[book_name]算学启蒙 [book_author]朱世杰 [book_date]元代 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]天文地理,数学,完结 [book_length]65561 [book_dec]中国宋元数学高峰时期的代表作之一。卷首一卷，正文三卷，元朱世杰撰，大德三年（1299）刊于扬州。卷首名总括，包括“释九数法”（九九表），“九归除法”（九归口诀），“斤下留法”（化两为斤）等共18项算学预备知识。“斤下留法”表明中国古典数学对进位制和不同进位制的换算有一定的研究。 正文三卷共20门259问。卷上有纵横因法、身外加法、留头乘法、身外减法、九归除法、异乘同除、库务解税、折变互差8门113问。其留头乘法门首载留头乘法，九归除法门首载撞归法和起一法。留头乘法与归除法（包括撞归和起一）的系统记载说明筹算简化的过程已趋完成。卷中有田亩形段、仓囤积粟、双据互换、求差分和、差分均配、商功修筑、贵贱反率7门71问，卷下有之分齐同、堆积还源、盈不足术、方程正负、开方释锁5门75问。 《算学启蒙》不仅涉及《九章算术》以来的一些传统算法，如筹算四则运算、比例算法、面积与体积计算、盈不足术、方程术等，并且吸收宋元时期出现的优秀算法，如垛积术、天元术、增乘开方法以及系统的筹算简化算法。内容编排由易入难，循序渐进，简而不略，明而不浅，是一部算学入门上乘之作。 本书初刊本现已失传。现传最早的版本是15世纪上半叶朝鲜李朝世宗时期（1418～1450）的铜活字本，今藏日本筑波大学。清顺治十七年（1660）朝鲜全州府尹金始振重刊《算学启蒙》。道光十九年（1839），数学家罗士琳（1789～1853）访得金始振刊本，附识误、后记，请阮元作序，刊于扬州，始得流传。【文中有些小图，可以对照PDF版阅读】 [book_img]Z_11577.jpg [book_title]序 祖颐序四元玉鉴称：朱氏尝游广陵，学者云集，编集算学启蒙，赵元镇先后付梓，谓二书相为表里。元昔抚浙时，获得玉鉴旧钞本，疑演细草，未果。甘泉罗君茗香得其写本，补全细草刊布，而以未见启蒙为憾。近年罗君又从都中人于琉璃厂书肆中得朝鲜重刊本，计三卷。因思论语皇侃疏，七经孟子考文，传自日本，皆收录入。 四库全书，中国刊行已久，今得此书，亦可依例刊行。案此书总二十门，凡二百五十九问，其名术义例，洵多与玉鉴相表里。罗君为之互斠，其证得七。玉鉴首列和较幂积诸图，始于天元，终于四元，义主精邃，所得甚深。考大德癸卯莫若序，计后此书四年。此书首列乘除布算诸例，始于超径等接之术，终于天元如积开方，由浅近以至通变，循序而进，其理易见，名曰启蒙，实则为玉鉴立术之根。此一证也。玉鉴原本十行，行十九字，今有氐一格，术曰又氏二格，与此书同式，此二证也。玉鉴斗斛之斗别用斗，此假惜字本汉书平帝纪及管子乘马篇，尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张邱建诸算经。其钧石之石，说文本作石，玉鉴作硕。硕与石古虽互通，然假硕为钧石之石，则廑见于毛诗甫田疏引汉书食货志，而算书罕见。又若玉鉴皖田之皖，虽见于李籍九章音义，而字书所无，此书并同。此三证也。玉鉴虽亦三卷，而门则为二十四，问则为二百八十八，较多于此书四门二十九问。然以四字分类，其体裁彼此无异。且如商功修筑、方程正负之属，则又二书互见，此四证也。玉鉴如意混和弟一问，据数知一秤为十五斤，适合此书之斤秤起率，此五证也。玉鉴锁套吞容弟九问，方五斜、七八角田左右逢元弟六弟、十三、弟二十诸问，有小平小长，皆向无其术。此书卷首明乘除段，即载平除长为小长，长除平为小平之例。其田亩形段弟十五问，复载方五斜、七八角田求积通术，此六证也。他如玉鉴或问歌彖弟四问，与此书盈不足术弟七问。又玉鉴果垛叠藏弟十四问，与此书堆积还源弟十四问。又玉鉴方程正负弟四问，与此书方程正负弟五问，其问题约略相同，此七证也。是此书真朱氏原书，佚而复出，可憙之至矣。同郡中学人请鸠工，以朝鲜原刻本缩版影刊，并其末所载杨辉海岛算法一番，亦为坿列，闲有鱼豕，悉仍其旧，但各标□于误字旁，别记刊误于卷末，示不诬也。罗君又以为此书七证之外，兼有四奇。昔盛德璋太仆仪𬤥嘉靖惟扬志及此书原序，结尾署惟扬学算赵城元镇。惟扬二字相同。或疑元至正二十二年壬寅，始改扬州为维扬府，在此书大德三年后，其时不应有惟扬之称，且惟与维字又各异，不知宋宝祐志已据禹贡淮海惟扬州作惟扬矣。见嘉靖志注。至惟、维皆助语辞，古本通用。韵会谓毛诗助辞多用维，书及论语则用惟。是赵为吾乡人无疑，当元大德时，曾为朱氏刻梓二书。今吾乡扬州从事于斯者，正复云集，遗泽未湮二书，又先后为吾乡人所校核刊行，其奇者一也。赵序谓将见拔茅连茹，以备清朝之选，在大德时，不过寻常颂语，而竟为我天朝预兆，其奇者二也。此书成于大德己亥七月既望，乃历今五百四十年，计都中寄此书到扬州年月日悉符，其奇者三也。元于嘉庆之初得玉鉴，今于道光十九年予告归惟扬，又见启蒙，且目见罗君等算斠刊刻，乐观厥成，其奇者四也。至于库务解税、折变互差二门，有中统、至元时市廛曰用及市舶司之税价，尤足以资元初交易之考证焉。大清道光十九年己亥九月，扬州予告，大学士、太子太保、在籍食俸阮元序 [book_title]算学启蒙序 尝观水一也，散则千流万泒；木一也，散则千条万枝；数一也，散则千变万化。老子曰：数者一也。道之所生，生于一，数之所成，成于九。昔者黄帝氏定三数为十等，九章之名立焉。周公制礼，作为九数，九数之流，九章是已。夫算乃六艺之一，周之宾贤能教国子，此九数也。历代沿袭，设科取士。魏、唐间，算学尢专，如刘徽之注九章，续撰重羌，淳风之解十经，发明补问，博综精微，一时独步。自时厥后，科目既废，算法罕传，信如是也，则计租庸调，何术可凭？步数畸残，若为销豁，米榖正耗，何由剖析？是犹舍重句而欲测海，去寸木而欲量天，多见其不知量也。燕山松庭朱君，笃学九章，旁通诸术，于寥寥绝响之余，出意编撰算书三卷，分二十门，立二百五十九问，细草备辞，置图折体，训为算学启蒙。其于会计、租庸、田畴经界、盈朏、隐互、正负、方程、开方之类，已足。以贯通古今，发明后学。卷末一门，立天元一算，包罗策数，靡有子遗。明天地之变通，演阴阳之消长，能穷未明之明，克尽不解之解，索数隐微，莫过乎此。是书一出，允为算法之标准，四方之学者归焉，将见拔茅连茹，以备清朝之选云。大德己亥七月既望，惟扬学算赵城亢镇序。 [book_title]新编算学启蒙卷中 松庭朱世杰编撰 田亩形段门十六问 今有方田一段，自方九十六步，问为田几何？ 答曰：三十八亩四分。 术曰：列九十六步，自乘，得九千二百一十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。 今有直田一段，长四十九步，阔二十四步，问为田几何？ 答曰：四亩九分。 术曰：列长四十九步，以阔二十四步乘之，得一千一百七十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。 今有勾股田一段，勾三十六步，即阔。股六十二步，即长。问为田几何？ 答曰：四亩六分五厘。 术曰：列股六十二步，以勾三十六步乘之，折半，得一千一百一十六步，为田积也，以亩法而一，合问。 今有梯田一段，东阔四十六步，西阔八十六步，长一百二十五步，问为田几何？ 答曰：三十四亩三分七厘半。 术曰：列东阔并入西阔，半之，得六十六步，为停阔，以长步乘之，得八千二百五十，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圭田一段，长九十三步，阔三十四步，问为田几何？ 答曰：六亩五分八厘七毫半。 术曰：列长九十三步，以阔三十四步乘之，折半得一千五百八十一，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圆田一段，周八十四步，径二十八步，问为田几何？ 答曰：二亩四分五厘。 术曰：列周八十四步，以径二十八步乘之，得二千三百五十二，以四而一，得五百八十八，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圆田一段，不记周步，只云径一十六步，问为田几何？ 答曰：八分。 术曰：列径一十六步，自乘，得二百五十六，三之四而一，得一百九十二，为田积。步，以亩法除之，合问。 今有圆田一段，不记径步，只云周五十四步，问为田几何？ 答曰：一亩一厘二毫半。 术曰：列周五十四步，自乘，得二千九百二十六，以十二而二，得二百四十三步，为田积也，以亩法而一，合问。 今有皖田一段，下周六十四步，径三十三步，问为田几何？ 答曰：二亩二分。 术曰：列周六十四步，以径三十三步乘之，得二千一百一十二，以四而一，得五百二十八，为田积步，以亩法二百四十步除之，皖田、窊田同圆田，法，一也。合问。 今有弧田一段，矢阔一十四步，弦长二十八步，问为田几何？ 答曰：一亩二分二厘半。 术曰：列弦长二十八步，加入矢阔一十四步，共得四十二步，以矢阔一十四步乘之，折半，得二百九十四步，为田积也，以亩法二百四十步约之，合问。 今有钱田一段，外周一百八步，内池方九步，问为田几何？ 答曰：三亩七分一厘二毫半。 术曰：列外周自乘，得一万一千六百六十四，以十二除之，得九百七十二步，寄位。又列池方九步，自乘，得八十一，以减寄位，余八百九十一，为田积步，以亩法二百四十步约之，合问。 今有方田一段，自方八十四步，内有圆池，周一百四十四步，问为田几何？ 答曰：二十二亩二分。 术曰：列八十四步自乘，得七千五十六步，寄位。又列池周步自乘，得二万七百三十六，以十二而一，得一千七百二十八步，为池积，以减寄位，余五千三百二十八，为田积步，以亩法除之，合问。 今有三斜田一段，大斜七十五步，中斜六十步，小斜四十五步，中股长三十六步，问为田几何？ 答曰：五亩六分二厘半。 术曰：列大斜七十五步，以中股长三十六步乘之，得二千七百步，折半得一千三百五十，为田积步，以亩法而一，合问。 今有梭田一段，中阔三十四步，长一百八十六步，问为田几何？ 答曰：一十三亩一分七厘半。 术曰：列中阔折半，得一十七步，以长一百八十六步乘之，得三千一百六十二，为田积步，以亩法而一，合问。 今有方五斜七八角田一段，只云每面阔二十八步，问为田几何？ 答曰：一十六亩。 术曰：副置阔二十八步，上位六之为长，下位倍之为广，乃长广相乘，得九千四百八步，乃是二个四分半积。以二个四分半除之，得三千八百四十，为田积步，以亩法二百四十步除之，合问。 今有环田一段，外周一百四十四步，内周五十四步，实径一十五步，问为古徽、密率田各几何？ 答曰：古法六亩一分八厘七毫半。徽术五亩九分二步，一百五十七，分步之一百二十四。密率五亩九分一步。 二十二分步之十。 古法曰：并内外周折半，得九十九步，以实径一十五步乘之，得一千四百八十五，为田积步，以亩法除之，合问徽。 术曰：内外周相减，余半之，得四十五步，又五十乘之，以一百五十七而一，得一十四步一百五十七分步之五十二，为徽径也。通分内子得二千二百五十，于上位，并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得二十二万二千七百五十，以分母一百五十七而一，得一千四百一十八步一百五十七分步之一百二十四，为田积也，以亩法除之，合问。密率曰：内外周相减，余半之，得四十五步，七之得三百一十五，以二十二而一。得一十四步二十二分步之七，为密径也。通分内子得三百一十五，于上位，亦并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得三万一千一百八十五，以二十二而一，得一千四百一十七步二十二分步之一十一，为田积也。以亩法除之，合问。 仓囤积粟门九问 今有仓一所，长三丈八尺，阔一丈二尺五寸，深一丈六尺四寸，问粟几何？ 答曰：三千一百一十六斛。 术曰：列长三丈八尺，以阔乘之，得四百七十五，又以深乘之，得七千七百九十，为积尺也。以斛法二尺五寸约之，此依唐时斛法，以今斛考之，有异绿各朝代尺法不同，不可为定法也。合问。 今有平地聚粟，下周三丈六尺，高八尺六寸，问粟几何？ 答曰：一百二十三斛八斗四升。 术曰：列下周自乘，得一千二百九十六尺，以高乘之，得一万一千一百四十五尺六寸，以三十六除之，得三百九尺六寸，为积也。以斛法约之，合问。今有仓一所，自方二丈四尺，深一丈，问粟几何？答曰：二千三百四斛。术曰：列方尺自乘，得五百七十六尺，又以深乘之，得五千七百六十尺，为积也。以斛法约之，合问。今有倚壁聚粟，下周一丈八尺，高八尺四寸，问粟几何？答曰：六十斛四斗八升。 术曰：列下周自乘，得三百二十四尺，又以高乘之，得二千七百二十一尺六寸，以十八而一，得一百五十一尺二寸，为积也。以斛法约之，合问。 今有内角聚粟，下周九尺六寸，高六尺二寸，问粟几何？ 答曰：二十五斛三斗九升五合二勺。 术曰：列下周自乘，得九十二尺一寸六分，又以高乘之，得五百七十一尺三寸九分二厘，以九而一，得六十三尺四寸八分八厘，为积也。以斛法约之，合问。 今有圆囤一所，周一丈九尺，高八尺七寸，问粟几何？ 答曰：一百四斛六斗九升。 术曰：列周自乘，得三百六十一尺，又以高乘之，得三千一百四十尺七寸，以圆法十二而一，得二百六十一尺七寸二分半，为积也。以斛法约之，合问。 今有方仓一所，上方四尺，下方六尺，高一丈二尺，问粟几何？答曰：一百二十一硕六斗。 术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，得七十六尺，以高乘之，得九百一十二尺，三而一，得三百四尺，为积也。以斛法约之，合问。今有圆囤一所，上周三丈六尺，下周七丈二尺，高二丈，问粟几何？答曰：二千一十六斛。术曰：上周自乘，下周亦自乘，又上下周相乘，三位并之，得九千七十二尺，以高乘之，得一十八万一千四百四十，以三十六而一，得五千四十尺，以斛法约之，合问。 今有粟一百四硕六斗九升，欲作圆囤贮之，满中而粟适尽，令高八尺七寸，问周几何？答曰：一丈九尺。 术曰：列米，以斛法二尺五寸乘之，又以十二乘之，得三千一百四十尺七寸，以高八尺七寸除之，得三百六十一，为实，以一为廉法，平方开之，得周，合问。 双据互换门六问 今有织匠二十四人，一百九十二日，织锦一千一百五十二匹，欲令六十二人织三百六十曰。问织锦几何？答曰：五千五百八十匹。 术曰：列三百六十日，以六十二人乘之，又以织锦匹数乘之，得二千五百七十一万二千六百四十，为实。列一百九十二日，以二十四人乘之，得四千六百八为法，实如法而一，合问。今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，欲令三十一人织二千七百九十匹，问几日？毕？答曰：一百八十日。术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。五百七十六匹，以三十一人乘之，得一万七千八百五十六，为法，实如法而一，合问。 今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，今一百八十日织二千七百九十匹，问织匠几何？ 答曰：三十一人。 术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。一百八十日，以五百七十六匹乘之，得一十万三千六百八十为法，实如法而一，合问。 今有盐丁九人，七日煎盐五十五引五十斤，今增一百八十五人煎四十八日，问得盐几何？ 答曰：八千一百四十八引。 术曰：列一百八十五人，答入九人，得一百九十四人，以四十八日乘之，又以五十五引一分二厘半乘之，引下分者，乃四百斤约之。得五十一万三千三百二十四，为实。列九人，以七日乘之，得六十三，为法，实如法而一，合问。 今有船载物，装重五百斤，行路八十里，脚钱一百五十文。今载八万六千斤，欲行三千四百里，问与脚钱几何？答曰：一千九十六贯五百文。 术曰：列八万六千斤，以三千四百里乘之，又以一百五十文乘之，得四百三十八亿六千万，为实。又列五百斤，以八十里乘之，得四万为法，实如法而一，合问。双据互换之法，学者少识所乘所除之理。前问织锦三术，返复还源备矣。此问与前盐义同，而今有之，及雇车行道相类也，故引草证，使习算者无疑矣。 今有黍一硕五斗，变米八斗四升，每米四斗五升，造酒七斗八升。今欲造酒二十五硕七斗七十五分斗之一十七。问用黍几何？ 答曰：二十六硕五斗。 术曰：列二十五硕七斗，通分内子一十七，得一万九干二百九十二，以一硕五斗乘之，又以四。斗五升乘之，得一百三十万二千二百一十，为实。列米八斗四升，以酒七斗八升乘之，又以分母七十五乘之，得四千九百一十四，为法，实如法而一，合问 求差分和门九问 今有鸡、兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四。问鸡、兔各几何？ 答曰：鸡六十四只，兔三十六个。 术曰：列一百，以兔足乘之，得数，内减共足，余一百二十八为实。列鸡、兔足，以少减多，余二为法，而一，得鸡，反减一百，即兔合问。 又术曰：倍一百，以减共足，余半之，即兔也。 今有钱二十九贯六百八十七文五分，共买蜜蜡一百四十六斤六两，只云蜡斤价三百八十文，蜜斤价六十八文。问各几何？ 答曰：蜜八十三斤二两，蜡六十三斤四两。 术曰：列蜜蜡共数，斤下留两，以蜡斤价乘之，得五十五贯六百二十二文五分，内减今有钱，余二十五贯九百三十五文，为实。列蜜蜡斤价相减，余三百一十二文，为法，实如法而一，得蜜斤下分者身外，加六为两，反减共数，余即蜡也。合问。 今有粟米一十七硕三升，直钱一十九贯四百三文。只云：粟斗价七十五文，米斗价一百六十四文。问各几何？ 答曰：米七硕四斗五升，粟九硕五斗八升。 术曰：列粟米共数，以粟斗价乘之，得一十二贯七百七十二文五分，以减直钱，余六贯六百三十文五分，为实。列粟米斗价相减，余八十九文为法，实如法而一，得米，反减共数，余即粟也。合问： 今有金瓶一十二只，银瓶一十五只，秤之重适等，交换一只，有秤之金轻五两七钱半。问二色各一重几何？ 答曰：金瓶一只，重二十八两七钱半；银瓶一只，重二十三两。 术曰：副置五两七钱半，上位十五乘之，下位十二乘之，各自为实，列金、银瓶，以少减多，余三只为法，各实如法而一，上为金瓶重，下为银瓶重。合问：今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文。问二色尺价各几何？答曰：罗尺价一百六十二文，绫尺价一百二十六文。术曰：置绫九尺，以三十六文乘之，得三百二十四文，为实。列绫、罗尺数相减，余二尺，为法实如法而一，得罗尺价，内减不及，余即绫尺价也。合问。 今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何？日追及之。 答曰：二十日。 术曰：列一十二日，以一百五十里乘之，得一千八百里。为实，列良、驽马日行里数相减，余九十里，为法，实如法而一。合问。 今有金银一百铤，直钱一千七百二贯七百五十文。只云金一铤之价，买银七铤，二色两价差七百五十文。问金银及两价各几何？铤率各五十两。 答曰：金二十八铤三十七两，每两价钱八百七十五文。银七十一铤，一十三两。 每两价钱一百二十五文 术曰：列银七铤，以铤率通之，得三百五十两，以差七百五十乘之，得二十六万二千五百，为实，以三百两为法，实如法而一，得金两价也。为法之数，乃银三百五十两，内减金五十，而余数也。内减。差，即银两价。又列一百铤通两，以金两价乘之，得数，内减直钱，余二千六百七十二贯二百五十文，为差实，以差七百五十文为法，除之，得银两数，反减五千两，余，即金两数也。各以铤率约之。合问。 今有油一秤，二斤三两半，欲点醮灯，只云四盏用油三两，三瓯用油五两，须令盏数倍之瓯数。问瓯、盏及油各几何？ 答曰：瓯八十七只，油九斤一两。盏一百七十四只。 油八斤二两半。 术曰：依三两五两。左行互乘右行，左上倍之，得图布算四盏，三瓯。一十八，左下得二十，并之得三十八，为法，左行相乘，得十二，为乘法。列共油通两内子，得二百七十五两半，以十二乘之，得三千三百六，为实，实如法而一，得瓯数，倍之，为盏数也。求油者，以异乘同除求之。合问。 今有竹七节，下二节容米三升，上三节容米二升。问中二节及逐节各容几何？ 答曰：下初一升，二十七分升之十六；次一升，二十七分升之十一，次一升，二十七分升之六，次一升，二十七分升之一，次二十七分升之二十三，次二十七分升之十八，次二十七分升之十三。 术曰：依三升，二升。左行互乘右行，得数，以少减图布算二节三节。多余五，为差实，乃逐节差数也。分母相乘，得六，为乘法，又并三节、二节，半之，得二节半，以减七节，余四节半，以分母六乘之，得二十七，为法，乃一升之分母。实如法而一，得一升，即衰相去也。列二十七，以三升乘之，得八十一，加差五得八十六，半之，得一升二十七分升之十六，乃是下初节所容之数，递减逐节差，即得。合问。 差分均配门十问 今有甲、乙、丙共分息钱四十五贯三十六文。甲元钱五十八贯，乙元钱四十五贯，丙元钱三十六贯。问各分息。钱几何？ 答曰：甲一十八贯七百九十二文，乙一十四贯五百八十文，丙一十一贯六百六十四文。 术曰：列甲元钱五十八贯，以息钱四十五贯三十六文乘之，得二千六百一十二贯八十八文；又列乙元钱四十五贯，以四十五贯三十六文乘之，得二千二十六贯六百二十文。又列丙元钱三十六贯，亦以四十五贯三十六文乘之，得一千六百二十一贯二百九十六文。各为列实，并各人元钱共得一百三十九贯，为法，实如法而一，各得分钱之数。合问： 今有甲、乙、丙出丝织罗五十四匹二丈四尺。甲丝九斤八两，乙丝八斤一十两，丙丝七斤六两。问各分罗几何？匹法一十六尺。答曰：甲二十匹一丈二尺，乙一十八匹一丈五尺，丙一十五匹二丈三尺。术曰：置罗全匹通尺内子，得一千四百二十八丈，各以元丝通两内子乘之，甲得二十一万七千五十六，乙得一十九万七千六十四，丙得一十六万八千五百四，各为列实，并各人丝得四百八两，为法，各实如法而一，即得。各以匹法约之，合问： 今有甲、乙、丙共分米三十三硕八升，须令甲四乙三丙一分之，问各几何？ 答曰：甲一十六硕五斗四升，乙一十二硕四斗五合，丙四硕一斗三升五合。 术曰：各以分率乘共米，甲得一千三百二十三分二厘，乙得九百九十二分四厘，丙得三百三十分八厘，各为列实，并各人分率得八，为法，各实如法而一，得合问。 今有甲、乙、丙共分钱七十一贯九百文，只云乙如甲五分之三，却多如丙钱一贯八百文。问各得几何？ 答曰：甲三十三贯五百文，乙二十贯一百文，丙一十八贯三百文。 术曰：列共分钱内虚，加一贯八百，得七十三贯七百，为实，并各人分率得一十一，为法，而一，得六贯七百，为一分之率。副置上位，五之，得甲钱，下位三之，得乙钱。乙钱内减一贯八百，余即丙钱。合问。 今有甲、乙、丙相合查盐，甲三千六百五十引，乙二千一百五十引，丙一千九百五十引。今盐不敷，止查得四千六百五十引，问各人分盐几何？ 答曰：甲二千一百九十引，己一干二百九十引，丙一千二百七十引。 术曰：各列元引，以止查盐数乘之，甲得一千六百九十七万二千五百，乙得九百九十九万七千五百，丙得九百六万七千五百，各为列实，并各人元引得七千七百五十，为法，各实如法而一，合问： 今有银一秤，一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问各得几何？ 答曰：甲一百五十二两，乙七十六两，丙三十八两。 术日：置银通两，内子得二百六十六两，为实，并各人分数得七为法，实如法而一，得丙银，倍之为乙银，又倍即甲银。合问： 今有甲、乙、丙、丁分丝五百四十四斤，从上作四六差分之，问各得几何？ 答曰：甲二百五十斤，乙一百五十斤，丙九十斤，丁五十四斤。 术曰：置甲率一千，以六因之，得六百，为乙率，又六因得三百六十，为丙率，又六因得二百一十六，为丁率。四位共并，得二千一百七十六，为法，列共丝通两，以一千乘之，得八百七十万四千，为实，实如法而一，得四千两，为甲丝，六之得乙丝二千四百两。又六之，得丙丝一千四百四十两，又六之，得丁丝八百六十四两，各斤率约之，合问。 今有官䌷丝四千八百六十斤，欲织西锦，令甲、乙、丙、丁、戊、己六局，从上作二八差分之，其锦每匹用丝二斤四两。问分丝织锦各几何？匹法三十二尺。 答曰：丝一千三百一十七斤，四百二十七分 甲斤之一百四十一。锦五百八十五匹一丈五尺；四百二十七，分尺之一百五十五。丝一千五十三斤， 四百二十七分斤之三百。 乙六十九。锦四百六十八匹一丈二尺；四百二十七，分尺之一百二十四。丝八百四十三斤， 四百二十七分斤之三十。 丙九。锦三百七十四匹二丈二尺；四百十七，分尺之二百七十。丝六百七十四斤， 四百二十七分斤之二百。 丁二，锦二百九十九匹二丈四尺；四百二十七，分尺之二百一十六。丝五百三十九斤， 四百二十七分斤之二百。 戊四十七。锦二百三十九匹二丈六尺；四百二十七分尺之二。丝四百三十一斤， 四百二十七，分斤之二百。 己八十三。锦一百九十一匹二丈七尺 四百二十七，分尺之八十七。 术曰：置甲率一十万，乙率八万，丙率六万四千，丁率五万一千二百，戊率四万九百六十，己率三万二千七百六十八，为差，副并得三十六万八千九百二十八，为法，以丝四千八百六十斤乘未并者，甲得四亿八千六百万，乙得三亿八千八百八十万，丙得三亿一千一百四万，丁得二亿四千八百八十三万二千，戊得一亿九千九百六万五千六百，已得一亿五千九百二十五万二千四百八十，各为列实。各实如法而一。不满法者，各以八百六十四约之，各得分丝之数也。 求锦者，置二斤通两内子，得三十六两，以分母四百二十七乘之，得一万五千三百七十二，为法。各列丝通分内子得数，各以十六乘之，甲得九百万，乙得七百二十万，丙得五百七十六万，丁得四百六十万八千，戊得三百六十八万六千四百，已得二百九十四万九千一百二十，各自为实实。如法而一，得匹。实不满法，以匹法三十二乘之，如前法而一，得尺。不满法者，各以三十六约之，合问。 今有某州所管九等税户，甲等三百六十四户，乙等三百九十六户，丙等四百三十二户，丁等五百七十户，戊等五百八十四户，己等六百七十六户，庚等八百五十户，辛等九百二十户，壬等一千六百八户，今科粮六万五千六百六十四硕，今作等数，各差一硕六斗配之。问：每户及逐等各几何？ 答曰：甲每户一十八硕五斗三升二合半，三百六十四户，共六万七千四百五十八斗三升。乙每户一十六硕，九斗三升二合半；三百九十六户，共六万七干五十二斗七升。丙每户一十五硕，三斗三升二合半；四百三十二户，共六万六千二百三十六斗四升。丁每户一十三硕七斗三升二合半；五百七十户，共七万八千二百七十五斗二升半。戊每户一十二硕一斗三升二合半；五百八十四户，共七万八百五十三斗八升。已每户一十硕五斗三升二合半；六百七十六户，共七万千一百一九十九斗七升。庚每户八硕九叫三升二合半，八百五十户，共七万五工九百二十六斗二升半。辛每户七硕三斗三升二合半，九百二十户，共六万七千四百五十九斗。壬每户五硕七斗三升二合半。 一千六百八户，共九万二千一百七十八斗六升。 术曰：列甲等户三百六十四，八之得二千九百一十二，列乙等户三百九十六，七之得二千七百七十二；列丙等户四百三十二，六之得二千五百九十二；列丁等户五百七十，五之得二千八百五十；列戊等户五百八十四，四之得二千三百三十六；列已等户六百七十六，三之得二千二十八；列庚等户八百五十，倍之得一千七百；列辛等户九百二十，以一因之，得九百二十。共并八位，得一万八千一百一十。以差一硕六斗乘之，得二十八万九千七百六十，为抛差，并共户得六千四百，以率户粮一十硕二斗六升乘之，若是均科，每户得一十硕二斗六升也。得六十五万六千六百四十。内减抛差，余三十六万六千八百八十，为实，以共户六千四百为法，实如法而一，得壬等每户之数，各加差一硕六斗，得逐等每户之粮数。求各等共粮者，以各户粮数乘其各等之户，合问。 今有某县配粟一万八百七十硕八升，于上、中下三乡，从上作折半差配之。谓如上乡六硕，中乡三硕，下乡一硕五斗。又上乡三等作九一折，中乡三等作二八折，下乡三等作三七折。上乡上等五十六户，中等七十四户，下等九十八户。中乡上等八十二户，中等一百二十户，下等一百六十户。下乡上等九十五户，中等一百七十二户，下等一百八十户。问三乡九等各粟几何？ 答曰：上乡二百二十八户，共五千二百五十一硕四斗八升。上等每户二十六硕，五十六户，共一千四百五十六硕。中等每户二十三硕四斗；七十四户，共一千七百三十一硕六斗。下等每户二十一硕六升。 九十八曰，共二千六十三硕八斗八升。 中乡三百六十二户共三千六百四十五硕二斗。上等每户一十三硕，八十二户，共一千六十六硕。中等每户一十硕四斗；一百二十户，共一千二百四十八硕。下等每户八硕三斗二升。 一百六十户，共二千三百三十二硕二斗。 下乡四百四十七户，共一千九百七十三硕四斗。上等每户六硕五斗，九十五户，共六百一十七硕五斗。中等每户四硕五斗五升；一百七十二户共七百八十二硕六斗。下等每户三硕一斗八升半百。 八十占，共五百七十三硕三斗。 术曰：列配粟，以一万乘之，得一十亿八千七百万八千，为实，并九等户分数，得四百一十八万八百，为法，实如法而一，得上乡上等每户之数，折半得中乡上等每户之数，又折半得下乡上等每户之数。上乡递用九因，中乡递用八因，下乡递用七因，各得逐等每户之数也。 草曰：先列上乡上等五十六户，以一万乘之，得五十六万。又列中等七十四户，以九千乘之，得六十六万六千。又列下等九十八户，以八千一百乘之，得七十九万三千八百。又列中乡上等八十二户，以五千乘之，得四十一万。又列中等一百二十户，以四千乘之，得四十八万。又列下等一百六十户，以三千二百乘之，得五十一万二千。又列下乡上等九十五户，以二千五百乘之，得二十三万七千五百。又列中等一百七十二户，以一千七百五十乘之，得三十万一千。又列下等一百八十户，以一千二百二十五乘之，得二十二万五百。九位共并，得四百一十八万八百，为法。列配粟一万八百七十硕八升，以一万乘之，得一十亿八干七百万八千，为实。实如法而一，得二十六硕，乃上乡上等每户之数；九因得二十三硕四斗，乃中等每户之数；又九因得二十一硕六升，乃下等每户之数。又列上乡上等每户粟二十六硕，折半得一十三硕，乃中乡上等每户之数，八因得一十硕四斗，乃中等每户之数；又八因得八硕三斗二升，乃下等每户之数。又列中乡上等每五粟一十三硕，折半得六硕五斗，乃下乡上等每户之数；七因得四硕五斗五升，乃中等每户之数；又七因得三硕，一云八升五合，乃下等每户之数。各以每户之率乘其各等之户，即得共粟合问。 商功修筑门十三问 今有穿地积三百六十尺，问为坚壤各几何？ 答曰：坚二百七十尺，壤四百五十尺。 术曰：列三百六十尺，以筑坚三尺因之，得一千八十尺，以穿地四尺除之，得二百七十尺，为坚也。又列三百六十尺，以壤五尺因之，得一千八百尺，亦以穿地四尺除之，得壤也。合问。 今有城高四丈六尺，下广三丈六尺，上广一丈八尺，袤六十四里，问积几何？ 答曰：一亿四千三百七万八千四。百尺。 术曰：并上下广而半之，得二十七尺，上下停也。以高四丈六尺乘之，得一千二百四十二尺于上位。又列袤六十四里，以尺里法一千八百通之，得一十一万五千二百尺，以乘上位，得城积尺也。合问。 今有墙，下广四尺，上广三尺，高九尺，袤二里五十步，问积几何？ 答曰：一十二万一千二百七十五尺。 术曰：列下广，并入上广，折半，得三尺五寸，乃上下停阔也。以高九尺乘之，得三十一尺五寸，寄位。又列袤二里，以三百六十步通之，内子得七百七十步，以五尺因之，得三千八百五十尺，以乘寄位，得墙积尺也。合问。 今有垣积六万八千八百八十六尺，只云上广二尺二寸，下广三尺八寸，袤一里一百四十五步。问高几何？ 答曰：八尺六寸。 术曰：置积为实，列袤一里，以古法三百步通之，内子得四百四十五步，又以步尺法六因之，得二千六百七十尺，为法，实如法而一，得二十五尺八寸。又并上下广折半，得三尺，除之，即高。合问。 今要开河，下广一丈八尺七寸，上广二丈六尺三寸，深一丈五尺，袤三十六里二百八十五步。春程人功五百九十八尺，除出土功七分之二。问用徒几何？ 答曰：五万二千五百五十一人。五百九十八分人之四百七十七 术曰：列程功五百九十八尺，五之，七而一，得定功四百二十七尺，七分尺之一也。并上下广而半之，得二丈二尺五寸，以深一丈五尺乘之，得三百。三十七尺五寸，寄位。列袤三十六里，以古法三百步通之，内子得一万一千八十五步，六之通尺，得六万六千五百二十尺，以乘寄位得。二千二百。四十四万七千一百二十五尺，为河积也。以分母七之，得一亿五千七百一十二万九千八百七十五为实，又列定功四百二十七尺，通分内子，得二千九百九十，为法，实如法而一，不满法者，各以五约之，合问。 今要筑堤，上广六尺四寸，下广一丈五尺六寸，高六尺，袤三里七十四步，冬程人功三百六十四尺，问共用徒几何？ 答曰：一千五十九人。九十一，分人之五十七。 术曰：并两广而半之，得一丈一尺，为停阔也。以高六尺乘之，得六十六尺于上位。又列袤三里，以古法三百步通之，内子得九百七十四步，又以尺法六因之，得五千八百四十四尺，以乘上位，得三十八万五千七百四尺，为堤积也。以人功三百六十四尺为法，实如法而一，不满法者，各以四约之，即得。合问。 今有方堡𭎜，自方二十四尺，高二丈一尺，问积尺几何？ 答曰：一万二千九十六尺。 术曰：列方二十四尺，自乘，得五百七十六尺，又以高二丈一尺乘之，得一万二千九十六尺，为积也。合问。 今有圆堡𭎜周三丈七尺，高一丈四尺，问积尺几何？ 答曰：一千五百九十七尺。六分尺之一。 术曰：列周三丈七尺，自乘，得一千三百六十九尺，又以高一丈四尺乘之，得一万九千一百六十六尺。以圆法十二而一，不满法者各半之，合问。 今有方亭台一所，上方二丈八尺，下方三丈二尺，高四丈六尺，问积尺几何？ 答曰：四万一千四百六十一尺。少半尺。 术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，共得二千七百四尺，又以高四丈六尺乘之，得一十二万四千三百八十四尺，以三而一，不满法者命之，合问。 今有圆亭台一所，下周四丈二尺，上周二丈九尺，高三丈八尺，问积几何？ 答曰：四千三十五尺一十八分尺之七。 术曰：下周自乘上周，亦自乘，又上下周相乘，三位并之。共得三千八百二十三尺，又以高三丈八尺乘之，得一十四万五千二百七十四尺，以三十六而一，不满法者各半之，合问。 今有方锥，下方二丈五尺，高二丈八尺，问积尺几何？ 答曰：五千八百三十三尺。少半尺。 术曰：列下方二丈五尺，自乘，得六百二十五尺，又以高二丈八尺乘之，得一万七千五百尺，以三而一，不满法者命之，合问。 今有圆锥，下周五丈四尺，高三丈七尺，问为古、徽、密三积各几何？ 答曰：古积二千九百九十七尺，徽积二千八百六十三尺，一百五十七，分尺之五十九。密积二千八百六十尺。 二十二，分尺之一十七。 古法曰：列下周五丈四尺，自乘，得二千九百一十六尺，以高三丈七尺乘之，得一十万七千八百九十二尺，为实，以三十六为法，实如法而一，得古积。合问徽。 术曰：下周自乘，又高乘之，又以二十五乘之，得二百六十九万七千三百，为实，以九百四十二为法，实如法而一，为法数者，乃圆法十二乘半，徽周七十八分半，故为法也。不满法者，各以六约之，得徽积。合问。 密术曰：下周自乘，又高乘之，又以七因之，得七十五万五千二百四十四，为实，以二百六十四为法，实如法而一，为法之数，乃圆法十二乘，密周二十二，故为法。不满法者，各以十二约之，合问。 今欲筑圆城一座，内周二十六里二百一十九步，厚三步半，除水门四处，各阔四步，旱门四处各阔二步四尺。只云从城外边每二步二尺安ru头三枚。问共安ru头几何？里步尺率，各依古法。 答曰：一万三百二枚。七分枚之六。 术曰：列内周通里内子，得八千一十九步。于上位倍厚步三之，加上位，以六尺因之。得四万八千二百四十尺。乃城外周之数。寄位列水门阔四步，六之，又四之，得九十六尺，以减寄位。又列旱门阔二步，以六因之，内子四，又四之，得六十四尺，又减寄位，余四万八千八十尺，乃城外周合安ru头之数。三之得一十四万四千二百四十，为实，又列二步六之，内子二，得一十四尺，为法，实如法而一，不满法者各半之，合问。 贵贱反率门八问 今有钱三百四十五文，共买檀乳香一百四十两，只云乳香两价贵如檀香两价一文。问二色各几何？ 答曰：檀香七十五两，两价二文。乳香六十五两。 两价三文。 术曰：列钱数为实，以一百四十两为法，实如法而一，得二文，乃檀香两价，加一文，即乳香两价。余实六十五，为乳香数也。反减下法，余七十五，即檀香数也。合问。按此其率者以钱为实物为法实如法而一所得为贱率价加一文即贵率价余实则贵物数反减下法余法为贱物数也其积铢当以石钧秤斤两铢法约之其反率者以物为实钱为法，实，如法而二，所得为贵物，加一即贱物；不满法者，余实则化为钱，乃贱价也。反减下法，余法为贵价，余实、余法相并，得共钱也。 今有钱八百四十文，买核桃七千二百九十枚，欲其贵贱率之，问各几何？ 答曰：其二千一百六十枚，八枚直钱一文。其五千一百三十枚。 九枚直钱一文。 术曰：列核桃为实，以钱八百四十为法，实如法而一，得八枚直钱一文，就加一枚，乃九枚直钱一文。余实五百七十，反减下法，余二百七十八之，得贵物数；其不尽五百七十九之，得贱物数。合问。 今有钱一十六贯五百文，买漆一石三钧，一秤四斤五两六铢，欲其贵贱石率之，问各几何？ 答曰：其一石三钧四两一十八铢，石价八千六百三十四文。其一秤四斤一十二铢。 石价八千六百三十三文。 术曰：列漆通铢，得八万八千六十二，为法，列钱以四万六千八十乘之，得七亿六千三十二万，为实，实如法而一，得八千六百三十三文，为贱石价，加一文，即贵石价。不尽八万七百五十四，反减下法，余七千三。百八，以秤斤铢法除之，得一秤四斤一十二铢，为贱数。其不尽八万七百五十四，以石钧两铢法除之，得贵数。合问。 今有钱二十五贯三百文，买丝二石二钧一秤三斤四两八铢，欲其贵贱钧率之，问各几何？ 答曰：其二石二斤五两八铢，钧价二贯三百八十五文。其二钧一秤一十五两。 钧价二贯三百八十四文。 术曰：列钱以一万一千五百二十乘之，得二亿九千一百四十五万六千，为实，列丝通铢得一十二万二千二百一十六，为法，实如法而一，得二千三百八十四，为贱钧价，内加一文，即贵钧价。不尽九万三千五十六，反减下法，余二万九千一百六十，以钧秤两铢法除之，得二钧一秤一十五两，为贱数。其不尽九万三千五十六，以石斤两铢法除之，得二石二斤五两八铢，即贵数。合问。 今有钱一百贯，买胡椒二十七石一钧一秤三斤一十二两一十八铢，欲其贵贱，秤率之，问得几何？ 答曰：其二石二钧八斤一十两，秤价四百五十七文。其二十四石三钧一十斤二两一十八铢。 秤价四百五十六文。 术曰：列椒通铢得一百二十六万二千八百九十八为法，列钱以五千七百六十乘之，得五亿七千六百，为实，实如法而一，得四百五十六文，为贱秤价内加一文，即贵秤价。不尽一十一万八千五百一十二，反减下法，余一百一十四万四千三百八十六，以石钧斤两铢法除之，得二十四石三钧一十斤二两一十八铢，为贱数。其不尽一十一万八千五百一十二，以石钧斤两铢法除之，得二石二钧八斤一十两，即贵数。合问： 今有钱二百五十贯，买桂花一十二石三钧一秤一十三斤九两四铢，欲其贵贱斤率之，问各几何？ 答曰：其五石一秤一十三斤五两八铢；斤价一百六十一文。其七石三钧三两二十铢。 斤价一百六十文。 术曰：列钱以三百八十四乘之，得九千六百万为实，列桂花通铢得五十九万八千四百九十二为法，实如法而一，得一百六十文，为贱斤价内加一文，即贵斤价不尽二十四万一千二百八十，反减下法，余三十五万七千二百一十二，以石钧两铢法除之，得七石三钧三两二十铢，为贱数。其不尽二十四万一千二百八十，以石秤斤两铢法除之，得五石一秤一十三斤五两八铢，即贵数。合问。 今有钱三十八贯四百文，买木香一石二钧一十四斤一十四两八铢，欲其贵贱两率，问各几何？ 答曰：其二钧一斤四两，两价一十三文。其一石一十三斤一十两八铢。 两价一十二文 术曰：列术香通铢得七万四千八百四十为法，列钱以二十四乘之，得九十二万一千六百，为实，实如法而一，得一十二文，为贱两价内加一文，即贵两价不尽二万三千五百二十，反减下法，余五万一千三百二十，以石斤两铢法除之，得一石一十三斤一十两八铢，为贱数。其不尽二万三千五百二十，以钧斤两铢法除之，得二钧一斤四两，即贵数。合问。 今有钱二十八贯六百八十文，买黄蜡二石三钧一秤三斤六两八铢，欲其贵贱铢率之，问各几何？ 答曰：其三钧一十斤二两一十六铢；四铢直钱一文。其二石八斤三两一十六铢。 五铢直钱一文。 术曰：列蜡通铢得一十三万三千七百八十四为实，以钱为法，实如法而一，得四铢。直钱一文，乃贵物也，内加一铢，即贱物也；不尽一万九千六十四，乃贱价也。反减下法，余九千六百一十六，即贵价。四之得三万八千四百六十四。以钧斤两铢法约之，得三钧一十斤二两一十六铢。其不尽一万九千六十四，五之得九万五千三百二十，以石斤两铢法除之，得二石八斤三两一十六铢。合问。 新编算学启蒙卷中 [book_title]重刊算学启蒙序 余少也尝留意算学，而东国所传，不过详明等书，浅近之法，如九章六觚微妙之术，鲜有解者，无可质问。岁丁酉居忧，抱病无外事，适得抄本杨辉算书于今金沟县令郑君瀁，又得国初印本算学启蒙于地部会士庆善征，较其同异，究其源流，则杨辉非但字多豕亥，术亦舍易趋艰，不便初学。启蒙，简而且备，实是算家之总要。第其末端二纸，漫弊过半，殆不可辨。今大兴县监任君濬，于术无所不通，一见而解之，手图而补其缺。其后偶得一抄本，雠之，果不差毫牦，于是乎遂为成书而布之不广，虑益久而绝其传，更以杨辉望海岛一章添入卷尾，刊梓而寿之，以遗后之游秇君子云。顺治十七年庚子七月下浣，通政大夫、守全南道观察使兼兵马水军节度使、巡察使、全州府尹金始振识。 乙未校正 [book_title]新编算学启蒙目录 计三卷，共二十门凡二百五十九问 上卷八门一百一十三问 纵横因法门八问 身外加法门十一问 留头乘法门二十问 身外减法门十一问 九归除法门二十九问 异乘同除门八问 库务解税门十一问 折变互差门十五问 中卷七门七十一问 田亩形段门十六问 仓囤积粟门九问 双据互换门六问 求差分和门九问 差分均配门十问 商功修筑门十三问 贵贱反率门八问 下卷五门七十五问 之分齐同门九问 堆积还源门十四问 盈不足术门九问 方程正负门九问 开方释锁门三十四问 新编算学启蒙目录终v [book_title]新编算学启蒙总括 释九数法 一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六，一五如五， 二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五， 一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六，一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九，一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四，一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。 九归除法按古法多用商除，为初学者难入，则后人以此法代之，即非正术也。 一归如一进，九一进成十，二一添作五，逢二进成十，三一三十一，三二六十二，逢三进成十，四一二十一，四二添作五，四三七十二，逢四进成十，五归添一倍，逢五进成十，六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二。逢六进成十，七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进一十，九归随身下，逢九进成十。 斤下留法斤下带两者，当以十六约之，今则就省，以此代之也。 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留单五，九留五六二，五十留六二，五十一留六八七，五十二留七五。十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。 明纵横诀 一纵十横，百立千僵，千十相望。 万百相当，满六已上，五在上方。 六不积聚，五不单张，言十自过。 不满自当。若明此诀，可习九章。 大数之类凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。 一十百、千万、十万、百万、千万、万万曰亿，万万亿曰兆，如前呼之，一亿、十亿、百亿、干亿、万亿、十万亿、百万亿、千万亿、万万亿曰垂是也。后仿此。夏不繁说。万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙；万万恒河沙曰阿僧祗；万万阿僧祇曰那由他。万万那由他曰不可思议；万万不可思议曰无量数。 小数之类凡数之小者，视之无形，取之无像，数亦不能尽，故谓之小数也。 一分厘、毫、丝、忽、微、纤沙万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万以曰埃。万万漠曰渺，万万糢糊曰漠。万万逡巡曰糢糊。万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指。万万六德曰刹邦，万万虚曰六德，万万空曰虚。万万清曰空，万万净曰清。千万净、百万净、十万净、万净、千净、百净、十净、一净。 求诸率类 两求铢二十四乘，铢求两二十四除。斤求两身外加六，两求斤身外减六。 秤求斤身外加五，斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘，据钱买物而用除。 斛斗起率 量起于圭，六粒之粟。十圭谓之一撮。十撮谓之一抄，十抄谓之一勺。 十勺谓之一合，十合谓之一升。十升谓之一斗，十斗谓之一斛。 斤秤起率 衡起于黍，形大如粟。十黍谓之一絫。十絫谓之一铢，六铢谓之一分。 四分谓之一两，十六两谓一斤。十五斤谓一秤，三十斤谓一钧。 四钧谓之一硕。重一百二十斤。 端匹起率 度起于忽，蚕吐之丝。十忽谓之一丝。十丝谓之一毫，十毫谓之一厘。 十厘谓之一分，十分谓之一寸。十寸谓之一尺，十尺谓之一丈。 匹率或三二，或二丈，丈四。端率 或五丈五，或四丈八。 田亩起率 田起于忽，阔一寸，长六寸。十忽谓之一丝。十丝谓之一毫，门毫谓之一厘。 十厘谓之一分，十分谓之一亩。百亩谓之一顷，三百步谓二里。 按亩法阔一步长二百四十步当自方五尺为步也其里法三百步为里者当自方六尺为步若三百六十步为里者当以自方五尺为步也 古法圆率 周三尺，径一尺。 刘徽新术刘徽乃魏人也，立此新术，以究圆之幽微。 周一百五十七尺，径五十尺。 冲之密率冲之姓祖，乃宋南徐州从事史，立此密率，亦究圆之微也。 周二十二尺，径七尺。 明异名诀此乃刻漏之数，以巧呼之。 二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。 明正负术 其同名相减，则异名相加。正无人负之，负无人正之。 其异名相减，则同名相加。正无人正之，负无人负之。 按九章注云：两算得失相返，要令正负以名之。正算赤，负算黑，不则以邪正为异。其无人者为无对也；无所得减，则使消夺者居位也，人作入非。 明乘除段 长平相并曰和，长平相减曰较。长平相乘曰积，自相乘之曰幂，同名相乘为正，异名相乘为负，平除长为小长，长除平为小平，小长平相并曰小和、小长平相减，余小较、小长平相乘，得一步，为小积。 明开方法 置积为实，及方、廉、隅同加异减开之。 [book_title]新编算学启蒙卷上 松庭朱世杰编撰 纵横因法门八问 此法从来向上因，但言十者过其身。呼如本位须当作，知算纵横数目真。 今有粟二百一十六斗，每斗价钱二文，问计钱几何？ 答曰：四百三十二文。 今有丝一百四十四两，每两价钱三百文。问计钱几何？ 答曰：四十三贯二百文。 今有羊三百五十四只，每售价钱四贯文。问计钱几何？ 答曰：一千四百一十六贯。 今有银五百四十七铤，每铤重五十两。问为两几何？ 答曰：二万七千三百五十两。 今有绢七百三十六匹，每匹价钱六贯文。问计钱几何？ 答曰：四千四百一十六贯。 今有麻八百九十二秤，每秤价钱七百文。问计钱几何？ 答曰：六百二十四贯四百文。 今有布六百三十四尺，每尺价钱八十文。问计钱几何？ 答曰：五十贯七百二十文。 今有马四百二十五匹，每匹价钱九十贯。问计钱几何？ 答曰：三万八千二百五十贯。 术曰：列物数在上，各以价钱从上因之，即得合前问。 身外加法门十一问 算中加法最堪夸，言十之时就位加，但遇呼如身下列，君从法式定无差。 今有米六硕八斗四升，每斗价钱一百一十文。问计钱几何？ 答曰：七贯五百二十四文。 今有罗三十四尺六寸，每尺价钱一百二十文。问计钱几何？ 答曰：四贯一百五十二文。 今有盐八百七十三袋，每袋价钱一十三贯文。问计钱几何？ 答曰：一万一千三百四十九贯。 今有地三顷二十四亩，每亩纳粮一升四合，问计粮几何？ 答曰：四硕五斗三升六合。 今有木香一百九十八秤，每秤重一十五斤。问为斤几何？ 答曰：二千九百七十斤。 今有黄蜡三千八百五十斤，每斤重一十六两。问为两几何？ 答曰：六万一千六百两。 今有柑子四百三十六枚，每枚价钱一十七文。问计钱几何？ 答曰：七贯四百一十二文。 今有军人三千二百七十名，每名支粮一硕八斗。问计粮几何？ 答曰：五千八百八十六硕。 今有鸡三百四十五只，每只价钱一百九十文。问计钱几何？ 答曰：六十五贯五百五十文。 今有夫匠共五百三十八人，每人支工食钱一百九十四文。问计钱几何？ 答曰：一百四贯三百七十二文。 今有木绵三千二百六十匹，每匹价钱一贯七百五文，问计钱几何？ 答曰：五千五百五十八贯三百文。 术曰：列物数于上，各以价钱依法从下，身外加之，即得。合问。 留头乘法门二十问 留头乘法，别规模起首，先从次位呼言十靠身，如隔位遍临头位破身铺。 今有白豆八十四斛，每斛价钱二百一十文，问计钱几何？ 答曰：一十七贯六百四十文。 术曰：列豆八十四斛于上，以斛价二百一十文乘之，合问。 今有胡椒六十三斤四两，每斤价钱三百八十文，问计钱几何？ 答曰：二十四贯三十五文。 术曰：列椒数斤下留两，得六十三斤二分半于上，以斤价三百八十文乘之，合问。 今有沈香九斤一十二两，每斤价钱四贯五百文，问计钱几何？ 答曰：四十三贯八百七十五文。 术曰：列香数斤下留两，得九斤七分五厘于上，以斤价四贯五百文乘之，合问。 今有绵子二十三斤六两，每两价钱五十四文，问计钱几何？ 答曰：二十贯一百九十六文。 术曰：列绵子二十三斤，身外加六通两，答入六两，共得三百七十四两，于上，以两价五十四文乘之，合问。 今有茴香五秤八斤四两，每斤价钱六十八文，问计钱几何？ 答曰：五贯六百六十一文。 术曰：列五秤，身外，加五通斤，答入八斤四两，斤下两者留之，共得八十三斤二分半，于上，以斤价六十八文乘之，合问。 今有片脑五斤七两一十八铢，每铢直银七厘二毫，问直银几何？ 答曰：一十五两一钱六分三厘二毫。 术曰：列五斤，身外加六通两，内子七得八。十七两，以二十四乘之，得数，加入一十八铢，共得二千一百六铢于上，以七厘二毫乘之，合问。 今有官桂一百八十九裹，每两价钱八十七文，问计钱几何？裹法二斤，四两。 答曰：五百九十一贯九百四十八文。 术曰：列共裹，以里法三十六两乘之，得六千八百四两于上，以两价八十七文乘之，即得合前问。 今有粳米八斗七升四合，每斗换糯米九升一合，问糯米几何？ 答曰：七斗九升五合三勺四抄。 术曰：列粳米共数于上，以九升一合乘之，即得合前问： 今有芝麻六硕八斗四升，每斗压油三斤一十二两，问压油几何？ 答曰：二百五十六斤半。 术曰：列芝麻共数于上，以三斤七分五厘乘之，七分五厘者，乃十二两留数也。合问。 今有小麦五硕九斗二升，每斗磨面六斤一十四两，问磨面几何？ 答曰：四百单七斤。 术曰：列麦数于上，以六斤八分七厘半乘之，八分七厘半者，乃十四两留数。合问。 今有菉豆三十二硕七斗三升，每斗造粉五斤六两，问造粉几何？ 答曰：一千七百五十九斤三两八钱。 术曰：列豆数于上，以五斤三分七厘半乘之。三分七厘半者，乃六两留数也。斤下分者，身外加六为两。合问。 今有甘草九千七百六十五斤一十两，每斤博绢一尺二分四厘，问博绢几何？ 答曰：一万尺。 术曰：列甘草共数，斤下留两于上，以一尺单二分四厘乘之，合问。 今有白檀四千八百八十二斤一十三两，每斤价钱四贯九十六文，问钱几何？答曰：二万贯。 术曰：列白檀共数，斤下留两于上，以四贯九十六文乘之，合问。 今有黍三千六百六十二硕一斗九合三勺七抄五撮，每斗对麦八升一合九勺二抄，问对麦几何？ 答曰：三万斗。 术曰：列共黍于上，以八升一合九勺二抄乘之，合问。 今有粟七万八千一百二十五硕，每斗为御米五升一合二勺，问米几何？ 答曰：四万硕。 术曰：列共粟于上，以五升一合二勺乘之，合前问。 今有降真二十四万四千一百四十斤一十两，每斤直银二钱四厘八毫，问直银几何？ 答曰：五万两。 术曰：列降真共数斤下留两于上，以二钱四厘八毫乘之，合问。 今有盐一千九百二十引，每引换黄蜡三十一斤四两，问换黄蜡几何？ 答曰：六万斤。 术曰：列共盐引数于上，以三十一斤二分半乘之，合问。 今有细丝一千九百五十三斤二两，每斤直银一两一十一铢八絫四黍，问直银几铢？ 答曰：七万铢。 术曰：列细丝共数斤下留两于上，列一两，以二十四铢通之，内子共得三十五铢八絫四黍乘之，合问。 今有黄金一万二千八百两，每两买地六亩二分五厘，问买地几何？ 答曰：八万亩。 术曰：列金数于上，以六亩二分五厘乘之，合前问。 今有田一百五十六顷二十五亩，每亩收稻五斛七斗六升，问收稻几何？ 答曰：九万斛。 术曰：列田亩数于上，以五斛七斗六升乘之，通前之问，还源于除法内，训导初学，务要演熟乘除加减，引而伸之。 身外减法门十二问 减法根源必要知，即同求一一般推，呼如身下须当减，言十从身本位除。 今有钱七贯五百二十四文，欲籴芝麻，每斗价钱一百一十文，问得几何？ 答曰：六硕八斗四升。 今有钱四贯一百五十二文，欲截红绫，每尺价钱一百二十文，问得几何？ 答曰：三十四尺六寸。 今有钱一万一千三百四十九贯，欲买高茶，每引价钱一十三贯文，问得几何？ 答曰：八百七十三引。 今有地，不记亩数，只云每亩纳税粮一升四合，今共纳四硕五斗三升六合。问地几何？ 答曰：三顷二十四亩。 今有栀子二千九百七十斤，每秤重一十五斤。问为秤几何？ 答曰：一百九十八秤。 今有丝六万一千六百两，每斤重一十六两。问为斤几何？ 答曰：三千八百五十斤。 今有钱七贯四百一十二文，欲令一十七人分之。问：人得几何？ 答曰：四百三十六文。 今有粮五千八百八十六硕，欲给贫难，每户一硕八斗。问：户给几何？ 答曰：三千二百七十户。 今有钱六十五贯五百五十文。欲买苧丝，每尺价钱一百九十文。问得苧丝几何？ 答曰：三百四十五尺。 今有钱一百四贯三百七十二文。欲买麻布，每匹价钱一百九十四文。问：买布几何？ 答曰：五百三十八匹。 今有钱五千五百五十八贯三百文。欲买松木，每株价钱一贯七百五文。问买木几何？ 答曰：三千二百六十株。 术曰：列钱物于上为实，各以价钱为法，从上身外减之，即得合。问此术即是求一除法。 九归除法门二十九问 实少法多从法归，实多满法进前居。常存除数专心记，法实相停九十余。但遇无除还头位，然将释九数呼除。流传故泄真消息，求一穿韬总不如。 今有钱四贯三百二十文。欲籴白豆，每斗价钱二十文，问得几何？ 答曰：二百一十六斗。 今有钱四十三贯二百文。欲买细丝，每斤价钱三百文，问得几何？ 答曰：一百四十四斤。 今有钱一千四百一十六贯。欲买绢子，每匹价钱四贯文，问得几何？ 答曰：三百五十四匹。 今有银二万七千三百五十两，欲为课银，每铤五十两，问为几铤？ 答曰：五百四十七铤。 今有钱四千四百一十六贯，欲买大罗，每匹价钱六贯文，问得几何？ 答曰：七百三十六匹。 今有钱六百二十四贯四百文，欲买甘草，每秤价钱七百文，问得几何？ 答曰：八百九十二秤。 今有钱五十贯七百二十文，欲买细布，每尺价钱八十文，问得几何？ 答曰：六百三十四尺。 今有钱三万八千二百五十贯，欲买良马，每匹价钱九十贯，问得几何？ 答曰：四百二十五匹。 术曰：列钱数为实，以价钱为法而一，合问。 今有钱一十七贯七百四十五文，欲籴黑豆，斛价二百一十文，问籴豆几何？ 答曰：八十四斛半。 术曰：列钱数为实，以斛价二百一十文为法，实如法而一，合问。 今有钱二十四贯三十五文，欲买白蜜，斤价三百八十文，问得几何？ 答曰：六十三斤四两。 术曰：列钱数为实，以斤价三百八十文为法，除之，斤下分者，身外加六为两，合问。 今有钱四十三贯八百七十五文，欲买水银，斤价四贯五百文，问买几何？ 答曰：九斤一十二两。 术曰：列钱数为实，以四贯五百文为法，实如法而一。斤下分者，身外加六为两，合问。 今有钱二十贯一百九十六文，欲买丁香，两价五十四文，问得几何？ 答曰：二十三斤六两。 术曰：列钱数为实，以五十四文为法，实如法而一，得三百七十四两，以斤率十六约之，合问。 今有钱五贯六百六十一文，欲买陈皮，斤价六十八文，问得几何？ 答曰：八十三斤四两。 术曰：列钱数为实，以六十八文为法，实如法而一，斤下分者，身外加六为两。合问： 今有银一十五两一钱六分三厘二毫，每银七厘二毫，换片脑一铢，问得几何？ 答曰：五斤七两一十八铢。 术曰：列银数为实，以七厘二毫为法，除之，得二千一百六铢，以斤铢法三百八十四约之，得五斤，不满法者，以两铢法二十四约之，得七两，不满法者命之。合问。 今有钱五百九十一贯九百四十八文，欲买银朱，两价八十七文，问得几裹？ 答曰：一百八十九裹。 术曰：列钱数为实，以八十七文为法，实如法而一，得六千八百四两，以裹法三十六约之，合问。 今有细米七斗九升五合三勺四抄，每九升一合，准粝米一斗，问得几何？ 答曰：八斗七升四合。 术曰：列米数为实，以九升一合为法，实如法而一，合问。 今有香油二百五十六斤半，每三斤一十二两，用芝麻一斗。问用芝麻几何？ 答曰：六硕八斗四升。 术曰：列油数为实，以三斤七分半为法，除之，合问。 今有面四百零七斤，每六斤一十四两，用麦一斗。问用麦几何？ 答曰：五硕九斗二升。 术曰：列面数为实，以六斤八分七厘半除之，八分七厘半者，乃十四两留数。合问。 今有盐二千四百六十引，每引四百五斤为率。今每引外多附余三十斤，问共为引数几何？ 答曰：二千六百四十二引九十斤。 术曰：列盐引数于上，并率数附余，共得四百三十五斤，乘之，得一百七万一百斤，为实，以四百五斤为法除之，不满法者命之，合前问。 今有豆粉一千七百五十九斤三两八钱，每五斤六两，用豆一曰。问豆几何？ 答曰：三十二硕七斗三升。 术曰：列粉数，斤下留两为实，以五斤三分七厘半为法，实如法而一合。问： 今有䌷一万尺，每一尺二分四厘，换麻一斤，问换麻几何？ 答曰：九千七百六十五斤一十两。 术曰：列䌷数为实，以一尺二分四厘为法，实如法而一。斤下分者，身外加六为两，合前问。 今有钱二万贯，欲买细丝，斤价四贯九十六文，问得丝几何？ 答曰：四千八百八十二斤一十三两。 术曰：列钱数为实，以斤价四贯九十六文为法，除之。斤下分者，身外加六为两合问。 今有米三万斗，每八升一合九勺二抄，折豆一叫。问折豆几何？ 答曰：三千六百六十二硕一斗九合三勺七抄五撮。 术曰：列米数为实，以八升一合九勺二抄为法，实如法而一合问。 今有芝麻四万硕，每五升一合二勺，对粟一斗。问对粟几何？ 答曰：七万八千一百二十五硕。 术曰：列芝麻数为实，以五升一合二勺为法，除之，合问。 今有钱五百贯，欲籴小麦，每斛价钱一贯二百八十文，问籴麦几何？ 答曰：三百九十斛六斗二升半。 术曰：列钱数为实，以一贯二百八十文为法，实如法而一合问。 今有人参六万斤，每三十一斤四两，换茶一引。问换茶几何？ 答曰：一千九百二十引。 术曰：列人参数为实，以三十一斤二分半为法，实如法而一合问。 今有金七万铢，每三十五铢八絫四黍，易片脑一斤。问易䐉几何？ 答曰：一千九百五十三斤二两。 术曰：列金数为实，以三十五铢八絫四黍为法，实如法而一，得一千九百五十三斤，斤下一分二厘五毫，以斤率十六乘之，得二两，合问。 今有地八万亩，每六亩二分五厘，直银一斤，问直银几何？ 答曰：一万二千八百斤。 术曰：列地亩数为实，以六亩二分五厘为法，实如法而一。合问。 今有稻九万斛，每田一亩，收稻五斛七斗六升，问田几何？ 答曰：一百五十六顷二十五亩。 术曰：列稻数为实，以五斛七斗六升为法，实如法而一。合问。 异乘同除门八问 今有钱九贯八百七十九文，籴米五硕三斗四升，只有米三十六硕九斗，问直钱几何？ 答曰：六十八贯二百六十五文。 术曰：列只有米数，以九贯八百七十九文乘之为实，以五硕三斗四升为法，除之，市廛日用而今有之。合问。 今有米五十三斗四升，直钱九贯八百七十九文，只有钱六十八贯二百六十五文，问得米几何？ 答曰：三百六十九斗。 术曰：列只有钱数，以五十三斗四升乘之为实，以九贯八百七十九文为法，实如法而一。合问。 今有银二十二两五钱二分半，倒丝六斤一十两，只有丝三百四斤一十二两，问倒银几何？ 答曰：一千三十六两一钱半。 术曰：列只有丝数，斤下留两，以二十二两五钱二分半乘之为实，以六斤六分二厘半为法，实如法而一，六分二厘半者，乃十留六二五。合问。 今有丝六斤一十两，直银二十二两五钱二分半，只有银一千三十六两一钱半，问得丝几何？ 答曰：三百四斤一十二两。 术曰：列只有钱数，以六斤六分二厘半乘之为实，以二十二两五钱二分半为法，除之。斤下分者，身外，加六，为两合问。 今有人借绢一匹一丈四尺，阔一尺八寸，今还绢阔二尺五寸，问还长几何？ 匹法三十二尺。 答曰：一匹一尺一寸二分。 术曰：列绢通尺内子得四十六尺，以阔一尺八寸乘之，为实，以二尺五寸为法，除之，仍以匹法约之，合问。 今有人借绢一匹一尺一寸二分，阔二尺五寸。今还绢阔一尺八寸，问还长几何？匹法同前。 答曰：一匹一丈四尺。 术曰：列绢通尺内子得三十三尺一寸二分，以二尺五寸乘之，为实，以一尺八寸为法，实如法而一，仍以匹法约之，合问。 今有织锦七匹六尺五寸，用丝八斤二两二十一铢，欲织八十四匹一丈五尺，问用丝几何？匹法二十四尺。 答曰：九十五斤三两六铢。 术曰：列八斤通两内子二，得一百三十两，以二十四铢通之，内子二十一，得三千一百四十一铢于上位。又列八十四匹，以匹法通之，内子得二千三十一尺，以乘上位，得六百三十七万九千三百七十一，为实。又列七匹通尺内子得一百七十四尺五寸，为法，除之，得三万六千五百五十八铢，以斤铢法三百八十四约之为斤，不满法者，以两、铢法二十四约之为两，不满法者命之，合问。 今有丝八斤二两二十一铢，织锦七匹六尺五寸，只有丝九十五斤三两六铢，问织锦几何？匹法同前 答曰：八十四匹一丈五尺。 术曰：列只有丝通两内子得一千五百二十三两，以二十四铢通之，内子六，共得三万六千五百五十八铢于上位。又列七匹通尺内子得一百七十四尺五寸，以乘上位，得六百三十七万九千三百七十一，为实。又列八斤通两内子得一百三十两，以二十四铢通之，内子二十一，共得三千一百四十一，为法，实如法而一，得二千三十一尺，以匹法约之，合问。 库务解税门十一问 今有人典钱八十五贯七百文，每贯月利三十文，今八个月。问利钱几何？ 答曰：二十贯五百六十八文。 术曰：列本钱八十五贯七百于上位，置八个月，以三十文乘之，得二百四十文，以乘上位，即得。而今有之。合问。 今有人典钱二百三十六贯，每贯月利三十五文，今七个月九日。问利钱几何？ 答曰：四十三贯七十文。 术曰：列九曰，以三十日除之，得三分，加入七个月，共得七个月三分，以二十五文乘之，得数，以乘本钱二百三十六贯，合问。 今有人借银二十五两，每两月利二分五厘，问几何？曰：而本利适等。 答曰：四十个月。 术曰：列借银为实，以六钱二分五厘为法，实如法而一，为法之数，乃是二分五厘，乘借银，故为法。合问。 又术曰：列银一两为实，以二分半为法，实如法而一，亦合前问。 今有人借钱，共还本利九百九十六贯六百五十六文，只云：每贯月利三十五文，今九个月一十八日。问元借钱几何？ 答曰：七百四十六贯。 术曰：置共还钱为实，列九个月六分，六分者，乃三十日，除十八日。以三十五文乘之，得数，加本钱一贯，共得一贯三百三十六文，为法，实如法而一，得元借钱数。合问。 今有人借银九十两，月利二两，只云今共还四千三百五十六两，经三个月一十二曰。问本利几何？ 答曰：本银四千五十两，利银三百六两。 术曰：置共还银，以九十两乘之，得三十九万二千四十，为实，三个月四分，以二两因之，得数，加入九十两，共得九十六两八钱，为法，实如法而一，得本银，反减共还银数，余即利银也。合问。 今有官仓共收粮一千八百一十一硕三斗一升四勺，每斗带耗七合五勺六抄，问正粮几何？ 答曰：一千六百八十四硕。 术曰：列共收粮为实，并正耗粮得一斗七合五勺六抄，为法，实如法而一，合问。 今有税务，法则三十贯纳税一贯，客持丝六百四十斤，斤价三贯二百五十二文，问纳税钱几何？ 答曰：六十九贯三百七十六文。 术曰：列丝数，以斤价乘之，得二千八十二贯二百八十文，又以一贯乘之为实，以三十贯为法，实如法而一，而今有之。合问。 今有客持香七百八十四斤，舶司税之，八而取一，今税一百斤，却贴与客钱一贯七百三十文，问斤价几何？ 答曰：八百六十五文。 术曰：列客持香数，以八而一，得九十八斤，乃合税之香数。以减一百斤，余二斤为法，列贴与客钱为实，实如法而一，得斤价也。合问。 今有客持珍珠三千七百六十颗，舶司税之，四十分取三，今税讫三百颗，贴与客钱一十贯三百五十文，欲买一百五十颗，问与钱几何？ 答曰：八十六贯二百五十文。 术曰：列客持珠数三之四十而一，得二百八十二颗，乃合税之珠数。以减三百颗，余一十八为法，列一百五十颗，以贴与客钱乘之，为实，实如法而一，即得合问。 今有客持胡椒两务税之，先税十分取一，次税三十分取一，今共税讫三十五斤一两六钱，问客元持椒几何？ 答曰：二百七十斤。 术曰：列共税讫椒数，通两内子，得五百六十一两六钱，十之为实，以一两三钱为法，实如法而一，为法之数，以十两为率，两次官合税一两三钱，故为法也。以斤率十六约之，今市舶司有之。合问。 今有客持降、真两务税之，先税三十分取一，次。税五十分取三，余有三千斤，问：客元持降真几何？ 答曰：三千三百一斤。一千三百六十三，分斤之七百三十七。 术曰：置三千斤，以所税者三十乘之，又以五十乘之，得四百五十万，为实，以不税者二十九、四十七相乘，得一千三百六十三，为法，实如法而一，不满法者命分。合问。 折变互差门十五问 今有香油三两，折菜油四两，只云香油斤价四百文，却有菜油八十四斤一十二两，问直钱几何？ 答曰：二十五贯四百二十五文。 术曰：列香油斤价，以三两因之，十六而一，得七十五文。乃香油三两，折菜油四两之价。列菜油通两内子，得一千三百五十六两，以七十五文乘之为实，以四两为法，除之，合问。 今有人欠钱一万一千二百五十贯，欲还钱、银适等，其银每两折钱五贯文，问各还几何？ 答曰：钱一千八百七十五贯，银一千八百七十五两。 术曰：列欠钱数五之，得五万六千二百五十贯，为实，以三十为法，实如法而一，合问。 又术曰：列欠钱数为实，以六除之，即得钱、银适等也。而今有之，中统、至元是也。 今有人欠钱一千九百五十八贯，欲还二分银，一分钱，其银每两折钱五贯，问各还几何？ 答曰：钱一百七十八贯，银三百五十六两。 术曰：列欠钱数五之，得九千七百九十贯，为实，以五十五为法，实如法而一，得钱数，倍之为银数也，合问。 又术：列欠钱为实，身外减一得钱也。倍之为银。 今有钱七十三贯五百八十四文，欲买油、面、粉三色适等。油斤价三百四十八文，面斤价一百二十四文，粉斤价一百一十二文。问各等重几何？ 答曰：各一百二十六斤。 术曰：列钱数为实，并三色斤价得五百八十四文为法，实如法而一，得等重也。合问： 今有钱七千四百九十一贯八百九十文，欲买绫、罗、绢，绫匹价一十二贯七百六十文，罗匹价九贯八百九十四文，绢匹价七百六十六文，须要绫一罗二、绢三买之。问三色各几何？ 答曰：绫二百一十五匹，罗四百三十匹，绢六百四十五匹。 术曰：列钱数为实，二之罗价，三之绢价加入绫价，共并得三十四贯八百四十六文，为法，实如法而一，得绫副。置上位，倍之为罗，下位三之为绢。合问： 今有罗一十匹二丈六尺，欲染大红，只云：内出罗四尺五寸，换花染得一丈五尺五寸。问出罗、染罗各几何？匹法三十尺 答曰：染罗八匹，一丈二尺一寸半；出罗二匹，一丈三尺八寸半。 术曰：置今有罗通尺内子得三百四十六尺，以一丈五尺五寸乘之，得五千三百六十三尺，为实，并出染罗得二十尺为法，实如法而一，得染罗，以减三百四十六尺，余即出罗。各以匹法约之。合问： 今有客籴米六百五十三硕，斗价一百二十八文，雇车装载，每斗脚钱三十二文，止于米内依元价折还。问各几何？ 答曰：客米五百二十二硕四斗，脚米一百三十硕六斗。 术曰：列米数于上，以斗价乘之，得八百三十五贯八百四十文，为实，并斗价、脚钱共得一百六十文为法，实如法而一，得客米，反减共米，余，即脚米也。合问。 今有人欲纳粟八百人十九硕四斗七升半，只云：每粟一斗，准米六升，菉豆八升，折粟一斗，本粟一斗，止纳一斗，须令三色适等纳之。问各停纳几何？ 答曰：各二百二十七硕一斗。 术曰：列共粟，以米六升乘之，得五千三百三十六斗八升五合，为实，以二斗三升五合为法，实如法而一，为法。数者各以六升为率，米折粟一曰，豆折粟七升五合，本粟六升，三位并之，共得二曰三升尘，为法也。合。问： 今有足色金五十两，欲为八分金，问八银几何？ 答曰：一十二两五钱。 术曰：列金数为实，以八分为法而一，得六十二两五钱，内减五十两，余即入银合问。 今有银一十二两五钱，足色金五十两，并而同炼，问为颜色分数几何？答曰：八分色。 术曰：列金五十两为实，并金、银得六十二两五钱，为法，实如法而一，合问。 今有丝六十二斤半换金一十两，内八分半金五两，七分半金五两。问二色金，每两直丝几何？ 答曰：八分半直六斤，一十两二钱五分。七分半直五斤。 一十三两七钱五分。 术曰：置丝通两为实，列五两，以八分半乘之，又列五两，以七分半乘之，得数，并之，得八两，乃是十分金数。为法，实如法而一，得一百二十五两。乃二雨金之丝数也。副置上以八分半乘之，下以七分半乘之，又各以斤率约之。合问。 今有粟一十九硕六斗八合，欲为糙细二米。糙米八升，用粟一斗；细米五升一合二勺，用粟一斗，须令糙米倍之。细米之数，问各几何？ 答曰：细米四硕四斗三合二勺，糙米八硕八斗六合四勺。 术曰：列粟数，以五升一合二勺乘之，得一百斗三升九合二勺九抄六撮，为实，以二斗二升八合为法，实如法而一，为法之数各以五升一合二勺为率细米一停折粟一豆糙米二停折粟一斗二升八合二位并之共得二斗二升八合，故为法也。得细米数，倍之，为糙米合问。 今有盐五千七百引，欲令大船一停，小船二停，载之只云：大船三只，载五百引，小船四只载三百引。问各几何？ 答曰：大船一十八只，小船三十六只。 术曰：列三只、四只于左行，五百、三百于右行，毋互乘子右上得二千石，下倍之，得一千八。百二位并之。得三千八百为法，左行分毋相乘，得一十二，以乘五千七百引，得六万八千四百，为实，实如法而一，得大船，倍之，即小船。合问。 今有马军七人给腿裙绢二匹二丈；步军六人给胖袄绢四匹三丈二尺。今共有绢六千六百二十二匹四尺，欲给马步军人适等，问各几何？匹法三十八尺。 答曰：各五千六百七十人。 术曰：先列七人于左上，六人于左下，又列九十六尺于右上，一百八十四尺于右下，以左行互乘右行，右上得五百七十六，右下得一千二百八十八，二位相并，得一千八百六十四，为法，左行分毋相乘，得齐四十二。乃是马军四十二人，得腿裙、绢五百七十六尺；步军四十二人，得胖袄、绢一千二百八十八尺。列绢六千六百二十二匹，以三十八乘之，得数搭入四尺，共得二十五万一千六百四十尺，以分毋四十二乘之，得一千五十六万八千八百八十，为实，以一千八百六十四为法，实如法而一，各得五千六百七十人。合问。 今有粮一万三千四百七十七硕一斗，三分斗之一，欲给军人，只云： 马军六人给粮五十三斗，水军七人给粮五十四斗，步军九人给粮五十五斗。其马军如水军中半，步军多如马军太半。问：三色军及各给粮几何？ 答曰：马军三千一百六十四人，粮二千七百九十四硕八斗三分斗之二水军六千三百二十八人，粮四千八百八十一硕六斗。步军九千四百九十二人。 粮五千八百硕，六斗三分斗之二。 术曰：列六人、七人、九人于左行，五十三斗、五十四斗、五十五斗于右行，左行互乘右行讫，左上得三千三百三十九，倍左中得五千八百三十二，三因左下得六千九百三十，共并，又三因之，得四万八千三百三为法，左行相乘，得三百七十八，列共粮通。分内子以三百七十八乘之，得一亿五千二百八十三万六百九十二为实，以四万八千三百三为法，实如法而一，得马军，倍之为水军，三之即步军也。 求各粮者，列三色军数，各以本色给粮乘之，为实，以各军率除之，合问。 新编算学启蒙卷上 [book_title]新编算学启蒙卷中 松庭朱世杰编撰 田亩形段门十六问 今有方田一段，自方九十六步，问为田几何？ 答曰：三十八亩四分。 术曰：列九十六步，自乘，得九千二百一十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。 今有直田一段，长四十九步，阔二十四步，问为田几何？ 答曰：四亩九分。 术曰：列长四十九步，以阔二十四步乘之，得一千一百七十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。 今有勾股田一段，勾三十六步，即阔。股六十二步，即长。问为田几何？ 答曰：四亩六分五厘。 术曰：列股六十二步，以勾三十六步乘之，折半，得一千一百一十六步，为田积也，以亩法而一，合问。 今有梯田一段，东阔四十六步，西阔八十六步，长一百二十五步，问为田几何？ 答曰：三十四亩三分七厘半。 术曰：列东阔并入西阔，半之，得六十六步，为停阔，以长步乘之，得八千二百五十，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圭田一段，长九十三步，阔三十四步，问为田几何？ 答曰：六亩五分八厘七毫半。 术曰：列长九十三步，以阔三十四步乘之，折半得一千五百八十一，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圆田一段，周八十四步，径二十八步，问为田几何？ 答曰：二亩四分五厘。 术曰：列周八十四步，以径二十八步乘之，得二千三百五十二，以四而一，得五百八十八，为田积步，以亩法而一，合问。 今有圆田一段，不记周步，只云径一十六步，问为田几何？ 答曰：八分。 术曰：列径一十六步，自乘，得二百五十六，三之四而一，得一百九十二，为田积。步，以亩法除之，合问。 今有圆田一段，不记径步，只云周五十四步，问为田几何？ 答曰：一亩一厘二毫半。 术曰：列周五十四步，自乘，得二千九百二十六，以十二而二，得二百四十三步，为田积也，以亩法而一，合问。 今有皖田一段，下周六十四步，径三十三步，问为田几何？ 答曰：二亩二分。 术曰：列周六十四步，以径三十三步乘之，得二千一百一十二，以四而一，得五百二十八，为田积步，以亩法二百四十步除之，皖田、窊田同圆田，法，一也。合问。 今有弧田一段，矢阔一十四步，弦长二十八步，问为田几何？ 答曰：一亩二分二厘半。 术曰：列弦长二十八步，加入矢阔一十四步，共得四十二步，以矢阔一十四步乘之，折半，得二百九十四步，为田积也，以亩法二百四十步约之，合问。 今有钱田一段，外周一百八步，内池方九步，问为田几何？ 答曰：三亩七分一厘二毫半。 术曰：列外周自乘，得一万一千六百六十四，以十二除之，得九百七十二步，寄位。又列池方九步，自乘，得八十一，以减寄位，余八百九十一，为田积步，以亩法二百四十步约之，合问。 今有方田一段，自方八十四步，内有圆池，周一百四十四步，问为田几何？ 答曰：二十二亩二分。 术曰：列八十四步自乘，得七千五十六步，寄位。又列池周步自乘，得二万七百三十六，以十二而一，得一千七百二十八步，为池积，以减寄位，余五千三百二十八，为田积步，以亩法除之，合问。 今有三斜田一段，大斜七十五步，中斜六十步，小斜四十五步，中股长三十六步，问为田几何？ 答曰：五亩六分二厘半。 术曰：列大斜七十五步，以中股长三十六步乘之，得二千七百步，折半得一千三百五十，为田积步，以亩法而一，合问。 今有梭田一段，中阔三十四步，长一百八十六步，问为田几何？ 答曰：一十三亩一分七厘半。 术曰：列中阔折半，得一十七步，以长一百八十六步乘之，得三千一百六十二，为田积步，以亩法而一，合问。 今有方五斜七八角田一段，只云每面阔二十八步，问为田几何？ 答曰：一十六亩。 术曰：副置阔二十八步，上位六之为长，下位倍之为广，乃长广相乘，得九千四百八步，乃是二个四分半积。以二个四分半除之，得三千八百四十，为田积步，以亩法二百四十步除之，合问。 今有环田一段，外周一百四十四步，内周五十四步，实径一十五步，问为古徽、密率田各几何？ 答曰：古法六亩一分八厘七毫半。徽术五亩九分二步，一百五十七，分步之一百二十四。密率五亩九分一步。 二十二分步之十。 古法曰：并内外周折半，得九十九步，以实径一十五步乘之，得一千四百八十五，为田积步，以亩法除之，合问徽。 术曰：内外周相减，余半之，得四十五步，又五十乘之，以一百五十七而一，得一十四步一百五十七分步之五十二，为徽径也。通分内子得二千二百五十，于上位，并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得二十二万二千七百五十，以分母一百五十七而一，得一千四百一十八步一百五十七分步之一百二十四，为田积也，以亩法除之，合问。密率曰：内外周相减，余半之，得四十五步，七之得三百一十五，以二十二而一。得一十四步二十二分步之七，为密径也。通分内子得三百一十五，于上位，亦并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得三万一千一百八十五，以二十二而一，得一千四百一十七步二十二分步之一十一，为田积也。以亩法除之，合问。 仓囤积粟门九问 今有仓一所，长三丈八尺，阔一丈二尺五寸，深一丈六尺四寸，问粟几何？ 答曰：三千一百一十六斛。 术曰：列长三丈八尺，以阔乘之，得四百七十五，又以深乘之，得七千七百九十，为积尺也。以斛法二尺五寸约之，此依唐时斛法，以今斛考之，有异绿各朝代尺法不同，不可为定法也。合问。 今有平地聚粟，下周三丈六尺，高八尺六寸，问粟几何？ 答曰：一百二十三斛八斗四升。 术曰：列下周自乘，得一千二百九十六尺，以高乘之，得一万一千一百四十五尺六寸，以三十六除之，得三百九尺六寸，为积也。以斛法约之，合问。今有仓一所，自方二丈四尺，深一丈，问粟几何？答曰：二千三百四斛。术曰：列方尺自乘，得五百七十六尺，又以深乘之，得五千七百六十尺，为积也。以斛法约之，合问。今有倚壁聚粟，下周一丈八尺，高八尺四寸，问粟几何？答曰：六十斛四斗八升。 术曰：列下周自乘，得三百二十四尺，又以高乘之，得二千七百二十一尺六寸，以十八而一，得一百五十一尺二寸，为积也。以斛法约之，合问。 今有内角聚粟，下周九尺六寸，高六尺二寸，问粟几何？ 答曰：二十五斛三斗九升五合二勺。 术曰：列下周自乘，得九十二尺一寸六分，又以高乘之，得五百七十一尺三寸九分二厘，以九而一，得六十三尺四寸八分八厘，为积也。以斛法约之，合问。 今有圆囤一所，周一丈九尺，高八尺七寸，问粟几何？ 答曰：一百四斛六斗九升。 术曰：列周自乘，得三百六十一尺，又以高乘之，得三千一百四十尺七寸，以圆法十二而一，得二百六十一尺七寸二分半，为积也。以斛法约之，合问。 今有方仓一所，上方四尺，下方六尺，高一丈二尺，问粟几何？答曰：一百二十一硕六斗。 术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，得七十六尺，以高乘之，得九百一十二尺，三而一，得三百四尺，为积也。以斛法约之，合问。今有圆囤一所，上周三丈六尺，下周七丈二尺，高二丈，问粟几何？答曰：二千一十六斛。术曰：上周自乘，下周亦自乘，又上下周相乘，三位并之，得九千七十二尺，以高乘之，得一十八万一千四百四十，以三十六而一，得五千四十尺，以斛法约之，合问。 今有粟一百四硕六斗九升，欲作圆囤贮之，满中而粟适尽，令高八尺七寸，问周几何？答曰：一丈九尺。 术曰：列米，以斛法二尺五寸乘之，又以十二乘之，得三千一百四十尺七寸，以高八尺七寸除之，得三百六十一，为实，以一为廉法，平方开之，得周，合问。 双据互换门六问 今有织匠二十四人，一百九十二日，织锦一千一百五十二匹，欲令六十二人织三百六十曰。问织锦几何？答曰：五千五百八十匹。 术曰：列三百六十日，以六十二人乘之，又以织锦匹数乘之，得二千五百七十一万二千六百四十，为实。列一百九十二日，以二十四人乘之，得四千六百八为法，实如法而一，合问。今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，欲令三十一人织二千七百九十匹，问几日？毕？答曰：一百八十日。术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。五百七十六匹，以三十一人乘之，得一万七千八百五十六，为法，实如法而一，合问。 今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，今一百八十日织二千七百九十匹，问织匠几何？ 答曰：三十一人。 术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。一百八十日，以五百七十六匹乘之，得一十万三千六百八十为法，实如法而一，合问。 今有盐丁九人，七日煎盐五十五引五十斤，今增一百八十五人煎四十八日，问得盐几何？ 答曰：八千一百四十八引。 术曰：列一百八十五人，答入九人，得一百九十四人，以四十八日乘之，又以五十五引一分二厘半乘之，引下分者，乃四百斤约之。得五十一万三千三百二十四，为实。列九人，以七日乘之，得六十三，为法，实如法而一，合问。 今有船载物，装重五百斤，行路八十里，脚钱一百五十文。今载八万六千斤，欲行三千四百里，问与脚钱几何？答曰：一千九十六贯五百文。 术曰：列八万六千斤，以三千四百里乘之，又以一百五十文乘之，得四百三十八亿六千万，为实。又列五百斤，以八十里乘之，得四万为法，实如法而一，合问。双据互换之法，学者少识所乘所除之理。前问织锦三术，返复还源备矣。此问与前盐义同，而今有之，及雇车行道相类也，故引草证，使习算者无疑矣。 今有黍一硕五斗，变米八斗四升，每米四斗五升，造酒七斗八升。今欲造酒二十五硕七斗七十五分斗之一十七。问用黍几何？ 答曰：二十六硕五斗。 术曰：列二十五硕七斗，通分内子一十七，得一万九干二百九十二，以一硕五斗乘之，又以四。斗五升乘之，得一百三十万二千二百一十，为实。列米八斗四升，以酒七斗八升乘之，又以分母七十五乘之，得四千九百一十四，为法，实如法而一，合问 求差分和门九问 今有鸡、兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四。问鸡、兔各几何？ 答曰：鸡六十四只，兔三十六个。 术曰：列一百，以兔足乘之，得数，内减共足，余一百二十八为实。列鸡、兔足，以少减多，余二为法，而一，得鸡，反减一百，即兔合问。 又术曰：倍一百，以减共足，余半之，即兔也。 今有钱二十九贯六百八十七文五分，共买蜜蜡一百四十六斤六两，只云蜡斤价三百八十文，蜜斤价六十八文。问各几何？ 答曰：蜜八十三斤二两，蜡六十三斤四两。 术曰：列蜜蜡共数，斤下留两，以蜡斤价乘之，得五十五贯六百二十二文五分，内减今有钱，余二十五贯九百三十五文，为实。列蜜蜡斤价相减，余三百一十二文，为法，实如法而一，得蜜斤下分者身外，加六为两，反减共数，余即蜡也。合问。 今有粟米一十七硕三升，直钱一十九贯四百三文。只云：粟斗价七十五文，米斗价一百六十四文。问各几何？ 答曰：米七硕四斗五升，粟九硕五斗八升。 术曰：列粟米共数，以粟斗价乘之，得一十二贯七百七十二文五分，以减直钱，余六贯六百三十文五分，为实。列粟米斗价相减，余八十九文为法，实如法而一，得米，反减共数，余即粟也。合问： 今有金瓶一十二只，银瓶一十五只，秤之重适等，交换一只，有秤之金轻五两七钱半。问二色各一重几何？ 答曰：金瓶一只，重二十八两七钱半；银瓶一只，重二十三两。 术曰：副置五两七钱半，上位十五乘之，下位十二乘之，各自为实，列金、银瓶，以少减多，余三只为法，各实如法而一，上为金瓶重，下为银瓶重。合问：今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文。问二色尺价各几何？答曰：罗尺价一百六十二文，绫尺价一百二十六文。术曰：置绫九尺，以三十六文乘之，得三百二十四文，为实。列绫、罗尺数相减，余二尺，为法实如法而一，得罗尺价，内减不及，余即绫尺价也。合问。 今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何？日追及之。 答曰：二十日。 术曰：列一十二日，以一百五十里乘之，得一千八百里。为实，列良、驽马日行里数相减，余九十里，为法，实如法而一。合问。 今有金银一百铤，直钱一千七百二贯七百五十文。只云金一铤之价，买银七铤，二色两价差七百五十文。问金银及两价各几何？铤率各五十两。 答曰：金二十八铤三十七两，每两价钱八百七十五文。银七十一铤，一十三两。 每两价钱一百二十五文 术曰：列银七铤，以铤率通之，得三百五十两，以差七百五十乘之，得二十六万二千五百，为实，以三百两为法，实如法而一，得金两价也。为法之数，乃银三百五十两，内减金五十，而余数也。内减。差，即银两价。又列一百铤通两，以金两价乘之，得数，内减直钱，余二千六百七十二贯二百五十文，为差实，以差七百五十文为法，除之，得银两数，反减五千两，余，即金两数也。各以铤率约之。合问。 今有油一秤，二斤三两半，欲点醮灯，只云四盏用油三两，三瓯用油五两，须令盏数倍之瓯数。问瓯、盏及油各几何？ 答曰：瓯八十七只，油九斤一两。盏一百七十四只。 油八斤二两半。 术曰：依三两五两。左行互乘右行，左上倍之，得图布算四盏，三瓯。一十八，左下得二十，并之得三十八，为法，左行相乘，得十二，为乘法。列共油通两内子，得二百七十五两半，以十二乘之，得三千三百六，为实，实如法而一，得瓯数，倍之，为盏数也。求油者，以异乘同除求之。合问。 今有竹七节，下二节容米三升，上三节容米二升。问中二节及逐节各容几何？ 答曰：下初一升，二十七分升之十六；次一升，二十七分升之十一，次一升，二十七分升之六，次一升，二十七分升之一，次二十七分升之二十三，次二十七分升之十八，次二十七分升之十三。 术曰：依三升，二升。左行互乘右行，得数，以少减图布算二节三节。多余五，为差实，乃逐节差数也。分母相乘，得六，为乘法，又并三节、二节，半之，得二节半，以减七节，余四节半，以分母六乘之，得二十七，为法，乃一升之分母。实如法而一，得一升，即衰相去也。列二十七，以三升乘之，得八十一，加差五得八十六，半之，得一升二十七分升之十六，乃是下初节所容之数，递减逐节差，即得。合问。 差分均配门十问 今有甲、乙、丙共分息钱四十五贯三十六文。甲元钱五十八贯，乙元钱四十五贯，丙元钱三十六贯。问各分息。钱几何？ 答曰：甲一十八贯七百九十二文，乙一十四贯五百八十文，丙一十一贯六百六十四文。 术曰：列甲元钱五十八贯，以息钱四十五贯三十六文乘之，得二千六百一十二贯八十八文；又列乙元钱四十五贯，以四十五贯三十六文乘之，得二千二十六贯六百二十文。又列丙元钱三十六贯，亦以四十五贯三十六文乘之，得一千六百二十一贯二百九十六文。各为列实，并各人元钱共得一百三十九贯，为法，实如法而一，各得分钱之数。合问： 今有甲、乙、丙出丝织罗五十四匹二丈四尺。甲丝九斤八两，乙丝八斤一十两，丙丝七斤六两。问各分罗几何？匹法一十六尺。答曰：甲二十匹一丈二尺，乙一十八匹一丈五尺，丙一十五匹二丈三尺。术曰：置罗全匹通尺内子，得一千四百二十八丈，各以元丝通两内子乘之，甲得二十一万七千五十六，乙得一十九万七千六十四，丙得一十六万八千五百四，各为列实，并各人丝得四百八两，为法，各实如法而一，即得。各以匹法约之，合问： 今有甲、乙、丙共分米三十三硕八升，须令甲四乙三丙一分之，问各几何？ 答曰：甲一十六硕五斗四升，乙一十二硕四斗五合，丙四硕一斗三升五合。 术曰：各以分率乘共米，甲得一千三百二十三分二厘，乙得九百九十二分四厘，丙得三百三十分八厘，各为列实，并各人分率得八，为法，各实如法而一，得合问。 今有甲、乙、丙共分钱七十一贯九百文，只云乙如甲五分之三，却多如丙钱一贯八百文。问各得几何？ 答曰：甲三十三贯五百文，乙二十贯一百文，丙一十八贯三百文。 术曰：列共分钱内虚，加一贯八百，得七十三贯七百，为实，并各人分率得一十一，为法，而一，得六贯七百，为一分之率。副置上位，五之，得甲钱，下位三之，得乙钱。乙钱内减一贯八百，余即丙钱。合问。 今有甲、乙、丙相合查盐，甲三千六百五十引，乙二千一百五十引，丙一千九百五十引。今盐不敷，止查得四千六百五十引，问各人分盐几何？ 答曰：甲二千一百九十引，己一干二百九十引，丙一千二百七十引。 术曰：各列元引，以止查盐数乘之，甲得一千六百九十七万二千五百，乙得九百九十九万七千五百，丙得九百六万七千五百，各为列实，并各人元引得七千七百五十，为法，各实如法而一，合问： 今有银一秤，一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问各得几何？ 答曰：甲一百五十二两，乙七十六两，丙三十八两。 术日：置银通两，内子得二百六十六两，为实，并各人分数得七为法，实如法而一，得丙银，倍之为乙银，又倍即甲银。合问： 今有甲、乙、丙、丁分丝五百四十四斤，从上作四六差分之，问各得几何？ 答曰：甲二百五十斤，乙一百五十斤，丙九十斤，丁五十四斤。 术曰：置甲率一千，以六因之，得六百，为乙率，又六因得三百六十，为丙率，又六因得二百一十六，为丁率。四位共并，得二千一百七十六，为法，列共丝通两，以一千乘之，得八百七十万四千，为实，实如法而一，得四千两，为甲丝，六之得乙丝二千四百两。又六之，得丙丝一千四百四十两，又六之，得丁丝八百六十四两，各斤率约之，合问。 今有官䌷丝四千八百六十斤，欲织西锦，令甲、乙、丙、丁、戊、己六局，从上作二八差分之，其锦每匹用丝二斤四两。问分丝织锦各几何？匹法三十二尺。 答曰：丝一千三百一十七斤，四百二十七分 甲斤之一百四十一。锦五百八十五匹一丈五尺；四百二十七，分尺之一百五十五。丝一千五十三斤， 四百二十七分斤之三百。 乙六十九。锦四百六十八匹一丈二尺；四百二十七，分尺之一百二十四。丝八百四十三斤， 四百二十七分斤之三十。 丙九。锦三百七十四匹二丈二尺；四百十七，分尺之二百七十。丝六百七十四斤， 四百二十七分斤之二百。 丁二，锦二百九十九匹二丈四尺；四百二十七，分尺之二百一十六。丝五百三十九斤， 四百二十七分斤之二百。 戊四十七。锦二百三十九匹二丈六尺；四百二十七分尺之二。丝四百三十一斤， 四百二十七，分斤之二百。 己八十三。锦一百九十一匹二丈七尺 四百二十七，分尺之八十七。 术曰：置甲率一十万，乙率八万，丙率六万四千，丁率五万一千二百，戊率四万九百六十，己率三万二千七百六十八，为差，副并得三十六万八千九百二十八，为法，以丝四千八百六十斤乘未并者，甲得四亿八千六百万，乙得三亿八千八百八十万，丙得三亿一千一百四万，丁得二亿四千八百八十三万二千，戊得一亿九千九百六万五千六百，已得一亿五千九百二十五万二千四百八十，各为列实。各实如法而一。不满法者，各以八百六十四约之，各得分丝之数也。 求锦者，置二斤通两内子，得三十六两，以分母四百二十七乘之，得一万五千三百七十二，为法。各列丝通分内子得数，各以十六乘之，甲得九百万，乙得七百二十万，丙得五百七十六万，丁得四百六十万八千，戊得三百六十八万六千四百，已得二百九十四万九千一百二十，各自为实实。如法而一，得匹。实不满法，以匹法三十二乘之，如前法而一，得尺。不满法者，各以三十六约之，合问。 今有某州所管九等税户，甲等三百六十四户，乙等三百九十六户，丙等四百三十二户，丁等五百七十户，戊等五百八十四户，己等六百七十六户，庚等八百五十户，辛等九百二十户，壬等一千六百八户，今科粮六万五千六百六十四硕，今作等数，各差一硕六斗配之。问：每户及逐等各几何？ 答曰：甲每户一十八硕五斗三升二合半，三百六十四户，共六万七千四百五十八斗三升。乙每户一十六硕，九斗三升二合半；三百九十六户，共六万七干五十二斗七升。丙每户一十五硕，三斗三升二合半；四百三十二户，共六万六千二百三十六斗四升。丁每户一十三硕七斗三升二合半；五百七十户，共七万八千二百七十五斗二升半。戊每户一十二硕一斗三升二合半；五百八十四户，共七万八百五十三斗八升。已每户一十硕五斗三升二合半；六百七十六户，共七万千一百一九十九斗七升。庚每户八硕九叫三升二合半，八百五十户，共七万五工九百二十六斗二升半。辛每户七硕三斗三升二合半，九百二十户，共六万七千四百五十九斗。壬每户五硕七斗三升二合半。 一千六百八户，共九万二千一百七十八斗六升。 术曰：列甲等户三百六十四，八之得二千九百一十二，列乙等户三百九十六，七之得二千七百七十二；列丙等户四百三十二，六之得二千五百九十二；列丁等户五百七十，五之得二千八百五十；列戊等户五百八十四，四之得二千三百三十六；列已等户六百七十六，三之得二千二十八；列庚等户八百五十，倍之得一千七百；列辛等户九百二十，以一因之，得九百二十。共并八位，得一万八千一百一十。以差一硕六斗乘之，得二十八万九千七百六十，为抛差，并共户得六千四百，以率户粮一十硕二斗六升乘之，若是均科，每户得一十硕二斗六升也。得六十五万六千六百四十。内减抛差，余三十六万六千八百八十，为实，以共户六千四百为法，实如法而一，得壬等每户之数，各加差一硕六斗，得逐等每户之粮数。求各等共粮者，以各户粮数乘其各等之户，合问。 今有某县配粟一万八百七十硕八升，于上、中下三乡，从上作折半差配之。谓如上乡六硕，中乡三硕，下乡一硕五斗。又上乡三等作九一折，中乡三等作二八折，下乡三等作三七折。上乡上等五十六户，中等七十四户，下等九十八户。中乡上等八十二户，中等一百二十户，下等一百六十户。下乡上等九十五户，中等一百七十二户，下等一百八十户。问三乡九等各粟几何？ 答曰：上乡二百二十八户，共五千二百五十一硕四斗八升。上等每户二十六硕，五十六户，共一千四百五十六硕。中等每户二十三硕四斗；七十四户，共一千七百三十一硕六斗。下等每户二十一硕六升。 九十八曰，共二千六十三硕八斗八升。 中乡三百六十二户共三千六百四十五硕二斗。上等每户一十三硕，八十二户，共一千六十六硕。中等每户一十硕四斗；一百二十户，共一千二百四十八硕。下等每户八硕三斗二升。 一百六十户，共二千三百三十二硕二斗。 下乡四百四十七户，共一千九百七十三硕四斗。上等每户六硕五斗，九十五户，共六百一十七硕五斗。中等每户四硕五斗五升；一百七十二户共七百八十二硕六斗。下等每户三硕一斗八升半百。 八十占，共五百七十三硕三斗。 术曰：列配粟，以一万乘之，得一十亿八千七百万八千，为实，并九等户分数，得四百一十八万八百，为法，实如法而一，得上乡上等每户之数，折半得中乡上等每户之数，又折半得下乡上等每户之数。上乡递用九因，中乡递用八因，下乡递用七因，各得逐等每户之数也。 草曰：先列上乡上等五十六户，以一万乘之，得五十六万。又列中等七十四户，以九千乘之，得六十六万六千。又列下等九十八户，以八千一百乘之，得七十九万三千八百。又列中乡上等八十二户，以五千乘之，得四十一万。又列中等一百二十户，以四千乘之，得四十八万。又列下等一百六十户，以三千二百乘之，得五十一万二千。又列下乡上等九十五户，以二千五百乘之，得二十三万七千五百。又列中等一百七十二户，以一千七百五十乘之，得三十万一千。又列下等一百八十户，以一千二百二十五乘之，得二十二万五百。九位共并，得四百一十八万八百，为法。列配粟一万八百七十硕八升，以一万乘之，得一十亿八干七百万八千，为实。实如法而一，得二十六硕，乃上乡上等每户之数；九因得二十三硕四斗，乃中等每户之数；又九因得二十一硕六升，乃下等每户之数。又列上乡上等每户粟二十六硕，折半得一十三硕，乃中乡上等每户之数，八因得一十硕四斗，乃中等每户之数；又八因得八硕三斗二升，乃下等每户之数。又列中乡上等每五粟一十三硕，折半得六硕五斗，乃下乡上等每户之数；七因得四硕五斗五升，乃中等每户之数；又七因得三硕，一云八升五合，乃下等每户之数。各以每户之率乘其各等之户，即得共粟合问。 商功修筑门十三问 今有穿地积三百六十尺，问为坚壤各几何？ 答曰：坚二百七十尺，壤四百五十尺。 术曰：列三百六十尺，以筑坚三尺因之，得一千八十尺，以穿地四尺除之，得二百七十尺，为坚也。又列三百六十尺，以壤五尺因之，得一千八百尺，亦以穿地四尺除之，得壤也。合问。 今有城高四丈六尺，下广三丈六尺，上广一丈八尺，袤六十四里，问积几何？ 答曰：一亿四千三百七万八千四。百尺。 术曰：并上下广而半之，得二十七尺，上下停也。以高四丈六尺乘之，得一千二百四十二尺于上位。又列袤六十四里，以尺里法一千八百通之，得一十一万五千二百尺，以乘上位，得城积尺也。合问。 今有墙，下广四尺，上广三尺，高九尺，袤二里五十步，问积几何？ 答曰：一十二万一千二百七十五尺。 术曰：列下广，并入上广，折半，得三尺五寸，乃上下停阔也。以高九尺乘之，得三十一尺五寸，寄位。又列袤二里，以三百六十步通之，内子得七百七十步，以五尺因之，得三千八百五十尺，以乘寄位，得墙积尺也。合问。 今有垣积六万八千八百八十六尺，只云上广二尺二寸，下广三尺八寸，袤一里一百四十五步。问高几何？ 答曰：八尺六寸。 术曰：置积为实，列袤一里，以古法三百步通之，内子得四百四十五步，又以步尺法六因之，得二千六百七十尺，为法，实如法而一，得二十五尺八寸。又并上下广折半，得三尺，除之，即高。合问。 今要开河，下广一丈八尺七寸，上广二丈六尺三寸，深一丈五尺，袤三十六里二百八十五步。春程人功五百九十八尺，除出土功七分之二。问用徒几何？ 答曰：五万二千五百五十一人。五百九十八分人之四百七十七 术曰：列程功五百九十八尺，五之，七而一，得定功四百二十七尺，七分尺之一也。并上下广而半之，得二丈二尺五寸，以深一丈五尺乘之，得三百。三十七尺五寸，寄位。列袤三十六里，以古法三百步通之，内子得一万一千八十五步，六之通尺，得六万六千五百二十尺，以乘寄位得。二千二百。四十四万七千一百二十五尺，为河积也。以分母七之，得一亿五千七百一十二万九千八百七十五为实，又列定功四百二十七尺，通分内子，得二千九百九十，为法，实如法而一，不满法者，各以五约之，合问。 今要筑堤，上广六尺四寸，下广一丈五尺六寸，高六尺，袤三里七十四步，冬程人功三百六十四尺，问共用徒几何？ 答曰：一千五十九人。九十一，分人之五十七。 术曰：并两广而半之，得一丈一尺，为停阔也。以高六尺乘之，得六十六尺于上位。又列袤三里，以古法三百步通之，内子得九百七十四步，又以尺法六因之，得五千八百四十四尺，以乘上位，得三十八万五千七百四尺，为堤积也。以人功三百六十四尺为法，实如法而一，不满法者，各以四约之，即得。合问。 今有方堡𭎜，自方二十四尺，高二丈一尺，问积尺几何？ 答曰：一万二千九十六尺。 术曰：列方二十四尺，自乘，得五百七十六尺，又以高二丈一尺乘之，得一万二千九十六尺，为积也。合问。 今有圆堡𭎜周三丈七尺，高一丈四尺，问积尺几何？ 答曰：一千五百九十七尺。六分尺之一。 术曰：列周三丈七尺，自乘，得一千三百六十九尺，又以高一丈四尺乘之，得一万九千一百六十六尺。以圆法十二而一，不满法者各半之，合问。 今有方亭台一所，上方二丈八尺，下方三丈二尺，高四丈六尺，问积尺几何？ 答曰：四万一千四百六十一尺。少半尺。 术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，共得二千七百四尺，又以高四丈六尺乘之，得一十二万四千三百八十四尺，以三而一，不满法者命之，合问。 今有圆亭台一所，下周四丈二尺，上周二丈九尺，高三丈八尺，问积几何？ 答曰：四千三十五尺一十八分尺之七。 术曰：下周自乘上周，亦自乘，又上下周相乘，三位并之。共得三千八百二十三尺，又以高三丈八尺乘之，得一十四万五千二百七十四尺，以三十六而一，不满法者各半之，合问。 今有方锥，下方二丈五尺，高二丈八尺，问积尺几何？ 答曰：五千八百三十三尺。少半尺。 术曰：列下方二丈五尺，自乘，得六百二十五尺，又以高二丈八尺乘之，得一万七千五百尺，以三而一，不满法者命之，合问。 今有圆锥，下周五丈四尺，高三丈七尺，问为古、徽、密三积各几何？ 答曰：古积二千九百九十七尺，徽积二千八百六十三尺，一百五十七，分尺之五十九。密积二千八百六十尺。 二十二，分尺之一十七。 古法曰：列下周五丈四尺，自乘，得二千九百一十六尺，以高三丈七尺乘之，得一十万七千八百九十二尺，为实，以三十六为法，实如法而一，得古积。合问徽。 术曰：下周自乘，又高乘之，又以二十五乘之，得二百六十九万七千三百，为实，以九百四十二为法，实如法而一，为法数者，乃圆法十二乘半，徽周七十八分半，故为法也。不满法者，各以六约之，得徽积。合问。 密术曰：下周自乘，又高乘之，又以七因之，得七十五万五千二百四十四，为实，以二百六十四为法，实如法而一，为法之数，乃圆法十二乘，密周二十二，故为法。不满法者，各以十二约之，合问。 今欲筑圆城一座，内周二十六里二百一十九步，厚三步半，除水门四处，各阔四步，旱门四处各阔二步四尺。只云从城外边每二步二尺安ru头三枚。问共安ru头几何？里步尺率，各依古法。 答曰：一万三百二枚。七分枚之六。 术曰：列内周通里内子，得八千一十九步。于上位倍厚步三之，加上位，以六尺因之。得四万八千二百四十尺。乃城外周之数。寄位列水门阔四步，六之，又四之，得九十六尺，以减寄位。又列旱门阔二步，以六因之，内子四，又四之，得六十四尺，又减寄位，余四万八千八十尺，乃城外周合安ru头之数。三之得一十四万四千二百四十，为实，又列二步六之，内子二，得一十四尺，为法，实如法而一，不满法者各半之，合问。 贵贱反率门八问 今有钱三百四十五文，共买檀乳香一百四十两，只云乳香两价贵如檀香两价一文。问二色各几何？ 答曰：檀香七十五两，两价二文。乳香六十五两。 两价三文。 术曰：列钱数为实，以一百四十两为法，实如法而一，得二文，乃檀香两价，加一文，即乳香两价。余实六十五，为乳香数也。反减下法，余七十五，即檀香数也。合问。按此其率者以钱为实物为法实如法而一所得为贱率价加一文即贵率价余实则贵物数反减下法余法为贱物数也其积铢当以石钧秤斤两铢法约之其反率者以物为实钱为法，实，如法而二，所得为贵物，加一即贱物；不满法者，余实则化为钱，乃贱价也。反减下法，余法为贵价，余实、余法相并，得共钱也。 今有钱八百四十文，买核桃七千二百九十枚，欲其贵贱率之，问各几何？ 答曰：其二千一百六十枚，八枚直钱一文。其五千一百三十枚。 九枚直钱一文。 术曰：列核桃为实，以钱八百四十为法，实如法而一，得八枚直钱一文，就加一枚，乃九枚直钱一文。余实五百七十，反减下法，余二百七十八之，得贵物数；其不尽五百七十九之，得贱物数。合问。 今有钱一十六贯五百文，买漆一石三钧，一秤四斤五两六铢，欲其贵贱石率之，问各几何？ 答曰：其一石三钧四两一十八铢，石价八千六百三十四文。其一秤四斤一十二铢。 石价八千六百三十三文。 术曰：列漆通铢，得八万八千六十二，为法，列钱以四万六千八十乘之，得七亿六千三十二万，为实，实如法而一，得八千六百三十三文，为贱石价，加一文，即贵石价。不尽八万七百五十四，反减下法，余七千三。百八，以秤斤铢法除之，得一秤四斤一十二铢，为贱数。其不尽八万七百五十四，以石钧两铢法除之，得贵数。合问。 今有钱二十五贯三百文，买丝二石二钧一秤三斤四两八铢，欲其贵贱钧率之，问各几何？ 答曰：其二石二斤五两八铢，钧价二贯三百八十五文。其二钧一秤一十五两。 钧价二贯三百八十四文。 术曰：列钱以一万一千五百二十乘之，得二亿九千一百四十五万六千，为实，列丝通铢得一十二万二千二百一十六，为法，实如法而一，得二千三百八十四，为贱钧价，内加一文，即贵钧价。不尽九万三千五十六，反减下法，余二万九千一百六十，以钧秤两铢法除之，得二钧一秤一十五两，为贱数。其不尽九万三千五十六，以石斤两铢法除之，得二石二斤五两八铢，即贵数。合问。 今有钱一百贯，买胡椒二十七石一钧一秤三斤一十二两一十八铢，欲其贵贱，秤率之，问得几何？ 答曰：其二石二钧八斤一十两，秤价四百五十七文。其二十四石三钧一十斤二两一十八铢。 秤价四百五十六文。 术曰：列椒通铢得一百二十六万二千八百九十八为法，列钱以五千七百六十乘之，得五亿七千六百，为实，实如法而一，得四百五十六文，为贱秤价内加一文，即贵秤价。不尽一十一万八千五百一十二，反减下法，余一百一十四万四千三百八十六，以石钧斤两铢法除之，得二十四石三钧一十斤二两一十八铢，为贱数。其不尽一十一万八千五百一十二，以石钧斤两铢法除之，得二石二钧八斤一十两，即贵数。合问： 今有钱二百五十贯，买桂花一十二石三钧一秤一十三斤九两四铢，欲其贵贱斤率之，问各几何？ 答曰：其五石一秤一十三斤五两八铢；斤价一百六十一文。其七石三钧三两二十铢。 斤价一百六十文。 术曰：列钱以三百八十四乘之，得九千六百万为实，列桂花通铢得五十九万八千四百九十二为法，实如法而一，得一百六十文，为贱斤价内加一文，即贵斤价不尽二十四万一千二百八十，反减下法，余三十五万七千二百一十二，以石钧两铢法除之，得七石三钧三两二十铢，为贱数。其不尽二十四万一千二百八十，以石秤斤两铢法除之，得五石一秤一十三斤五两八铢，即贵数。合问。 今有钱三十八贯四百文，买木香一石二钧一十四斤一十四两八铢，欲其贵贱两率，问各几何？ 答曰：其二钧一斤四两，两价一十三文。其一石一十三斤一十两八铢。 两价一十二文 术曰：列术香通铢得七万四千八百四十为法，列钱以二十四乘之，得九十二万一千六百，为实，实如法而一，得一十二文，为贱两价内加一文，即贵两价不尽二万三千五百二十，反减下法，余五万一千三百二十，以石斤两铢法除之，得一石一十三斤一十两八铢，为贱数。其不尽二万三千五百二十，以钧斤两铢法除之，得二钧一斤四两，即贵数。合问。 今有钱二十八贯六百八十文，买黄蜡二石三钧一秤三斤六两八铢，欲其贵贱铢率之，问各几何？ 答曰：其三钧一十斤二两一十六铢；四铢直钱一文。其二石八斤三两一十六铢。 五铢直钱一文。 术曰：列蜡通铢得一十三万三千七百八十四为实，以钱为法，实如法而一，得四铢。直钱一文，乃贵物也，内加一铢，即贱物也；不尽一万九千六十四，乃贱价也。反减下法，余九千六百一十六，即贵价。四之得三万八千四百六十四。以钧斤两铢法约之，得三钧一十斤二两一十六铢。其不尽一万九千六十四，五之得九万五千三百二十，以石斤两铢法除之，得二石八斤三两一十六铢。合问。 新编算学启蒙卷中 [book_title]新编算学启蒙卷下 松庭朱世杰编撰 之分齐同门九问 今有五十六分之二十一，问约之几何？答曰：八分之三。 术曰：先列分母五十六于上位，次列分子二十一于下位，以子两次减其母，余一十四，母复减其子，余七，子又减其母，亦余七，乃得等数，为约法，别列分母五十六，分子二十一，各以法约之，合问但有除分者余不尽之数不可弃之。弃之则不合其源，可以为之分言之。之分者，乃乘除往来之数，还源则不失其本也。故九章设诸分于篇首者为何？谓之分者，乃开算之户牖也。缘其义闳远，其术奥妙，是以学者造之鲜矣。故张上建有云：不患乘除之为难，而患通分之为难。是也。且合减课分之术，乃群其母而齐其子，母法子实而一。平分者，母互乘，子副并，为平实，母相乘为法，以列数乘。未并者，各为列实，以列数乘法，减多益少而平。经分者，钱为实，人为法，而一。重有分者，同而通之。乘分者，子相乘为实，母相乘为法，而一。约分者，治数之繁也。&有四分之二，减而言之，即二分之一也。可约则约，可半则半。比类前问：欲买马五十六匹，已买二十一匹，问。几分中买讫几分？ 答曰：八分中买三分也。 今有甲丝八分两之七，乙丝七分两之六，丙丝六分两之五。问合之得几何？答曰：二两。 一百六十八，分两之九十五。 术曰：依之七，之六，之五。&&&母互乘子右，上得二百，九图布算八分，七分，六分&&&十四，右中得二百八十八，右下得二百八十，三位并之，共得八百六十二，为实，左行分毋相乘，得三百三十六，为法，实如法而一，不满法者各半之。合问。 今有甲钱九分钱之五，减其乙钱七分钱之三，问余几何？答曰：六十三分钱之八。术曰：依之五之三，&&母互乘子右上得三十五，右图布算，九分七分&&下得二十七，以小减多余八，为实，左行分母相乘，得六十三，为法，实如法而一，不满法者命之。合问。 今有甲持绢七分尺之五，乙持绢四分尺之三，问孰多，多几何？ 答曰： 乙绢多多二十八分尺之一。 术曰：依之五之三，&&母互乘子右，上得二十，右，下图布算，七分四分&&得二十一，以小减多余一，为实，分母相乘，得二十八，为法，实如法而一，不满法者命之。合问。 今有甲米六分斗之五，乙米五分斗之四，丙米四分斗之三。问减多益小各几何？而平。 答曰：各平一百八十分。之一百四十三 术曰：依之五，之四之三，&&&毋互乘子右，上得一百，右图布算，六分五分，四分&&&中得九十六，右下得九十。各为列实，副并得二百八十六，为平实。左行分母相乘，得一百二十，为法，又三之得三百六十，亦三因右行未并者，平实，法、实各半之，得数减右上，七减右中，一而益右下，得各平也。合问。今有六人，五分人之四，分银八两，七分两之三，六分两之五，问人得几何？答曰：一两。一千四百二十八，分两之五百一十七。术曰：依之，三之五，&&母互乘，子并之，得五十三，寄图布算七分六分&&位左行相乘，得四十二，以乘银八两，得三百三十六，并入寄位，共得三百八十九，以人分母五因之，得一千九百四十五，为实。又列六人通分内子得三十四，以银分毋四十二乘之，得一千四百二十八，为法，实如法而一，得一两，不满法者命之。合问。 今有田阔一十三分步之九，长一十八分步之十一，问为田几何？ 答曰：二十六分步之十一。 术曰：依右行子相乘&&列分母相乘，得二百三十四图布算，右行母相乘，&&为法，分子相乘，得九十九，为实，实如法而一，不满法者各九约之。合问。 今有钱三百四十六贯八百文，买丝二百九十八斤，问斤价几何？ 答曰：一贯二百六十三文。一百四十九，分文之一百一十三。 术曰：列钱数于上，为实，以丝数为法，实如法而一，不满法者各半之。合问。 今有丝二百九十八斤，斤价一贯一百六十三文，一百四十九分文之一百一十三，问直钱几何？ 答曰：三百四十六贯八百文。 术曰：列共丝于上，斤价通分内子，得一十七万三千四百，以乘上位，得五千一百六十七万三千二百，以分母一百四十九约之，合问。堆积还源门：十四问今有茭草底子，每面五十四束，问积几何？答曰：一千四百八十五束。术曰：副置五十四束，下位添一束，以乘上位，得二千九百七十，半之，得积。合问。今有圆箭一束，外周五十四只，问积几何？答曰：二百七十一只。术曰：副置五十四只，上位添六只，以下位乘之，得三千二百四十，为实，以圆法十二而一，加心箭一只，合问。 今有方箭一束，外周四十四只，问积几何？ 答曰：一百四十四只。 术曰：副置四十四只，各添四只，相乘，得二千三百四，为实，以一十六为法，而一，合问。 今有三𤰄&果子，每面底子四十四个，问共积几何？ 答曰：一万五千一百八十个。 术曰：列底子添三，以底子乘之，得数，又添二，又以底子乘之，得九万一千八十，为实，以六为法，实如法而一，合问。 今有四角&果子，每面底子四十四个，问共积几何？ 答曰：二万九千三百七十个。 术曰：列底子添一个半，以底子乘之，得数，又添半个，又以底子乘之，得八万八千一百一十，为实，以三为法，实如法而一，合问。 今有圆毬一只，径一尺六寸，问积几何？答曰：二千三百四寸。 术曰：列一尺六寸，再自乘，又九因得三万六千八百六十四寸，以十六而一，合问。今有金毬一只，周三尺六寸，厚四分，问重几何？答曰：一百八十一斤。一十一两六钱四分八厘。 术曰：列三尺六寸，以三而一，得一尺二寸，为虚实之径，再自乘，得一千七百二十八寸，又九之，十六而一，得九百七十二寸。乃虚实共积也。寄位。又列径一尺二寸，减上下厚八分，余一尺一寸二分，再自乘，得一千四百四寸九分二厘八毫，又九因十六而一，得七百九十寸二分七厘二毫，乃虚积数。以减寄。位余金积寸也。寸下分者，身外加六为两。金自方一寸，重一斤。合问： 今有茭草积一千四百八十五束，问底面几何？答曰：五十四束。 术曰：列积倍之，得二千九百七十，为实，以一为从方，一为廉法，开平方除之。合问。 今有圆箭二百七十一只，问外周几何？答曰：五十四只。 术曰：列积减一，余以十二乘之，得三千二百四十，为实，以六为从方，一为廉法，开平方除之。合问。 今有方箭一百四十四只，问外周几何？答曰：四十四只。 术曰：列积减一，余以十六乘之，得二千二百八十八，为实，以八为从方，一为廉法，开平方除之。合问。 今有三角&果子积一万五千一百八十个，问底子一面几何？答曰：四十四个。 术曰：列积六之，得九万一千八十，为实，以二为从方，三为从廉，一为隅法，开立方除之。合问。今有四角&果子积二万九千三百七十个，问底子一面几何？答曰：四十四个。术曰：列积三之，得八万八千一百一十，为实，以半个为从方，一个半为从廉，一为隅法，开立方除之。合问。今有立圆积二千三百四寸，问为立圆径几何？答曰：一尺六寸。 术曰：列积寸，以十六乘之，九而一，得四千九十六寸，为实，以一为隅法，开立方除之，即得。合问： 今有三角、四角果子各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不没，四角底子一面七个。问二色底子一面各几何？ 答曰：三角底面五个， 四角底面一十二个。 术曰：六之共积，得四千一百一十，于上位列不及七个张三位。上位倍之，加一得一十五，中位加一得八，下位得七，三位互乘。得八百四十，以减上位，余三千二百七十，为实，倍不没七加一得一十五，自之得二百二十五于上位。又列不及七加一，倍之，得一十六，以不及七乘之，得一百一十二，又加二，并入上位，共得三百三十九，为从方。又列不没七加一得八，六之得四十八，为从廉，以三为隅法，开立方除之，得三角底子一面五个，加不及七个，即四角底子一面一十二个。合问盈不足术门：九问今有人分银，不知其数，只云：人分四两，剩一十二两，人分七两，少六十两。问银及人各几何？答曰：银一百八两，人二十四。术曰：依七雨&少以盈不足维乘之，右上得八，图布算四两剩&&十四，左上得二百四十，并之得三百二十四，为实，盈不足相并得七十二，为法，列七两、四两，以少减多，余三两，约法，实实为银数，法为人数。合问。 今有人买羊，不知其数，只云：人出四百，盈一贯七百四十，人出三百，盈八百四十。问羊价没人各几何？ 答曰： 羊价一贯八百六十文、九人。 术曰：依三百盈&&以两盈维乘所出率，左上得图布算四百盈&&三百三十六贯，右上得五百二十二贯，以少减多，余一百八十六贯，为实，两盈相减，余九百为法，列四百、三百相减，余一百，约法，实实为羊价，法为人数。合问。 问雨不足者，同此术。 今有人买牛，不知其数，只云：人出五百，盈五千，人出三百，适足。问牛价没人各几何？ 答曰： 牛价七贯五百文， 人二十五。 术曰：列盈五千为实，列所出率，以少减多，余二百为法，实如法而一，得人数，以适足三百乘之，即牛价合问。问不足，适足者，同此术也。今有人持钱买丝，不知其数，只云买一斤不足。五十七文买一十二两，盈一十五文。问：人持钱没丝斤价几何？答曰：人持钱二百三十一文， 丝斤价二百八十八文。 术曰：依十二两，盈&&以盈不足维乘之，左上得二图布算十六两，不足&&百四十，右上得六百八十四，并之得九百二十四，为实，盈不足相并，得七十二为法，又列十六两，内减十二两，余四两。约法，实实为人持钱，法为丝两价。身外加六，即斤价。合问： 今有人买马，不知其数，只云九人出七贯，不足四贯七百；七人出八贯，盈一十八贯三百。问马价及人各几何？ 答曰： 马价五十三贯七百文， 人六十三。 术曰：依八千七人，盈上二&&以人数维乘所出率，左上图布算七千九人，不足上一&&得四万九千，右上得七万二千，副置相减，得二万三千，为约法，又以盈不足维乘之，左上得八亿九千六百七才万，右上得三亿三千八百四十万，并之得一十二亿三千五百一十万，为实，人数互乘，各得六十三。亦以盈不足维乘之，左中得一百一十五万二千九百，右中得二十九万六千一百，并之得一百四十四万九千，为法，各以二万三千约之，实为马价，法为人数。合问：今有甲米，不知其数，贮于四硕五斗囤中，乙误入粟，满而相和，今变为粝米，共量得三硕四斗四升。问甲米、乙粟各几何？粝米六升，折粟一斗。答曰：甲米一硕八斗五升， 乙粟二硕六斗五升。 术曰：假令甲米二硕一斗，有余一斗，令之，一硕五斗，不足一斗四升，盈不足术求之，依图甲米不足，&&维乘上二位相并，得四硕四斗，布算甲米盈。四升，为实，以盈不足相并，得二斗四升，为法，实如法而一，得甲米，反减四硕五斗，余即乙粟。按此甲米二硕一斗，乙粟二硕四斗，以六因之。得米一硕四斗四升，并之得三硕五斗，四升，课于三硕四斗四升外多一斗，故曰有余。若令甲米一硕五斗，乙粟三硕，以六因。之得米一硕八斗，并之得三硕三斗，课于三硕四斗四升，外少一斗四升，故日不足。合。 问：今有人携酒游春，不知其数，只云遇务而添酒一倍，逢花而饮三斗四升。今遇务、逢花，俱各四次，酒尽壶空。问：元携酒几何？ 答曰：三斗一升八合七勺半。 术曰：假令元酒三斗二升，有余二升，令之元酒三斗，不足三斗，乃以盈不足术求之，依图元酒不足，&&维乘上二位，相并，得一硕二升，布算元酒有余&&为实，以盈不足相并，得三斗二升，为法，实如法而一，按元酒三斗二升，倍之，内减三斗四升，余三斗；又倍之，又减三斗四升，余二斗六升，又倍，又减三斗四升，余一斗八升，又倍，又减三斗四升，外多二升，故曰有余。令之三斗，倍之，减二斗四升，余二斗六升，又倍，又减三斗四升，余一斗八升，又倍，又减三斗四升，余二升，又倍，得四升，反减三斗四升，外少三斗，故曰不足。合问：今有松竹并生，只云：松初日长五尺，竹长二尺，松日自半，竹日自倍。问松竹几何？日而长等。答曰：二日九分日之二，各长七尺七寸九分寸之七。 术曰：假令二日不足一尺五寸，令之三日，有余五尺二寸五分，乃以盈不足术求之，依图三日有余&&维乘上二位，并得一丈五尺，为布算，二日不足，&&实，并盈不足得六尺七寸半，为法，实如法而一。不满法者，各以七寸半约之，得日数也。求长者，各以第三日所长，以日分子乘之，如日分母而一，各得日分子之长，又各增二日长数，得松、竹等长也。按此二日松长七尺五寸竹长六尺乃竹不及松长一尺五寸故曰不足令之三日松长八尺七寸半，竹长一丈四尺，乃竹却过松五尺二寸半，故曰有余。合问： 今有鹅鸭九十九只，直钱九百三文。只云：鹅九只，直钱一百二十三文，鸭六只直钱四十六文。问：二色及各价几何？ 答曰： 鹅二十四只，直钱三百二十八文。 鸭七十五只。直钱五百七十五文。术曰：假令鹅二十七双，鸭七十二只，有余钱一十八文。若令鹅二十一只，鸭七十八只，不足钱一十八文。乃以盈不足术求之。依图&&&维，乘左，上得四百八十六。右鹅、鸭、钱、布算&&&上，得三百七十八，并之得八。百六十四，左中得一千二百九十六，右中得一千四百四，并之得二千七百，各自为实，并盈不足得三十六，为法而一，上为鹅数，中为䳟数。按此鹅二十七双，直钱三百六十九文，鸭七十二只，直钱。五百五十二文，并之，共得九百二十一文。课于九百三文外多一十八文故日有余若令鹅二十曰双直钱二百八十七文鸭七十八双直钱五百九十八文并之共得八百八十五文课于九百三文外少一十八文故曰不足合问方程正负门九问今有罗四尺，绫五尺，绢六尺，直钱一贯二百一十九文；罗五尺，绫六尺，绢四尺，直钱一贯二百六十八文；罗六尺，绫四尺，绢五尺，直钱一贯二百六十三文。问罗、绫、绢尺价各几何？答曰：罗九十八文，绫八十五文，绢六十七文。 术曰：罗积绢&&&&便，以&右行直减中左二行。依图，罗绫绢&&&&中行罗正一，绫正一，绢负布算罗绫绢&&&&二钱，正四十九；左行罗正二，绫负一，绢负一钱，正四十四。又以右上罗四尺遍因中、左二行，仍用右行同减异，加中行罗空绫正一，绢，正十四钱，正一贯二十三文。又以右行二次同减异，加左行罗、空绫正十四，绢，正十六钱，正二贯二百六十二文。又以中行绫十四次直减左行罗、绫空，余绢一百八十尺，钱一十二贯六十文。上法下实而一，得绢尺价。以乘中行绢，就减中行钱，余，即绫尺价。就乘右行绫五尺，得四百二十五，以减右下钱。又以绢尺价乘右行绢六尺，得四百二文，又减右下钱，余三百九十二文。以四约之，得罗尺价。合问： 今有二马三、牛四、羊价，各不满一万。若马添牛一，牛添羊一，羊添马一，各 ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜