当界所作方形之互相为比而各三角形面积之互相为比较之各相当界互相为比之比例亦为连比例隔一位相加之比例夫所分众三角形互相为比既同于所作方形之互相为比则众三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边形互相为比亦必同于丙丁辛壬相当界所作子丙丑辛大小两方形之互相为比而比之丙丁辛壬相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣 第十 凡大小同式直界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当二界作寅丙卯壬正方形则两直界形互相为比即同于两正方形之互相为比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两六边形俱分为三角形则其相当各三角形之式俱相同而相当各三角形互相为比必同于甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比矣此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例则大小两形内各三角形之甲丙庚壬界又为两四边形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两同式形互相为比亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方形之互相为比可知矣 第十一 凡大小同式曲界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中虽各函一同式六边形各函一同式四边形又各函众同式三角形此大小二圜之积互相为比必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比也大凡众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近而圜界分为千万叚即成千万直界形【见四卷第十九二十等节】则大小两圜之比例固与内函相当直界形之比例等矣夫相当直界形之比例原同于两形之相当界所作方形之比例而圜界形之比例又同于相当直界形之比例则此大小二圜互相为比之比例同于此二圜之辐线或径线所作正方形互相为比之比例可知矣第十二 凡圆面径与撱圆面【一名鸭蛋形】髙度等者其面积互相为比之比例即同于函两形各作切方形互相为比之比例而圆形面积与撱圆形面积互相为比之比例又同于圆形径与撱圆形小径互相为比之比例也如子壬寅癸之圆面子丑寅卯之撱圆面其子寅髙度俱同【圆径即撱圆大径】其面积互相为比之比例必同于圆面外所作切圆戊己庚辛正方形与撱圆面外所作切圆甲乙丙丁长方形互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例又同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑卯小径互相为比之比例也葢平行线内两面形互相为比之比例同于其底界互相为比之比例【见七卷第八节】今戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形皆在戊辛己庚平行线内故戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例同于己庚底与乙丙底互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面亦在戊辛己庚平行线内则子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例必同于戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圆面壬癸径度而甲乙丙丁长方形之乙丙底又即撱圆面之丑卯径度也夫平圆与撱圆之比例既同于正方形与长方形之比例而正方形与长方形之比例又同于己庚底与乙丙底之比例则圆面与撱圆面之比例同于圆面之壬癸径 与撱圆面之丑卯径之比例可知矣 防何原本九 第一 凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则一形分为两形与原形共为三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则甲乙丙一形分为甲丁乙甲丁丙两形此所分两形与原有甲乙丙形之式俱相同而皆为直角三角形其三形毎相当各界之比例亦俱相同也葢甲丁线既为垂线则两傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱为直角【见首卷第十节】是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而两三角形又共一乙角其相当二角度既等则所余各一角度自等【见八卷第三节】故甲乙丙之丙角与甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦与甲丁丙之丁角相等此两三角形又共一丙角故所余之甲乙丙之乙角与甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相当各角之度既等则三三角形之式必同三三角形之式既同则其毎相当各界之比例亦俱相同可知矣 第八 凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而所作之垂线为中率此三率即为相连比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则截乙丙界为两叚其所截之乙丁叚为一率则丁丙叚为三率若丁丙叚为一率则乙丁叚为三率而所作甲丁垂线总为中率故此乙丁甲丁丁丙三线互为相连比例三率也葢甲乙丁甲丁丙两三角形为同式故其相当之乙丁甲丁二界互相为比即同于甲丁丁丙二界之互相为比也今以乙丁线为四分丁丙线为一分则甲丁线必得二分因四分与二分之比必同于二分与一分之比故为相连比例三率也第三 直角三角形自直角至相对界所作垂线与所分二叚固为相连比例三率如依垂线度作一方形则与所分二叚一为寛度一为长度所作长方形之积相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线截乙丙界为两叚遂成乙丁甲丁丁丙之连比例三率今依甲丁垂线度作一戊丁正方形【即为中率自乗之数】以甲丁垂线所截丁丙一叚为寛度乙丁一叚为长度作一己丁长方形【即为首率末率相乗之数】其戊丁正方形之积必与己丁长方形之积相等也何也葢同式两三角之相当界互相为比之比例同故此乙丁界与甲丁界之比即同于甲丁界与丙丁界之比乙丁线既为一率则甲丁线为二率甲丁线复为三率则丙丁线为四率然则此相连比例三率又为相当比例四率矣因其可为相当比例四率故二率与三率相乗一率与四率相乗所得之分数相同【见七卷第四节】今既以甲丁为二率又为三率则甲丁自乗之数即是二率三率相乗之数而乙丁一率与丙丁三率相乗所得己丁长方形即与甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗【中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中故云】其所乗之二式虽异因俱自相连比例四率而生故其积相等而得以为准也 第四 凡有直角三角形其直角相对界所作方形之积必与两傍界所作两方形之积相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相对乙丙界作一乙丁方形其积必与甲乙甲丙之两傍线所作戊乙己丙两方形之积相等也试自甲直角过相对乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂线则甲乙丙三角形分为甲乙庚甲庚丙两三角形而乙丁正方形分为乙壬庚丁两长方形此所分甲乙庚甲庚丙两三角形与甲乙丙原三角形为同式则其毎相当界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界与丙甲大界之比即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界与乙丙大界之比而为相当比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原为一线则庚丙丙甲乙丙又为相连比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之积与庚丙一率为寛乙丙三率为长所作庚丁长方形之积相等也乙丁既为正方形则庚壬度必与方界乙丙各度等故庚丁长方即同庚丙为寛乙丙为长所作之长方也又如甲乙庚甲乙丙两三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界为相当比例四率又为相连比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之积亦与乙庚一率为寛乙丙三率为长所作乙壬长方形之积相等也今庚丁乙壬之两长方形既与己丙戊乙两正方形等则两形相合之乙丁正方形亦必与己丙戊乙两正方形相等可知矣 第五 凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之积必与二小界所作二形之积等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式长方形则乙丙大界所作乙丁一形之积必与甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之积等也又或如甲乙丙直角三角形于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜于甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜则乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之积必与甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之积等也葢依三界所作三形之式既同故同式众形互相为比即同于相当界所作正方形之互相为比也要之一大界所作一大形内减一小界所作一小形即余一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形则为一大界所作一大形矣 第六 一圜之内二弦线相交所截之叚递转比之其比例俱同而为相当比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二?线相交于已其所截之戊已一叚与已丙一叚之比例即同于乙己一叚与己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚为相当比例之四率也何以见之若自乙至戊自丁至丙复作二弦线即成乙己戊丁己丙两三角形此两三角形之乙角丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚其度相等【见四卷第十二节】再乙己戊之己角丁己丙之己角又为两尖相对之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而两己角之度又等则所余戊丙二角亦自等两三角形之相当各角既等则其式必同其式既同则毎相当各二线互相为比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相为比例四率可知矣 第七 圜之径线不拘何处作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而垂线为中率即为相连比例三率也如甲圜自丁界至乙丙径线戊处作一丁戊垂线将乙丙径线截为两叚其所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率此乙戊丁戊戊丙三线为相连比例三率也试自圜界丁至乙丙二处作丁乙丁丙二线则成一乙丙丁三角形其丁角既立于圜之乙己丙半界故为直角【见四卷第十四节】而丁戊垂线乃自直角至相对乙丙底界所作之垂线故所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率为相连比例三率也 第八 自圜外一防过圜界二处至相对界作二线以此两全线互相为比即同于圜界外所截之二叚递转为比之比例而为相当比例四率也如己圜自圜外甲防过圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作二线则甲丙甲戊两全线互相为比必同于圜界外所截甲乙甲丁二叚之递转相比而为相当比例四率也试自圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作乙戊丁丙二线则成甲丙丁甲戊乙两三角形此两三角形之丙戊二角既切于一圜之乙丁弧界其二角之度必等【见四卷第十二节】再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共为一角其度自等两三角形各二角度俱等则两三角形必为同式矣故甲丙甲戊相当二界互相为比之比例即同于甲丁甲乙相当二界互相为比之比例是以甲丙与甲戊之比同于甲丁与甲乙之比将甲丙全线为一率甲戊全线为二率甲乙甲丁递转移之而以甲丁一叚为三率甲乙一叚为四率为相当比例之四率也 第九 凡函于圜内之三角形以其一角平分为二过相对底界至相对界作一直线则所分角之小边线与所作线之在三角形内一叚之比即同于所作线之全分与所分角之大边线之比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分过所对乙丙底界至相对界作一直线即成甲丁戊一全线以三角形之甲乙小边与所作甲丁戊线之甲丁一叚之比即同于所作甲丁戊全线与三角形之甲丙大边之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊?线即成甲乙戊甲丁丙两三角形此两三角形之戊丙二角俱切于圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又为一角所平分之两角其度亦必等因此两三角形各二角之度等故两形为同式两三角形之式既同则两形之相当二界互相为比之比例俱同是以甲乙小分与甲丁小分之比即同于甲戊大分与甲丙大分之比也 第十 凡函于圜内之三角形以其一角为两平分自角至底作一线则所分底线两叚互相为比即同于所分角之两傍两边线之互相为比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分至乙丙底作甲丁一线则分一丙底线为乙丁丁丙两叚以乙丁与丁丙之比即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也试自所分底线之丁至甲丙线与甲乙平行作丁戊一线即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既为乙甲丁戊平行线一边之内外角其度必等【见首卷第二十三节】而甲乙丙戊丁丙两三角形又共一丙角故此两三角形之各二角度等为同式两三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因为平行线内二尖交错之角其度亦等然则乙甲丁之甲角既为甲乙丙之甲角之两平分则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等则二角所对之丁戊甲戊二线亦必等矣甲乙丙戊丁丙两三角形既为同式而三角之度又俱等则其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二线互相为比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二线互相为比之比例也今戊丁甲戊二线其度既等则甲乙线与甲丙线之比又同于以甲戊线与戊丙线之比至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣是故甲乙线与甲丙线之比为同于乙丁线与丁丙线之比也 防何原本十 第一 大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度故欲知方体所生比例之分将所比形之长寛与厚详较之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二体其甲乙大形之戊己长比丙丁小形之庚辛长甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱为大一倍其甲乙大形之戊乙底平面积与丙丁　形之庚丁底平面积之比例将纵横二线之长寛度分考之即得【见七卷第二节】既得二体底积之比例乃以二形之厚度复与底积比之即可知甲乙丙丁二体之比例矣葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然则甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣是故欲知直角方体之比例以本体之长寛与厚互相比例以较之即得直角方体互相为比之比例也 第二 有两直角长方体若将此一体之底度与他一体之底度又将他一体之厚度与此一体之厚度为比其比例若同则此二体之积必等也如甲乙丙丁两直角长方体甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍则甲乙丙丁二体之积必相等是故两体之底积与厚度相较则两体之积可知矣葢体积之比例视其面线今两体之底面厚度交互相等如此其体积不得不等也 第三 有两直角方体其底面积之纵横二界相比之比例与厚度面积之纵横二界相比之比例若俱同则此两体为直角正方同式体也如甲乙丙丁两直角方体其甲乙体之戊乙底面之戊己横界比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍甲乙体之甲己厚面之甲戊直界比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也至于两体所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱为相当之界而可互相为比例矣第四 凡同式直角正方体其体积之比例比之两界线之比例为连比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁两同式直角正方体其相当之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相为比之比例俱各大一倍则此甲乙体积与丙丁体积之比比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者即如连比例四率内隔二位相加之比例矣盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四二其四为八故甲乙体积比丙丁体积大八倍夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比为八分之一甲乙体界二与丙丁体界一相比为二分之一其比例不同盖以八分比一分较之二分比一分为四倍也如欲求其相连比例之率则于甲乙体之界四倍之得八分与丙丁体界一分为比即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣夫八与四四与二二与一皆为连比例二分之一之比例今以八与一为比其间隔四与二之两位故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也【若边为三倍则面为九倍体为二十七倍亦为隔二位相加之比例也】 第五 有两同式直角长方体于两体相当之二界各作两正方体互相为比即同于原两长方体之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方体在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也夫甲乙丙丁同式之两长方体既为隔二位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之两正方体亦必为隔二位相加之比例矣然则原有之甲乙长方体为原有之丙丁长方体之八分之一其所作甲庚正方体亦为所作丙辛正方体之八分之一可知矣第六 凡有大小平面体其相当角度俱等而相当界之比例又同则谓之同式体也如甲乙大小两平面体其相当各界之度俱等而相当各界之比例又同则甲乙二体谓之同式平面正方体也如丙丁大小两四瓣体其相当各角之度俱等而相当各界之比例又同则丙丁二体谓之同式四瓣体也又如大小圆面体于其内外作各种平面体其平面体之式若同则圆面体亦谓之同式体如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也 第七 同式各种体之比例同于在各体相当界所作正方体之比例也如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比又如壬癸两圆球体其互相为比之比例亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也盖同式平面形互相为比之比例同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣今各种体之式既同故其相当面互相为比之比例必同相当面互相为比之比例同者縁相当面之各相当界互相为比之比例同也故凡同类两体知此一体之度而不知彼一体之度欲求知之则在同式两体相当二界各作一正方体此所作之二体一为一率一为二率所知之体为三率推得四率即其未知之体矣或有同类两体知此一体之界而不知彼一体之界则依所知一体之界作一正方体其两体一为一率一为二率所作正方体为三率推得四率即是彼一体界数所作之正方体矣故曰同式两体之比例与相当界所作正方体之比例相同也 第八 凡圆面半径与球体半径等者其圆面积为球体外面积之四分之一而圆面半径与球体全径等者其圆面积与球体外面积等也如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也试作子寅卯一尖圆体使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等则此尖圆体积与球体积相等【见五卷第二十五节】又作午未申一小尖圆体使其未申底径与甲丙球体之全径等亦与大尖圆体之寅丑半径等其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等亦与大尖圆体之子丑髙度等则此小尖圆体积为球体积之四分之一亦即为大尖圆体积之四分之一何以见之盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣又两体同髙者其体积之比例同于其底面之比例今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一则其体积必为大尖圆体积之四分之一而亦为球体之四分之一矣【球体原与大尖圆相等】夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一亦必为球体外面积之四分之一而丁己圆面固与小尖圆之底积等则为球体外面积之四分之一无疑矣至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍则其面积必大四倍今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍者安得不与球体外面积相等乎第九 凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等则球体为长圆体之三分之二也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体积为长圆体积之三分之二也盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一【五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体为平行体三分之一】尖圆体之底径与球之全径等髙与球之半径等者尖圆体积为球体积之四分之一而尖圆体又为半球体之二分之一矣【説见前节】今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体又作一壬己庚尖圆体则此尖圆体为半球体之二分之一尖圆体既为半球体之二分之一又为半长圆体之三分之一则半球体岂非长圆体之三分之二乎夫全与全之比例即若半与半之比例今半长圆与半球之比例为三分之二则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣 第十 凡球体全径与长圆体底径髙度相等者其球体外面积与长圆体周围面积等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体其球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则此球体外面积必与长圆体之周围面积等也大凡体之面积相等者其体积之比例同于其髙之比例而体积之比例与髙之比例同者其面积必相等试将球体乙壬半径分为六分取其三分为髙以长圆周围面积为底所成之体积必与长圆体积等取半径之二分为髙以球体外面积为底所成之体积必与球体之积等盖长圆体与球体之比例原为三与二之比例此所成之二体亦必为三与二之比例一体之髙为三分一体之髙为二分是积之比例与髙之比例同矣非因其面积相等之故乎由是观之球体外面积与长圆体周围面积相等也明矣 第十一 凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等者其相当毎段之外面积皆相等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体之癸丙寅一段凸面积必与相当长圆积之辰己庚己一段周围外面积等也夫乙辰巳丁一段长圆体内分出子癸寅丑一小长圆体余癸子乙辰巳丁丑寅空心体此空心体与子癸寅丑长圆体之积必等何以知之盖壬癸为大圆面之半径而所截卯癸又为小圆面之半径其壬卯与卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三线成一壬癸卯直角三角形而壬癸半径所作圆面必与壬卯卯癸两线为半径所作两圆面等【见九卷第六节】又壬癸与壬乙皆一圜之辐线其度必等而卯辰原与壬乙相等故卯辰为半径所作之圆面即壬癸为半径所作之圆面于卯辰为半径所作圆面内减去夘癸为半径所作圆面即余壬癸环面与壬卯为半径所作之圆面等而壬卯与卯癸原相等然则辰癸环面既与壬卯半径所作之圆面等亦必与卯癸为半径所作之圆面等矣夫卯癸即小长圆底之半径而辰癸又为空心体底之环径其两面积既等则其两体积必等无疑矣又壬癸寅小尖圆体原与癸乙辰巳丁寅曲凹体等【乙丙丁半球体为半长圆体三分之二则癸乙己丙庚丁寅曲凹体为长圆体三分之一与壬己庚尖圆体相等故壬癸寅一段尖圆体与相当癸乙辰巳丁寅一段曲凹体亦必相等也】而壬癸寅小尖圆体为子癸寅丑小长圆体三分之一则癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为辰癸空心体之三分之一矣于乙辰巳丁长圆体内减去壬癸寅小尖圆体又减去癸乙辰巳丁寅曲凹体则余乙癸壬寅丁一段空心球体必与乙辰壬巳丁一段空心长圆体等【如以乙辰巳丁一段长圆体作六分则子癸寅丑小长圆为三分壬癸寅小尖圆体为一分与小尖圆体相等之癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为一分今既减去小尖圆体及曲凹体是于六分内减去二分而存一段空心球体为四分也而壬辰巳大尖圆体亦为乙辰巳丁辰圆体三分之一于长圆体内减去大尖圆体则余乙辰壬巳丁空心长圆体为三分之二也三分之二之比例同同于六分之四之比例则此一段空心长圆体与一段空心球体相等无疑】若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体【俱以乙壬半径为髙以两空心体外面为底】则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等【同底同髙者其积既等则同髙同积者其底必等】此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣【千万尖体之底即两空心体之面也】夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣 第十二 凡撱圆体大径与圆球体径相等者其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也试将撱圆体与球体任意依径线平行分之其所分之大小平圆面如子丑乃球体大圆面之径寅卯乃撱圆体小圆面之径此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例【见八卷第十一节】而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣若将此两体与戊己径平行任意分为防何面其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣 第十三 凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体为长圆体之三分之二亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等则撱圆体为长圆体之三分之二其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也若转比之即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二可知矣 第十四 凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例同于函球之正方体与所函球体之比例也如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等故长方体与正方体之比例同于两体底积之比例今此长方体之底积与所函撱圆体之己辛小径所作方面等而正方体之底积与所函球体之卯午全径所作方面等矣然则此长方体与正方体之比例不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎夫撱圆体与球体之比例原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例则撱圆体与球体之比例同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例可知矣若转比之则长方体与所函撱圆体之比例亦必同于正方体与所函球体之比例矣 第十五 凡撱圆体大径与圆球体之径等者其撱圆体外面积与球体外面积之比例即同于撱圆体小径与球体全径之比例即任分一段其相当一段外面积之比例亦无不同也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等则此撱圆体外面积与球体外面积之比例必同与撱圆体之 ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜