[book_name]自然哲学的数学原理 [book_author]牛顿 [book_date]不详 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]外国名著,完结 [book_length]345656 [book_dec]英国物理学家、力学家、数学家牛顿(Sir Isaac Newton,1642—1727)著。中译本由郑太朴据英国剑桥1725年第3版译出,商务印书馆1931年初版,1962年重印。牛顿出身于英国林肯郡格兰汉镇附近沃尔斯索普的农民家庭。1661年进剑桥大学三一学院读书,先后获学士、硕士学位。1669年任剑桥大学教授。1688年当选国会议员。1703年当选为英国皇家学会会长。主要著作有《光和色的新理论》(1672)、《光学》等。《自然哲学的数学原理》是牛顿的主要著作,也是科学发展史上划时代的重要文献。1687年初版。全书3编。第1、2编论物体的运动,第3编论宇宙系统。所谓自然哲学,就是物理学。牛顿在书中总结了17世纪科学家在力学研究上取得的成就,创造性地提出了物体运动的三大基本定律:惯性定律,力和运动的关系定律,作用与反作用定律;并用数学原则对万有引力定律作了详尽的论证阐释,建立了一个统一概括地球的运动规律和天体的运动规律的力学理论体系,实现了人类对自然的认识史上的第一次理论大综合,代表了当时时代的科学高度,直到20世纪初,爱因斯坦提出相对论,才对牛顿建立的古典力学作出了革命性的突破。 [book_img]Z_10607.jpg [book_chapter]序 [book_title]伊萨克·牛顿爵士，83岁 Ⅰ.范德班克1725年绘，Geo.文图1726年刻 致人杰 伊萨克·牛顿 我们的时代和民族的伟大荣耀以及这本数学-物理学著作 请看天空的布局，神圣物质的平衡， 请看朱庇特的计算，和造物主的规则 他在初创万物时制订 连他也不会违反，这是他工作的基础。 天空最深处的秘密被揭示， 使最外面的天球旋转的力不再隐藏。 太阳坐在他的宝座上命令万物 向他降落，但天体不在直线上奔跑， 当他们穿过无际的虚空； 他催促他们，以他为中心在不动的轨道上环绕。 现在已知骇人的彗星走过的弯曲路径； 扫帚星的天象不再令人惊奇。 由此书我们终于知道，皎洁的月神 以不等的步子前进的原因；为何到目前 她未曾向众多的天文家低首； 交点为何退行，拱点前移又何为。 我们又知道，漫游的狄安娜用多大的力 推动海潮退去，倦了的海洋在身后 留下海草，水手怀疑赤裸的海岸； 高高的浪头轮流拍打岸边。 所有这些，让古代的贤人苦恼， 学派之间徒然地争吵， 我们看到，数学驱散云雾。 错误和怀疑不再将我们缠绕； 因为借自天才的羽翼，我们能进入神的居室 并且升入高高的天空。 自然哲学的数学原理 凡夫俗子啊，起来！抛掉俗念； 并由此认识天赐的智力， 它更远离畜群的生活。 那个人用写在石板上的律令戒除谋杀， 偷盗，私通和作伪证的罪恶； 教游牧的人筑墙建城的 是他，谷物女神的礼物使这些民族免于匮乏， 他压榨葡萄让人欢乐， 又显示怎样连合尼罗河的芦苇 在眼前写下表示声音的符号； 人的命运的提高，和他们悲惨的生活 所得的关怀一样少。 可现在我们被允许进入诸神的宴会，能 研究高天的规律，我们也有开启 大地隐秘的钥匙，知道事物不变的秩序， 和过去难以索解的东西。 你们，啊！饮天神美酒的人， 来与我一起歌唱牛顿 的名字， 他打开了隐藏真理的宝匣， 牛顿 ，缪斯垂青的人，阿波罗 居住在他纯洁的心中，他充满了神力； 比任何一个凡人更接近神。 埃德蒙·哈雷 致读者 作者的序言 由于古代人（正如帕普斯 所说）在自然事物的研究中极重视力学；而现代人 ，抛开实体 的形式和隐藏的性质（qualitates occultae），努力使自然现象从属于数学的定律：因此 这一专著的目的是发展数学，直到它关系到哲学时为止。而古代人按两个部分组织力学，理性的，它通过精确的证明进行，和实践的。所有的手工技艺属于实践的力学，力学之名也取自于此。但由于工匠习惯于较不精确的工作，使得整个力学与几何学分离，凡精确的归于几何学，凡较不精确的归于力学。但是错误不在技艺，而在工匠。工作较不精确，则力学是较不完善的；且如果能有最精确的工作，就有完全的完善无比的力学。因为画直线和圆，在其上几何学被建立，属于力学。几何学不教导画这些线，但需要这些线。即要求新手也画得如同他早先受过指导那样精确，由此他进入几何学的门槛；然后教他何以问题被这些做法解决 。画直线和圆是问题，但不是几何学的问题。这些解的要求来自力学，在几何学中教导应用这些解。且几何学以从它处得来的如此少的原理得出如此多的东西为荣。所以几何学以力学的实践为基础，且它不是别的，而是普遍的力学的那个部分，它提出和证明精确的测量的技艺。但是由于手工工艺习惯用于移动物体，致使通常物体的大小从属于几何学，运动从属于力学。在这种意义上理性的力学是运动的科学，它精确地提出并证明来自无论任何种类的力的结果，以及产生任意运动所需要的力。力学的这个部分，就它的从属于手工工艺的五种能力（potentae quinque）而言，已被古代人发展过，他们考虑重力（它不是手工的能力）不 过是移动重物的那些能力。但是我们讨论的是哲学而非工艺，并陈述自然的而不是手工的能力，且极力深究与重力、轻力（levitas）、弹性力、流体的阻力以及无论是吸引的或者是推 动的那类力有关的事项；所以我奉献这一著作作为哲学的数学原理。因为哲学的整个困难看起来在于：从运动的现象我们研究自然界的力，然后从这些力我们证明其他的现象。为此目的，对于普遍的命题，我在第一卷和第二卷中详加研究。但在第三卷中我提出这类事情的一个例子，通过它说明宇宙的系统。因为在那里，由天体的现象，通过在前两卷中用数学证明的命题，导出重力，由它物体趋向太阳和每一个行星。然后由这些力通过也是数学上的命题 ，导出行星的、彗星的、月球的和海洋的运动。我期望其余的自然现象能由力学的原理用同 类的论证导出。因为许多理由使我怀疑它们可能都依赖某些力，由它们物体的小部分 （1） （particula），由一些至今尚不知道的原因，彼此相互碰撞并按规则的图形凝结，或彼此驱 赶并退离；由于这些力未知，哲学家迄今对自然的尝试是徒劳的。但是我希望这里建立的原理 会使这一或其他更真实的哲学方法更清楚。 在本书的出版中，极聪慧且精通所有学科的杰出人士埃德蒙·哈雷 勤奋工作，他不仅校正样 张并监督雕刻几何图形，而且他是我走向此书出版的发起者。事实上，在他获得我对天体的轨道的证明后，他不断催促我将此呈送皇家学会 ，此后承蒙他的劝勉和好意，我开始计划将它公之于众。但我既已着手月球的运动的均差，而后我也开始尝试其他问题，它们属于重力和其他力的定律和度量，以及物体按照任意给定的吸引定律画出的图形，多个物体彼此之间 的运动，在阻力介质中物体的运动，介质的力，密度和运动，彗星的轨道，等等，出版的时 间比我预想的推迟了，以便我能探究其余问题并把它们一起刊行。属于月球的运动（它虽然 不完备）的内容，我把它们都放在命题LXVI的诸系理中，避免用与主题不适当的一个冗长方 法分别证明包含在这里的问题，而且打断其余命题的顺序。后来发现的一些结果，我宁愿把 它们插在一些不大合适的地方，而不改变命题和参见的序号。我恳求读者坦诚对待他所读 到的一切，在研究时不过于苛求我在如此困难的题材上的错误，而以新的努力善意地加以补充。 1686年5月8日 剑桥，圣三一学院 伊·牛顿 第二版 作者的序言 在《原理 》的这个第二版中，多处被修正且有一些增添。在第一卷第II部分，求力，由此力物体能在给定的轨道上运行，被呈现得更容易且更丰富。在第二卷第VII部分，流体的阻力 的理论被精确地加以研究，且被新的实验所证实。在第三卷中，月球的理论和岁差由它们自身的原理更完满地导出，且彗星的理论被更多且更精确的轨道计算的例子所证实。 1713年3月28日 伦敦 伊·牛顿 [book_title]第二版 编者的序言 我们把长期期待的新版牛顿的哲学奉献给您，善意的读者，它含有许多修订和增补。这一无与伦比的著作的主要内容，可从所附的目录中得知；增补和改动的内容在作者的序言中已给予指示。剩下要我们增加的是关于这一哲学的方法这方面的东西。 从事物理学研究的人大致可分为三类。其中的一些人给每一类事物赋予特别的且隐蔽的质，然后由此宣称每个物体的行为属于人所不知不识的方式。源自亚里士多德 和逍遥学派的经院学派的整个教义基于此。的确他们断言每一种效果起源于物体的特别的性质；但他们没有教我们那些性质从何而来，因此他们什么也没有教。且因为他们全都关心事物的名称而不是事物本身，他们应被认为是发明了哲学谈论，而并未传习哲学。 所以，其他人希望通过抛弃这些无用的混杂的词汇，以辛勤的努力获得称誉。且因此他们以为所有的物质是同质的，在物体上被辨别出来的各种变形起源于构成它们的小部分的非常简单的和极容易理解的相互关系。如果他们不把小部分的原始的相互关系归之于自然所赋予的关系之外的关系，他们建立的从简单事物到更复杂的事物的进程是正确的。但当他们利用自由，随意想象人们所不知道的部分的形状和大小，以及不确定的位置和运动，且甚至虚构隐蔽的流体，它们能非常自由地流入物体的小孔，因为它们具有全能的细微性，且由隐蔽的运动所推动；当他们这样做时，便陷入梦想，忽视了事物的真正构造；当它甚至由最确定无疑的观察也难于发现时，由虚假的猜想寻求更是徒然。那些把假设作为他们推测的基础的人，即使他们之后按照力学的定律极精确地发展，也只是一出传奇，也许优雅而动人，然而不过 是认真准备的传奇。 现在剩下的是第三类，也就是那些坦率地承认实验哲学的人。的确可能存在从最简单的原理导出一切事物的原因，但他们不把尚未由现象确定的东西作为原理。在物理学中他们既不虚构，也不接受假设，除非是为了讨论问题的真理性。所以他们发展了双重的方法：分析的和综合的方法。从某些选择的现象用分析法导出自然界的力和更单纯的力的定律，然后由它们通过综合法给出其他现象的构造。这是最佳的哲学方法，是我们无与伦比的作者认潍应优先采用的方法。且独自认为这值得用他的劳作耕耘和点缀。所以对此他给出了最有名的一个例子，即是极幸运地从重力的理论导出了宇宙的系统的解释。其他一些人曾怀疑或想象重力属于物体的普遍特性，但他是第一个且惟一的一个人，他能从现象证明它且把他的出色的研究建立在最牢固的基础之上。 我确实知道有些人，他们甚至还享有盛誉，被一些偏见影响甚深，不易赞同这个新的原理，且宁愿选择不确定的概念甚于确定的概念。我的本意并不是挑剔他们的名声，而是想给您，善意的读者，一个简要的说明，使您能在这场辩论中作出不偏不倚的判断。 所以，为了从最简单和最近的东西开始我们的讨论，让我们稍微考虑一下地球上的物体的重力的本性是什么，然后当我们考虑天体时，它们离我们极为遥远，能进行得更稳妥。现在在所有的哲学家中间一致同意，地球附近的所有物体有向着地球的重力。多重的经验久已证明，没有真正轻的物体。所谓的轻是相对的，不是真正的轻，而只是表面上的；且这起源于附近物体的重力占优势。 此外，由于所有物体的重力向着地球，因此地球反过来有向着物体的相等的重力；因为重力的作用是相互的且在两个方向上相等，这可如此证明。假设整块地球被分成任意的两个部分，或者相等或者无论如何地不相等；现在如果向着对方的部分的重量彼此不相等，较小的重量退让较大的重量，且部分联合起来朝着较大的重量趋向的方向，沿直线运动无限地运动；这与经验完全矛盾。因此必须说，部分的重量处于平衡，这就是，重力的作用是相互的且在两个方向上相等。 物体的重量，在离地球的中心相等的距离，如同在物体中的物质的量。这从所有物体从静止由它们的重力下落，加速度相等推得；因为力，由它不相等的物体被相等地加速，必须与被移动的物体的物质的量成比例。现在，所有的下落物体被相等地加速，由此在波义耳的真空中，它们在下落中在相等的时间画出相等的空间，是显然的，那里空气的阻力被除去；且这由摆的实验可以更精确地证明。 物体的吸引力，在相等的距离，如同在物体中的物质的量。因为，由于物体向着地球的重力，且反过来地球向着物体以相等的势有重力；地球的重力向着任何一个物体，或者力，由它物体牵引地球，等于向着地球的物体的重量。但这个重量如同在物体中的物质的量，且因此，力，由它每个物体牵引地球，或者物体的绝对力，如同同一物体的物质的量。 所以，整个物体的吸引力起源于且由部分的吸引力复合而成，因为物质的块被增大或者减小，由已证明的，它的力成比例地增大或者减小。因此地球的作用必定是它的部分的作用联合起来的结果；因此地球上的所有物体必须以绝对的力相互吸引，此力按照吸引的物质的比。这是地球上重力的性质，现在让我们看看它在天上的情形如何。 每一个物体都保持它自身的或者静止或者一直均匀地运动的状态，除非被施加于它的力迫使它改变那种状态为止；这是被所有的哲学家所接受的自然界的一条定律。由此得出，物体，它们在曲线上运动，不断地从与它们的轨道相切的直线上离开，被某个持续作用的力保持在曲线的路径上。所以行星在曲线轨道上运行，必须有某个力，由它的反复作用它们不停地从切线偏转。 现在承认某些事情是适宜的，它们被用数学方法推得且以极大的确定性被证明；即是，所有物体，它们在一个平面上画出的曲线上运动，由它们向一个静止的或者以任何方式运动的点引半径，［此半径］围绕那个点画出的面积与时间成比例，则它们被趋向同一个点的力所推动。所以，由于在天文学家中都承认一等行星 （2） （planeta primarius）围绕太阳，二等行星 （3） （planeta secundus）围绕它们自己的一等行星，画出的面积与时间成比例；因此那个力， 由此力它们被持续从切线上拉离并被迫在曲线轨道上运行，指向位于轨道的中心的物体。所以这个力，相对于运行的物体，被称为向心力是合适的，无论最终如何想象它起源的原因。 也必须承认这些结论，且它们在数学上已被证明；如果一些物体以相同的运动在同中心的圆上运行，且如果循环时间的平方如同离公共的中心的距离的立方，则运行的物体的向心力与距离的平方成反比。或者，如果物体在轨道上运行，轨道与圆相近，且轨道的拱点静止，则运动的物体的向心力与距离的平方成反比。天文学家承认对所有的行星，其中的一种情形成立。因此所有行星的向心力与它们离轨道的中心的距离的平方成反比。如果有人反对说，行星的，而且尤其是月球的拱点，不是完全的静止，而是被一种缓慢的运动携带着前行，对此可以这样回答，即使我们承认这一极缓慢的运动起源于与二次比略有偏差的一种向心力，由数学能发现那个偏差但全然感觉不到，因为月球的向心力的比，它在行星之中最不规则，实际上稍微超过二次；但它对二次的接近几乎是它对三次接近的六十倍。如果我们说拱点的这种前进，不是起源于它与二次比的偏差，而是起源于另外的完全不同的原因，这是更正确的答复，正如在这一哲学中令人敬佩地显示的。所以存在向心力，由它一等行星朝向太阳，以及二等行星朝向它们自己的一等行星，精确地与距离的平方成反比。 由到目前为止所说的，行星由某一持续作用于它们之上的力而被保持在自己的轨道上是显然的，那个力总是指向轨道的中心也是显然的，很清楚它的效力在靠近中心时增大，在远离中心时减小，且实际上增大按照与距离的平方减小相同的比，减小按照与距离的平方增大相同的比。现在让我们比较行星的向心力和重力，看它们是否碰巧是同类。如果在此一种力中和彼一种力中发现相同的定律，以及相同的特性，它们应属于相同的类。所以，让我们首先考虑月球的向心力，它离我们最近。 直线的空间，它由自静止下落的物体，且在任意力的作用下在运动刚开始时在给定的时间画出，与力本身成比例；这是用数学推理得到的。所以，月球在它自己的轨道上运行的向心力比在地球的表面上的重力，如同空间，它由月球由向着地球的向心力在极短的时间画出，如果设想它失去整个圆周运动；比一个空间，它由在地球附近的一个重物由它自身的重力下落，在同样短的时间画出。这些空间中的前一个等于月球在相同的时间画出的一段弧的正矢，因为这个正矢是月球由于向心力从切线离开的度量，因此能由给定的月球的循环时间，以及给定的它离地球的中心距离计算。后一个空间由摆的实验被发现，正如惠更斯 所指示的。由此运行计算，前一个空间比后一个空间，或月球在它自己的轨道上运行的向心力比在地球的表面上的重力，如同地球的半直径的平方比［月球的］轨道的半直径的平方。由上面所证明 的，月球在它自己轨道上运行的向心力比月球临近地球的表面时的向心力有相同的比。所以这个临近地球的表面的向心力等于重力。因此它们不是不同的力，而是一种并且是相同的力；因为如果它们是不同的，物体由联合的力作用将以两倍于物体单独由重力作用的速度向地球下落。所以那个向心力，由它月球持续被从切线拉离或者推开，并被保持在轨道上，与地球的一直延伸到月球上的重力是相同的。且实际上这种力能延伸到遥远的距离是合理的，因为即使在最高的山顶也感觉不到它的减小。因此月球受向着地球的重力作用；当处理海洋的潮汐和岁差时，它们起源于月球和太阳对地球的作用，这个事实在这一哲学中被充分地证实了。因此我们最终得知在离地球更大的距离上重力减小的定律。因为由于重力与月球的向心力不是不同的，这个力按距离的平方减小，因此重力按相同的比减小。 现在让我们论及其余的行星。因为一等行星围绕太阳运行且二等行星围绕木星和土星运行的 现象与月球围绕地球运行的现象属于同一种类，此外因为已经证明一等行星的向心力指向太 阳的中心，二等行星指向木星的或者土星的中心，如同月球的向心力指向地球的中心，再者 ，因为所有这些力与离中心的距离的平方成反比，如同月球的力与离地球的距离的平方成反比；必须做出这样的结论：所有行星的本性是相同的。因此，正如月球受向着地球的重力作用，且反过来地球受向着月球的重力作用，所以所有的二等行星受向着它们自己的一等行星的重力作用，且反之一等行星受向着二等行星的重力作用；且所有的一等行星受着太阳的重力作用，且反过来太阳受向着一等行星的重力作用。 所以，太阳受向着所有的行星的重力作用且所有的行星受向着太阳的重力作用。因为二等行星伴随它们自己的一等行星，与一等行星一起围绕太阳运行。由此由同样的论证，两种行星中的任何一种受向着太阳的重力作用，且太阳受向着它们的重力作用。此外，二等行星受向着太阳的重力作用，由月球的均差非常显然；与此有关的极精密的理论，以惊人的敏锐在我们拥有的这部著作的第三卷中阐明。 太阳的吸引力向各个方向传播到极远的距离且扩散到周围空间的各个部分，由彗星的运动这非常明显；因为彗星，从极远的间隔出发跑到太阳的附近，而且有时如此接近太阳，以至它们的近日点似乎与太阳的球相接触。以前的天文学家徒劳地寻找这些彗星的理论，最终在我们的时代，我们的最杰出的作者成功地发现了此理论且它由观测以极大的确定性得到了证明 。所以，彗星显然在焦点在太阳的中心的圆锥截线上运动，且向太阳所引的半径画出的面积 与时间成比例。由这些现象很清楚且在数学上被证明，那些力，由它们彗星被保持在它们自己的轨道上，指向太阳且与离太阳的中心的距离的平方成反比。因此彗星受向着太阳的重力 作用，且由此太阳的吸引力到达行星的本体，它们以给定的距离且几乎在相同的平面上，而且也到达彗星，它们以极不相同的距离处在天空中极不相同的区域。这是有重力的物体的本 性，所以，它们向所有的距离，向所有的有重力的物体传播它们自身的力。由此得出，所有的行星和彗星彼此相互吸引，且彼此相互有重量；这也由天文学家所知道的木星和土星的摄动所证实，这起源于这些行星彼此的相互作用；这又由拱点的那些极缓慢的运动所证实，正如上面提到的，它起源于完全相似的原因。 最终我们到达了这种地步，我们必须承认，地球和太阳，以及一切天体，它们伴随太阳，是相互吸引的。所以它们之中每一个中的每一个极小的小部分按照物质的量有它们自己的吸引力；正如上面对地球上的物体所指明的。且在不同的距离，它们的力是距离的二次反比；因为在数学上已经证明，由按照这一定律相吸引的小部分构成的球必定按照相同的定律相吸引。 以上的结论依赖一个公理，它为所有哲学家接受，即是，同一种类的效果，亦即它们的已知性质的效果是同样的，有同样的原因，且那些尚未知道的性质也相同。因为如果重力是石块在欧洲 下落的原因，谁会怀疑在美洲 下落的石块的原因是相同的呢？如果在欧洲 ，重力在石块和地球之间是相互的，谁会否认它在美洲 是相互的呢？如果在欧洲 ，石块的和地球的吸引力由部分的吸引力合成，谁会否认在美洲 此力有类似的合成呢？如果在欧洲 ，地球的吸引被传播到各类物体和所有的距离，为何我们不说在美洲 它按同样的方式传播呢？所有的哲学都建立在这条规则上，因为，如果它被取消，我们对于事物不能普遍地下断言。个别事物的构造通过观察和实验可以知道；由此其实我们不能断定事物的普遍性质，除非通过这条规则。 现在，由于所有物体，它们或者在地球上或者在天上被发现，允许对它们进行实验或观察，都是有重量的，必须完全承认重力普遍地属于所有物体。且正如我们不应想象物体不是广延的、不可运动的和不可入的；因此我们不应想象它是没有重量的。物体的广延性、可运动性和不可入性不能被知道，除非通过实验；重力由完全相同的方式被知道。所有的物体，对于它们我们做过观察，是广延的、可运动的和不可入的：且由此我们得出结论，所有的物体，即使那些我们没有做过观察的，是广延的、可运动的和不可入的。因此所有的物体，对它们我 们做过观察，是有重量的，且因此我们得出结论，所有的物体，即使我们没有做过观察的，是有重量的。如果有人说恒星上的物体是没有重量的，因为尚未观察到它们的重力；则由同样的论证它们既不是广延的，又不是可运动的，也不是不可入的，因为恒星的这些性质尚未被观察到。在所有物体的根本性质中，或者重力有一个位置，或者广延性、可运动性和不可入性没有位置，且事物的本性或者能正确地由物体的重力解释，或者不能由物体的广延性、可运动性和不可入性解释。说话有什么用？ 我听说有些人不赞成这些结论，并且对隐蔽的性质自言自语。他们习惯不断地争论重力是隐蔽的，而隐蔽的原因应完全地逐出哲学。但对此的问答是容易的，隐蔽的原因，不是那些它们的存在性通过观察被非常清楚的证明了的原因，而是那些它们的存在性是隐蔽的和想象的，而是尚未证实的。所以重力不是天体运动的一个隐蔽的原因，因为从现象已经证明这种力确实是存在的。毋宁说隐蔽的原因是那些人的庇护所，他们把这些运动的主导赋予一种涡漩（vortex），涡漩的物质完全是虚构的且全然不能被感觉所认识的东西。 但是因为重力的原因是隐蔽的且尚未被发现，因此能把重力称为隐蔽的原因并从哲学中抛弃吗？那些如果相信的人应当心不要相信一种谬论，它最终可能颠覆整个哲学的基础。因为原因通常是沿着一条连续的链从复合的原因发展到较为简单的原因，当到达最简单的原因时，就不能继续前进。所以不可能给出最简单的原因以力学的解释，如果能给出解释，则这个原因尚不是最简单的。因此你称这个最简单的原因是隐蔽的，并抛弃它们？但同时最直接依赖它们的原因，以及依赖这些原因的原因，也应被抛弃，直到哲学被掏空且所有的原因被清除为止。 有些人说重力是超自然的，并称之为一种永恒的奇迹。因此它们主张抛弃它，由于在物理学中没有超自然的原因的位置。几乎不值得占用时间驳斥这一完全荒谬的反对意见，它自身颠覆哲学的一切。因为他们或者否认重力存在于所有物体中，但不能这么说；或者他们断言重力是超自然的，因为它不起源于物体的其他作用，因此也不起源于力学的原因。毫无疑问存在物体的原始状况（primariae affectiones），因为是原始的，所以不依赖其他的状况。所以让他们考虑所有这些是否同样是超自然的，且因此应同样地被抛弃；让他们考虑接下来的哲学是个什么样子。. 有些人之所以不喜欢这整个的天体物理学，是因为它与笛卡儿 的学说相矛盾，而且似乎不能被调和。这些人自由享有他们自己的意见；但应该公平行事，不要否认别人有同样的自由，这种自由是他们为自己要求的。所以牛顿 的哲学，我们认为它更真实。应该允许我们保持和接受，宁可追随被现象证实的原因而不是想象的尚未被证实的原因。从真实存在的原因导出事物的本性，并寻找那些定律，由它们最高的创造者建立了这个最美丽的世界的秩序，而不是那些当他认为它们正确时他能造成这个世界的那些规律，属于真正的哲学。因为同样的结果起源于多种原因，它们彼此有些不同，是合乎理性的，但是真正的原因是那个原因，由它那个结果真正地且实际上被产生，其他的原因在真正的哲学中没有位置。在自动的时钟中，时针的相同运动或者起源于悬挂的重物或者内置的弹簧的作用。但是如果出现的时钟确由重物推动，那么一个人会被嘲笑，如果他想象一条弹簧，并且以这样仓促的一个假设去解释时针的运动，因为他应该更深入地检查机器的内部机制，以便找到对象的运动的真正的原理。对那些哲学家应作出同样的或者类似的判断，他们认为天空充满某种极精致的物质，它在涡漩中无休止地运动。因为即使他们从他们自己的假设能以极大的精确性满足现象，仍然不能说他们已把真正的哲学交付给我们并已经发现了天体运动的真正的原因，除非他们证明这些原因确实存在，或者至少证明其他的原因不存在。所以，如果能证明所有物体的吸引在事物的本性中占有一个真正的位置，由此能进一步证明一切天体的运动是如何由那种吸引解决的，则任何人说同样的运动应通过涡漩来解释，就是空虚的和可笑的反对意见，即使我们完全承认这种解释的可能性。但是我们不予承认，因为现象不能通过利用涡漩来解释，它被我们的作者用最清楚的理由完全地证明了；那些用他们的不结果实的努力修补最拙劣的杜撰，又饰以新的评注的人，定是沉迷于他们的梦幻。 如果行星的和彗星的本体被涡漩携带着围绕太阳，被携带的本体与直接包围它们的涡漩的部分应以相同的速度和方向运动，且按照物质的大小，应有相同的密度或相同的固有的力。的确行星和彗星，当它们出现在天空中的相同的区域，以变化的速度和变化的方向运动。因此必须使得天空中的流体的那些部分，它们离太阳的距离相等，在相同的循环时间沿不同的方向以不同的速度运行；因为对穿过的行星，必须一个速度和一个方向；对穿过的彗星，需要另一个速度和另一个方向。由于这不能被说明，或者必须承认所有的天体不是被一个涡漩的物质所携带。或者必须说它们的运动不是从一个且同一个涡漩而来，而来自多个彼此不同的涡漩，它们遍布太阳周围的同一空间。 如果在同一空间包含几个涡漩，它们彼此相互渗透且以不同的运动旋转；因为这些运动必须与携带的物体的运动相适应，它们是极为规则的，且在圆锥截线上进行，有时偏心率极大且有时形状很接近圆；询问经过这么多世纪，在相遇物质的作用下，何以这些涡漩能保持它们的完整性而不受扰动，是正当的。无疑，如果这些想象的运动比行星的和彗星的那些真实的运动更复杂且更难于解释；我认为接受它们进入哲学是无益的，因为所有的原因应比结果简单。允许幻想的自由，如果有人断言所有的行星和彗星被大气层所包围，这个假设似乎比涡漩的假设更合理。其次，他断言这些大气，由于它们自身的本性，环绕太阳运动并画出圆锥截线；无疑这种运动比彼此渗透的涡漩的相似的运动更容易想象。最终，他断定行星和彗星被它们自己的大气携带着环绕太阳；且由于发现了天体运动的原因，他庆祝自己的胜利。凡是以为这一虚构应被抛弃的人也会认为应抛弃另一虚构，因为一堆土丘中的两只貉之间也不比大气层的假设和涡漩的假设更为相似。 伽利略 曾经证明，当一个石块被抛射时，它在一条抛物线上运动，它从直线路径的偏折起源于石块向下的重力，亦即，起源于一种隐蔽的性质。然而可能有某个人，他甚至更聪明，找到了其他的哲学上的原因。因此他想象那种精致的物质，它既不能被看到，也不能被摸到，也不能被其他感官感觉到，出现在紧挨着地球的表面的区域。此外，这种物质，在不同的方向，被各种且大多是相反的运动携带着，并画出抛物线。然后他优雅地讲解石块的偏折，并赢得众人的喝彩。他说，石块漂浮在那精致的流体中，遵循流体的路径，不可能画出别的而只画出与流体相同的路径。但是流体在抛物线上运动，所以石块必须在抛物线上运动。现在这个哲学家从力学的原因，即物质和运动，在甚至常人也能理解的水平上绝妙地导出了自然界的现象，谁会不惊奇他的绝顶天才呢？那个新伽利略 ，他以数学上的很大的努力，搬回了幸喜从哲学中被排除的隐蔽的性质，谁会不讥笑他呢？但我羞于在这些琐事上浪费更多的时间。 事情的概要归结于此：彗星的数目是巨大的，它们的运动极为规则，且服从与行星的运动相同的定律。它们在圆锥截线的轨道上运动，这些轨道是极为偏心的。它们从四面八方出现在天空的各个部分，且极为自由地穿过行星的区域，而大多按逆［黄道十二］宫 （4） 的方向前进。这些现象由天文观测已被确定无疑地证实了，而且不能由涡漩解释。再者，这些现象与行星的涡漩不能并存。天空中全然没有彗星运动的地方，除非那些虚构的物质完全地从天上被驱除。 因为，如果行星被涡漩运载着环绕太阳，涡漩的部分，它们紧挨在行星的周围，它们的密度与行星的密度相同，正如上面所说的。所以，所有的那些物质，它们贴着大轨道 （5） （orbis mangus）的边缘，与地球的密度一样；同时位于大轨道和土星的轨道之间的物质，或者有相等的或者有较大的比重。因为，为了使涡漩的结构能持续，密度较小的部分应占据中心，较重的部分离开中心较远。因为行星的循环时间如同按照离太阳的距离的二分之三次比，涡漩的部分的循环应保持相同的比。由此得出，这些部分的离心力与距离的平方成反比。所以那些离中心间隔较远的部分，以较小的力努力远离同一中心；因此，如果它们的密度较小，则必然退让较大的力，由这个力靠近中心的物质努力上升。所以较致密的部分上升，密度较小的部分下降，且发生位置彼此的交换，直到在整个涡漩中的流体物质如此排列和调整，使得流体处于平衡而静止的状态。如果两种流体，它们的密度不同，被盛在同一容器中，无疑使密度较大的流体由于较大的重力前往较低的位置；由相似的理由，涡漩的较致密的部分由于较大的离心力前往最高的位置。所以那个涡漩的绝大部分，此涡漩位于地球的轨道的外侧，所具有的密度以及按物质的大小的惰性的力，不小于地球的密度和惰性的力，由此对经过的彗星产生一个巨大的阻力，且强大得能感觉得到，不用说似乎它应当完全停止并吸收它们的运动。然而由彗星的全然是规则的运动，很清楚它们没有遇到一点点能被感觉到的阻力，因此它们没有遭遇任何物质，它有某种阻力，或者由此它有某种密度或者内在的力，因为介质的阻力或者起源于流体的物质的惰性，或者起源于它缺乏润滑性。但起源于润滑性缺乏的阻力极端微小，且很难在通常的流体中观察得到，除非它像油和蜂蜜那样很黏滞。在空气、水、水银以及任何非黏滞的流体中，［物质］所受到的阻力几乎全属于前一类；且不能通过精细性达到任何更高的程度而被减小，如果流体的密度或者惰性力被保持，它总与这个阻力成比例；这被我们的作者在他卓越的阻力理论中最清楚地证明了，在这个第二版中换上了更为精彩的说明，且由下落物体的实验予以更充分的证实。 当物体在前进时，它们把自身的运动逐渐地传递给周围的流体，且由于传播它们失去运动，又由于失去运动而被迟滞。因此，迟滞与传递出去的运动成比例；且被传递的运动，当物体前进的速度被给定时，如同流体的密度，所以迟滞或者阻力如同相同的流体的密度；且不能以任何方式被除去，除非流体跑回到物体的后面部分恢复它失去的运动。但是这是不可能的，除非流体在物体的后面部分施加的压力等于流体在物体的前面部分施加的压力，这就是，相对的速度，由它流体从后面冲撞物体，等于一个速度，由它物体冲撞流体，亦即，除非流体跑回的绝对的速度两倍于流体向前推进的绝对的速度，这是不会发生的。所以没有一种方法能除去流体的阻力，它起源与流体的密度和惰性力。由此结论是：天空中的流体没有惰性力，因为它没有阻力；它没有一种力，由它运动能被传递，因为它没有惰性力；它没有一种力，由它能引起一个或多个物体的任何变化，因为它没有能传递运动的力；它没有任何作用，由于它没有引起任何变化的能力。所以这个假设，完全缺乏根据且对解释事物的本性毫无用处，可被恰当地称之为最拙劣的假设，且对哲学家全无用处。那些认为天空中充满流体物质的人，并假设这种物质没有惰性；虽然说没有真空，但事实上假设存在真空。因为，由于无法区别这类的流体物质和虚空，整个争论是关于事物的名称而非其本性。如果有人如此专心致志于物质，以致不承认物体的真空，让我们看看这会把他们引向何处。 因为或者他们说宇宙的这种处处被充满的构造来自上帝的意志，他们如此想象道，目的是使非常精致的以太（æther）渗透并充满所有的东西以帮助自然的造化之功；但是不应这样说，因为从彗星的现象已经证明这种以太没有作用；或者他们会说宇宙的这种构造来自上帝的意志，他为了某个谁都不知道的目的；他们不应这样说，因为由同样的论证，宇宙的一种不同的构造同样能被建立。或者最后他们会说，它不是起源于上帝的意志，而是起源于自然的某种必然性。且因此最终他们必定堕入卑劣的、可耻的和最不纯洁的一类人中。他们梦想着所有事物由命运而不是由天意统治，物质由于它自身的必然性时时存在且处处存在，并且是无限的和永恒的。由这个假设，物质到处是均匀的，因为形状的变化与必然性完全矛盾。物质也是不运动的，因为如果它必然向任意确定的方向，以任何确定的速度运动；由同等的必然性它向某一确定的方向，以不同的速度运动；但它不能以不同的速度向不同的方向运动，所以它必须是不运动的。无疑这个宇宙，其中有无比美丽的形状和运动的变化，除非来自上帝的自由意志，他化育并统治万物。 所以由这个源泉涌现出了所有那些定律，它们被称为自然的定律，在它们之中确实显示了许多最高智慧的，而不是必然性的迹象。所以我们不应当由不可信的猜想，寻求这些定律，而应该由现象和实验学习它们。一个人，他相信仅凭他的脑力和内在的理智之光，他确能发现物理学的原理和事物的定律，他应该维护或者宇宙由于必然性而存在且提出的定律来自相同的必然性；或者尽管大自然的秩序由上帝的意志建立，但像他这样一个可怜的人完全明白怎么做最好。所有健全的和真正的哲学都以现象为基础，它或者被迫且不情愿地把我们引向此类原理，在它们之中全智和全能的存在的最佳谋略和最高主权最清楚地被看出；那些原理不能因为某些人不喜欢它们而不被接纳。那些人把这些他们不喜欢的原理称为奇迹或隐蔽的性质，但由恶意所给的名字无损于那些事物本身，除非那些人最后说所有的哲学应建立在无神论上。哲学不会因为这些人而崩溃，因为事物的秩序不肯改变。 所以正直和公平的法官会赞成最好的哲学方法，它建立在实验和观察的基础之上。毋庸说，这一哲学方法由我们的无与伦比的作者的杰出著作而被增光添彩；他的卓越的和幸运的天才，解开了一些最困难的问题，并得到了被认为超越人的智力而没有希望的发现，理应被所有那些在这些事情上不是一知半解的人的尊重。大门被开启，所以，他开辟了我们到达事物的最美丽的奥秘的路径。他最终如此清楚地把宇宙的系统的最精致的结构展示给我们，即使阿方索国王复生，他也不会在它的简单性和和谐性上再有所要求。且因此现在有可能更近地审视自然的奥秘，享受最甜美的沉思，并更热心地尊敬并礼拜万物的创造者和主宰，这是哲学中的最丰美的果实。他必定是盲人，如果一个人从事物的最好的和最富于智慧的结构不能马上看出全能的创造者的无限的智慧和仁慈；他必定是疯子，如果他拒绝承认它们。 所以牛顿的 卓越的著作是反对无神论攻击的最坚强的堡垒，没有别处有比从这个箭筒抽出来的武器更适于对付不信神的乌合之众。这早已为人所知，且首先被理查德·本特利 的博学多识的英文和拉丁文讲道出色地证明了，他是一个博学之士和学术上的卓越的保护人，是他的时代和我们学界的光荣，我们的圣三一 学院的最称职和最方正的院长，我必须承认我有许多原因要感谢他，即使您，善意的读者，也不会拒绝他应得的感谢。因为，作为我们的杰出的作者多年的密友（他考虑与其由于这一友谊而受到后世的赞扬，不如让这一与众不同的著作变得有名，这是知识界的幸事），他既关心他的朋友的声誉，又关心科学的进展。因此，由于第一版的原本非常罕见且极为昂贵，他坚持劝说且几乎是责备那位非常杰出的人，此人的谦虚和他的博学一样著名，让此人在他的监督之下并用他自己的费用出版这个新的版本，全面地删改并增加了上面已标出的增补。他委托我，按照他自己的权力，承担这一并非不愉快的校订责任，所有这些我已尽我所能。 剑桥， 1713年5月12日 罗杰·科茨 圣三一学院研究员， 普鲁姆 天文学和实验哲学教授 [book_title]第三版 作者的序言 在这个第三版，它由医学博士亨利·彭伯顿 ，一个极精通此事的 杰出人士料理，在第二卷论介质的阻力中的有些地方，解释较前略有扩充，且增加了关于在空气中下落的重物的阻力的新实验。在第三卷中的论据，由它们证明月球由重力被保持在它自己的轨道上，略有扩充；且新增了由庞德 先生所做的关于木星的直径彼此之比的观测。还增加了对出现在1680年的那颗彗星的其他的观测，它由柯奇 先生11月在日耳曼 完成，近来才到我们手中，且这些观测使抛物线轨道与对应的彗星的运动何等接近变得更为清楚。且那颗彗星的轨道，由哈雷 计算，较前稍为精确，它是在椭圆轨道上。又，彗星在这个椭圆轨道 ，经过九个宫，显示它经历的路径，在精确上不比由天文学家通常确定的行星在椭圆轨道上的运动差。还增加了1723年出现的彗星的轨道，由牛津 的天文学教授布拉得雷 先生计算。 1725/6年1月12日 伦敦 伊·牛顿 [book_title]定义 定义 I 物质的量是起源于同一物质的密度和大小联合起来的一种度量。 两倍空气的密度且两倍它所在的空间，有四倍的空气；三倍它所在的空间，有六倍的空气。对通过压缩或液化而凝结的雪或粉末亦作同样的理解。对以任何方式或无论何种原因而被凝结的物体，理由相同。在这里我没有考虑一种介质，如果存在这种介质的话，它自由地进入物体的部分之间的缝隙。以后各处在物体或质量的名下我指的是这一量。它可以通过每个物体的重量得知：因为由极精确的摆的实验，我发现它与重量成比例，如后面所示的。 定义 II 运动的量是同一运动的起源于速度和物质的量联合起来的一种度量。 整个的运动是每个部分的运动的和；且因此对两倍大的一个物体，以相等的速度，有两倍的运动，并且以两倍的速度有四倍的运动。 定义 III 物质的固有的力（vis insita ）是一种抵抗的能力，由它每个物体尽可能地保持它自身的或者静止的或者一直向前均匀地运动的状态。 这个力总与物体自身成比例，也与物体的惰性（inertia）没有差别，除了在领悟的方式上。由于物质的惰性，使得每个物质自身的静止的或运动的状态难以被剥夺。因此固有的力也能用极著名的名称惰性力（vis inertiæ）来称呼它。但是一个物体仅在它自身的状态被一个施加于它的力改变时才使用这个力；在不同的观点之下那种使用既是阻力又是推动力（impetus）；就物体为保持它自身的状态而抵抗外加的力而言，它是阻力；同一物体，就难于退让抵抗阻碍的力而努力改变那个阻碍的状态而言，它是推动力。通常阻力归之于静止者且推动力归之于运动者；但是运动和静止，如通常所认为的，只是由于观点而彼此被区分，且通常被认为是静止的并不总是真正的静止。 定义 IV 外加的力是施加于一个物体上的作用，以改变它的静止的或者一直向前均匀地运动的状态。 这个力只存在于作用之中，作用之后并不留存在物体中。因为一个物体的新的状态只被惰性力保持。而且外加的力有不同的起源，如来自打击，来自压力，来自向心力。 定义 V 向心力是［一种作用］，由它物体被拖向、推向或以其他任何方式趋向作为中心的某个点。 这一类的力中有重力，由它物体趋向地球的中心；有磁力，由它铁前往磁石；再有那个力，无论它是什么，由它行星持续被从直线运动上拉回，并被迫在曲线上运动。石块，它在投石器中旋转，努力离开旋转它的手而去；且由于它自己的努力拉伸投石器，旋转得越迅速拉伸愈甚；又当松开投石器时，石块飞去。与那种努力方向相反的力，由它投石器持续把石块向着手拉回并把石块保持在一条轨道上，指向作为轨道的中心的手，我称之为向心力。且对所有的物体，它们被迫在轨道上运动，道理是一样的。它们都努力从它们的轨道的中心退离，除非某个与退离方向相反的力参与，由它物体被抑制且被保留在轨道上，所以我称它们为向心的，否则它们以均匀的运动沿直线离开。一个抛射体，如果重力被除去，它不向地球偏折，而沿直线飞入天空，只要空气的阻力被消除。抛射体由于自身的重力从直线路径上被拉回并持续向地球偏折，且其大小依照它自身的重力和运动的速度。它的重力按照物质的量愈小，或者它被抛射的速度愈大，它离直线路径的偏折愈小且前进得愈远。如果一个铅球，以给定的速度自某一山的山巅沿地平线由炮的火药的力被抛射，在落到地面之前沿一条曲线前进二哩的一个距离；这个抛射体以二倍的速度前进二倍远，且以十倍的速度前进十倍远，只要空气的阻力被消除。且增大速度，被抛射的距离能随意增大，且减小它画出的线的曲率，如此使得它以十度或者三十度或者九十度的距离下落；或者甚至环绕整个地球，或者飞入天空并继续其运动以至无穷。且由同样的方式，一个抛射体，由于重力能被弯折到一个轨道并环绕整个地球，且月球能或者由重力，如果它有重力的话，或者由其他任意的力，由这种力它被推向地球，且总是从直线路径上被拉向地球，并弯折入它自己的轨道。这个力，如果它太小，则不能使月球从直线路径上充分地弯折；如果太大，则弯折过甚使月球被拉离它朝向地球的轨道。无疑力有恰当的大小是必须的，且数学家任务是发现力，由它物体以给定的速度能恰好被保持在任意给定的轨道上；且反之发现弯曲的路径，一个物体自任意给定的位置以给定的速度出发，由给定的力它被弯折而进入那条路径。但是这个向心力有三种量：绝对的量，加速的量和引起运动的量。 定义 VI 向心力的绝对的量是同一个力的一种度量，大小与它由中心经周围环绕的区域传播引起的效力成比例。 如磁力按照磁石的尺寸或者强弱在一块磁石上较强且在另一块上较弱。 定义 VII 向心力的加速的量是同一个力的一种度量，与在给定的时间它所生成的速度成比例。 如同一块磁石的力，距离愈近愈大，距离愈远愈小；或者如重力，在山谷中较大，在较高的山顶较小，且在离地球更大的距离上（正如后面弄清楚的）甚至更小；但在相等的距离，它在各个地方是一样的，因为所有下落的物体（无论重的或者轻的，大的或者小的），除去空气的阻力，被同等地加速。 定义 VIII 向心力的引起运动的量是同一个力的一种度量，与在给定的时间它所生成的运动成比例。 如在较大的物体中的重量较大，在较小的物体中的重量较小；且同一物体靠近地球时较重，在天空中较轻。这个量是整个物体的向心性（centripetentia）或者向着中心的倾向，且（据我如此说）是它的重量；它总能通过与它方向相反且相等的力而为人所知，此力能阻止物体的下落。 力的这些量，为了简洁起见，可称之为引起运动的力、加速的力和绝对的力；为了区别起见，以物体寻求一个中心，以物体的位置以及以力的中心为标准；亦即，引起运动的力对于物体，一如整个物体趋向一个中心的努力，且它由各个部分的努力合成；加速的力对于物体的位置，一如某种效力，自中心通过周围的每个位置扩张，以使在那些位置的物质运动；又绝对的力对于中心，一如某种原因，没有它引起运动的力不通过周围的区域传播；无论那个原因是某个中心物体（如磁石在磁力的中心，或者地球在重力的中心），或者某一尚未明了的原因。这个概念只局限于数学方面：因为现在我不考虑力的物理学原因和状况。 所以加速的力比引起运动的力如同速度比运动。因为运动的量起源于速度和物质的量的联合；且引起运动的力起源于加速的力和同一物质的量的联合。因为加速的力在物体的每个小部分上的作用的和是整个物体的引起运动的力。因为临近地球的表面，那里加速的重力或者重力的产生力，对所有的物体普遍地相同，引起运动的重力或重量如同物体：如果上升到一个区域，在那里加速的重力变小，重量同等地被减小，且总是如同物体和加速的重力的联合。于是在一个区域，在那里加速的重力减半，一半或三分之一大的物体，重量小四或者六倍。 此外，在同样的意义上我称吸引和推动是加速的和引起运动的。而且我无差别且不分彼此地交换使用吸引、推动，或任何种类的趋向一个中心的词；这些力不是从物理学上而是从数学来考虑的。因此读者应避免由此类的词相信我在某处定义作用的种类或者方式，或者物理学的原因和理由（ratio），或者我在真实和物理学的意义上把力归于中心（它们是数学上的点）；如果我偶尔说到中心牵引，或者中心有力的话。 解释（Scholium） 到目前为止对较不熟悉的词语，我已解释了它们在随后的讨论中应被理解的意义。时间、空间、地方（locus）和运动是每个人都非常熟悉的。但是必须注意，普遍人正是从他们对可感觉到的物体的关系来领悟这些量。且因此产生一定的偏见，为了消除它们把那些量区分为绝对的和相对的、真实的和表面的、数学的和普遍的是适宜的。 I.绝对的、真实的和数学的时间，它自身以及它自己的本性与任何外在的东西无关，它均一地流动，且被另一个名字称之为持续（duratio）、相对的、表面的和普遍的时间是持续通过运动的任何可感觉到的和外在的度量（无论精确或者不精确），常人用它代替真实的时间，如小时、日、月、年。 II.绝对的空间，它自己的本性与任何外在的东西无关，总保持相似且不动，相对的空间是这个绝对的空间的度量或者任意可动的尺度（dimensio），它由我们的感觉通过它自身相对于物体的位置而确定，且被常人用来代替不动的空间：如地下的空间的、空气的或天空的空间的尺度由它们自身相对于地球的位置而确定。绝对的和相对的空间在种类和大小上是一样的；但在数值上并不总是保持相同。因为，例如，如果地球运动，我们的空气的空间，它是相对的且相对于地球总保持相同，一会儿绝对空间的一部分在空气穿过的地方，一会儿它的另一部分在空气穿过的地方，且因此在绝对的空间中不断地变化。 III.地方是空间的一个部分，它由一个物体占据，依赖空间，是绝对的或者相对的。我说，空间的部分，既不是物体的位置，也不是环绕物体的表面。因为相等的立体它们的地方总是相等的；但表面由于它们的形状的不同而大多不相等；位置（situs），严格地说，没有量，与其说是地方，不如说是地方的属性。整体的运动与部分的运动的和是一样的，这就是，整体从它自身的地方的移动与它的部分从它们自身的地方的移动的和是一样的；且因此整个的地方与部分的地方的和是一样的，所以在整个物体的内部。 IV.绝对的运动是物体从一个绝对的地方移动到另一个绝对的地方；相对的运动是物体从一个相对的地方移动到另一个相对的地方。由是在一艘航行的船上，一个物体的相对的地方是船上的那个区域，它被物体占据，或者船的整个空腔的那个被物体充满的部分，因此与船一起运动：则相对的静止是物体在船的那个相同的区域或者空腔的相同的部分持续存在。而真正的静止是物体在不动的空间的那个相同的部分持续存在，在此空间中船与它自身的空腔和所有它包含的东西一起运动。因此如果地球的静止是真实的，一个与一条船相对静止的物体，它以船在地球上运动的速度真实地且绝对地运动。但是，如果地球也是运动的，则此物体的真实的和绝对的运动部分地起源于地球在不动的空间中的真实的运动，部分地起源于船在地球上的相对的运动；且如果物体在船上也有相对的运动，则它的真实的运动，部分地起源于地球在不动的空间中的真实的运动，部分地起源于船在地球上相对的运动和物体在船上的相对的运动；且由这些相对的运动引起它对地球上物体的相对的运动。倘若地球的那个部分，当船在其上，是以10010份的速度向东的真实的运动；且船扬帆顺风以十份的速度西去；又在船上一个水手以一份的速度向东走去：则水手在不动的空间以10001份的真实的和绝对的速度向东移动，且在地球上以九份的相对的速度向西移动。 绝对的时间与相对的时间在天文学中通过普遍的时间的差（æquatio）被区别开来。因为自然日是不相等的，通常为了测量时间而被认为是相等的。天文学家校正这种不等性，为了由更精确的时间测量天体的运动。可能不存在均一的运动，由它时间被精确地测量。所有的运动可能都是加速的和迟滞的，但绝对的时间的流不可能被改变。事物的存在性的持续或者保持是同样的，无论它们的运动是迅速，或者是缓慢，或者是没有；因此这一持续应能与它的能被感觉到的测量区分，且能由天文学中的差导出。而且，这个差在确定现象何时发生时的必要性既被用摆钟的实验所揭示，亦被木星的卫星的食所揭示。 正如时间的部分的次序是不能改变的，空间的部分的顺序亦然。若那些部分从它们自身的地方被移开，则它们被从（据我如此说）它们自己移开。因为时间和空间是，正如它们过去是，它们自身以及一切事物的地方。宇宙万物，在时间上居于相继的次序中，在空间中处于位置的次序中。那些事物的本质是地方，且初始的地方的运动是荒谬的。所以这些地方是绝对的地方；且仅是离开这些地方的迁移是绝对的运动。 但是，因为我们不能看到空间的这些部分，而且由我们的感觉不能彼此区分它们；我们代之以可以感觉到的测量。因为从事物离开某个我们认为是不动的物体的位置和距离，我们定义万物的地方，然后相对于前述的地方我们估计所有的运动，在此范围我们想象物体自那些地方的迁移。因此绝对的地方和运动被我们用相对的地方和运动所代替；这在人间的日常事物中不无便利：但在哲学中应从感觉抽取它们。因为可能没有真正静止的物体，地方和运动由它作参照。 但是绝对的和相对的静止和运动被它们自身的特性和原因以及效应区别开来。静止的特性是，物体真实的静止，是它们彼此之间的静止。且所以，由于可能有某个物体在恒星的区域，或者更远，是绝对静止的；但是我们的区域中，从物体彼此的位置不能知道是否这些中的某一个对那个遥远的物体保持给定的位置，从这些物体的位置彼此之间的关系不能定义真实的静止。 运动的特性是，部分，它们与整体保持给定的位置，参与这个整体的运动。因为在轨道上运动的［物体的］所有部分，努力自运动的轴退离，且［物体］前进的推动力起源于它的每个部分的推动力的联合。所以，如果周围的物体在运动，在里面的与它们相对静止的物体也参与它们的运动。且因此真实的和绝对的运动不能由离开近处物体的迁移确定，这些物体被视为是静止的。因为外面的物体不仅被视为是静止的，而且是真正地静止的。否则，所有被包含的物体，除了离开周围靠近它们的物体的迁移，也参与它们的真实的运动；且如果没有那个迁移，它们也不是真实的静止，而仅被视为是静止的。因为周围的物体对于被包围在其中的物体，如同整体的外面的部分对于里面的部分，或者如同壳对于核。且当壳运动时，核在不从壳的附近迁移的情况下，作为整体的一个部分而运动。 与以上所说的特性有关系的是，当一个地方运动时，放置在这个地方的东西与它一起运动；且所以一个物体，它从一个运动着的地方离开，也参与它自身的地方的运动。所以，一切运动，它们离开运动着的地方，都仅是整体的和绝对的运动的部分，且每一整体的运动由一个物体离开它的初始的地方的运动，以及这个地方离开它自己的地方的运动，如此等等的运动，直到某个不动的地方，复合而成，如上面提到的水手的例子。因此，整体的和绝对的运动不可能被确定，除非通过不动的地方：且所以以上我把这种运动归之于不动的地方，把相对的运动归之于可以运动的地方。但是不动的地方是没有的，除了从无限到无限彼此保持给定的位置的所有地方；且因此总保持不动，并构成一个空间，我称之为不动的。 原因，由于它们真实的和相对的运动被彼此区分，是施加在物体上以生成运动的力。真实的运动既不被生成亦不被改变，除非施加力于运动的物体：但相对运动的生成和改变不需要施加力于这个物体。因为仅在其他物体上使加力就足够了，它与那个给定的物体有关系，当那个物体退让，那个关系被改变，在此关系中构成这个物体的相对的静止或者运动。此外，真实的运动总被加在一个运动着的物体上的力改变；但相对的运动不是必须地被这种力改变。因为，如果相同的力既施加于一个运动着的物体亦施加于其他与之有关系的物体，使得相对的位置被保持。所以，每个相对的运动在真实的运动被保持时，能发生变化；且因此真实的运动绝不会由此类关系构成。 效应，由于它们绝对的和相对的运动被彼此区分，是从圆周运动的轴退离的力。因为在纯粹的相对的圆周运动中这些力是没有的，但在真实的和绝对的圆周运动中这些力的大小依照运动的量。如果由一条甚长的绳悬挂一只桶，且桶被持续转动，直到绳由于扭转过甚而变硬，再注入水，且桶与水一起静止；然后，另一个力突然使桶向相反的方向做旋转运动，且绳子扭开时，这个运动保持一段时间；刚开始时水的表面是水平的，与容器在运动之前一样。但此后容器，通过逐渐施加力于水，使水开始有感觉得到的旋转；水逐渐地从中间退离，且在容器的壁上升高，呈凹面的形状（正如我曾试验过的），且运动愈快，水上升得愈高，直到它与容器在同样的时间完成旋转，且在容器中相对静止。水的这一升高揭示它努力从运动的轴退离，且由这样的努力能知道并测量水的真实的和绝对的圆周运动，这里它与相对运动的方向正相反。在一开始，当在容器中的水的相对的运动极大时，那个运动没有引起从轴退离的努力：水没有寻求周边在容器的壁上升高，而是保持水平，且所以它的真实的圆周运动尚未开始。但后来，当水的相对运动减小，它在容器的壁上的升高揭示出水从轴退离的努力；且这一努力证明那个真实的圆周运动持续增加，且当水在容器中相对静止时成为最大。所以，那个努力不依赖水相对于周围的物体的迁移，且因此真实的圆周运动不能由此种迁移确定。每个旋转着的物体的真实的圆周运动是惟一的，对应于一种惟一的努力作为它特有的且适当的效应，而相对的运动对于外部的各种关系是不可计数的；一如其他关系，完全缺乏真实的效应，除非参与那个真实的而且惟一的运动。且因此在一些人主张的那个系统中，它在恒星天之下包含着我们的诸多天空在旋转，并携带着行星一起运动，天空的每一部分以及行星在邻近它们的天空中是静止的，其实是运动的。因为它们自身的位置彼此之间会被改变（这不同于真实的静止），且被它们的天空携带着，参与天空的运动，且作为旋转着的整体的部分，努力从那些整体的轴退离。 所以，相对的量不是它们承担名字的那些量自身，而是它们的那些可以感觉到的测量（无论精确或者不精确），并被常人用来代替被测量的量。但如果词的意义由用法定义；则这些可以感觉到的测量能用时间、空间、地方和运动的那些名称恰当地被理解；如果量被理解为这里的被测量的量，则表达的方式是罕见的且是纯数学的。因此，那些把这些词解释为被测量的量的人，歪曲了《圣经 》。那些把真正的量与它们的关系和普通的测量相混淆的人，同样玷污了数学和哲学。 的确，从表面上的行为认识单个物体的真实的运动是极为困难的；因为那些不动的空间的部分，在其中物体真正地运动，没有触及感觉。但是，情况不是完全无望。因为能导出一些论据，部分地从表面上的运动，它们是真实的运动的差；部分地从力，它们是真实的运动的原因和效应。例如，如果两个球，用一根连结它们的绳子保持彼此给定的距离，围绕它们的重力的公共的中心旋转；由绳子的伸张能知道球自运动的轴退离的努力，且因此能计算圆周运动的量。然后，如果任意相等的力立即施加于球的交替的面上以增大或者减小它们的圆周运动；从绳子的伸张的增大或减小能知道运动的增大或减小；且因此能发现球的面，力加在它们上面能使运动有一个极大的增加，这就是，后面的面，或尾随圆周运动的面。但是知道了尾随圆周运动的面，就知道了相对的面，它在圆周运动中先行，运动的方向就被知道。按这种方式能发现在任意无限的真空中圆周运动的量和方向，那里没有外在的和能感觉到的存在能与球比较。现在，如果在那个空间中放置了一些遥远的物体并保持相互之间被给定的位置，一如在天空的区域中的恒星；从球在物体之间的相对的迁移不能明了这运动应归于球或者物体二者之中的那一个。但是如果注意绳子，并发现它的伸张正是球的运动所需的，即可做出球是运动的，且物体是静止的结论；且最后由球在物体之间的迁移，推断出这个运动的方向。但是如何从它们的原因、效应，以及表面上的差推断真实的运动；且反之，如何从真实的或者表面上的运动推断它们的原因和效应，详述于后。因为这正是我撰写这一著作的目的。 [book_title]公理或运动的定律 定律 I 每一个物体都保持它自身的静止的或者一直向前均匀地运动的状态，除非由外加的力迫使它改变它自身的状态为止。 抛射体保持它们自身的运动，除非由于空气的阻力而被迟滞，以及被重力向下推进。一个转轮，它的部分被它们的结合持续拉离直线运动，不停止转动，除非被空气迟滞。但是行星和彗星的较大的本体，在阻力较小的空间中，保持它们自身的前进运动和圆周运动很长的一段时间。 定律 II 运动的改变与外加的引起运动的力成比例，并且发生在沿着那个力被施加的直线上。 如果任意的力生成某一运动；两倍的力生成两倍的运动，三倍的力生成三倍的运动，无论力是一次一齐施加，或是逐渐地且相继地施加。且这项运动（它总与生成它的力指向相同的方向），如果物体先前在运动，或者被加到它的运动上，如果它们方向一致；或者从其中被减去，如果它们方向相反；或者倾斜地添加，如果它们是倾斜的，且沿着两者的方向合成。 定律 III 对每个作用存在总是相反的且相等的与反作用：或者两个物体彼此的相互作用总是相等的，并且指向对方。 无论什么东西压或者拉其他东西，它一样多地被压或者被拉。如果有人用手指压一块石头，这个手指也被石头所压。如果马拉一块系在绳子上的石头，马（据我如此说）也被同等地拉向石头；因为绳子在两端伸展，以同样的努力舒展自身，并驱使马朝向石头，而且石头朝向马；阻碍一个的前进与推动另一个的前进来得一样大。如果某个物体碰撞另一个物体，那个物体的运动无论如何被［前一物体］自身的力改变，则反过来，另一个物体的力（由于它们相互的压迫的相等性）使［前一物体］自身的运动在相反的方向做同样的改变。由这些作用产生的相等的变化，不是在速度上，而是在运动上；当然物体不受其他的阻碍。因为速度的变化发生在相反的反向上，由于运动被相等地改变，与物体成反比。这个定律对于吸引亦成立，正如在下面的注释中所证明的。 系理 I 一个物体由联合起来的力画出平行四边形的对角线，在相同的时间分开的力画出边。 如果一个物体在给定的时间，由在地方A单独施加的力M，以均匀的运动由A被携带至B；在同一地方单独施加的力N，物体被自A携带至C：补足平行四边形ABDC，则两个力在相同的时间在对角线上把那个物体自A携带至D。因为，由于力N沿平行于BD的直线AC作用，由定律II这个力一点也不改变由另一个力产生的走向那条直线BD的速度。所以物体在相同的时间到达直线BD，无论施加力N与否；且因此物体在那段时间结束时被发现在那条直线BD的某处。由同样的论证，在相同时间结束时物体在直线CD的某处被发现，且因此它必在两条线的交点D被发现。且由定律I，物体以直线运动自A前进到D。 系理 II 且因此，显然，直接的力AD 由任意倾斜的力AB 和BD 合成，且反过来，任意直接的力AD 分解为任意倾斜的力AB 和BD 。的确，这种合成与分解从力学已得到了充分的证实。 如同从任意一个轮子的中心O伸出的不等的半径OM，ON，由细线MA，NP支持着权A和P，且需求使轮子运动的重力。过中心O引垂直于细线的直线KOL交细线于K和L，且以中心O和间隔OK，OL中的较大者OL画一圆交细线MA于D：又作直线OD，AC平行于它，再者DC垂直于它。因为细线上的点K，L，D是否属于轮子的平面并无差别；无论悬挂在点K和L或者D和L，权的作用相同。设权A的整个力由细线AD表示，且这个力被分解为力AC和CD，其中的AC直接地自中心拉半径OD，对使轮子运动没有一点作用；但是另一个力DC，垂直地拉半径DO，犹如它垂直地拉等于OD的半径OL，效果是相同的；这就是，它与权P有相同的作用，只要那个权比权A如同力DC比力DA，亦即（由于三角形ADC，DOK是相似的）如同OK比OD或者OL。所以权A和P，与处于平直位置的半径OK和OL成反比时，它们的功效相同，且因此停留在平衡的状态：这是天平、杠杆和绞盘的悉知的性质。但是如果任一权较按照这个比大，它的使轮子运动的力也如此大。 但是如果权p，它等于P，部分地被细线Np支撑，且部分地倚在倾斜的平面pG上：引pH，NH，前者垂直于地平线，后者垂直于平面pG；且如果p的向下的重力由线pH表示，这个力能分解为力pN，HN。如果某个平面pQ垂直于细线pN且截另一平面pG于平行于地平线的一条直线；且权p只倚在这些平面pQ，pG上；它以力pH，HN垂直地压迫这些平面，即以力pN压迫平面pQ，且以力HN压迫平面pG。且因此如果平面pQ被除去，使得权拉紧细线；因为支撑权的细线现在取代了被除去了的平面的地位，线被同样的力pN拉紧，平面先前被它压迫。因此这条倾斜的细线的张力比另一条垂线PN的张力，如同pN比pH。且所以，如果权p比权A按照一个比，它由来自从轮子的中心到它们各自的线pN和AM的最短的距离的反比，和pH比pN的正比复合而成；则两个权有使轮子运动的相同的效力，且因此相互遏制，正如任何人可以试验的。 且权p，它倚在那两个倾斜的平面上，具有在劈开的面之间的缝隙中的一个楔的作用：且因此楔的和锤的力能知道；因为力，以它权p压迫平面pQ，比一个力，由它权p沿直线pH被推向［两］平面，无论由它自身的重力或者锤的打击，如同pN比pH；因为它比一个力，由它权p压迫另一平面pG，如同pN比NH。且因此螺旋的力可由力的类似分解导出，的确，它是由杠杆推动的楔。所以，这一系理的应用极广，且其真实性由于它的各种用处而被证实；因为由著作家们以不同的方式证明的整个力学依赖刚才所说的。因为由此容易导出机械力，它们通常由轮子的，滚筒的，杠杆的，绷紧的弦的，直着和倾斜着上升的重物的，以及其他的力学的动力构成，还有肌腱使动物的骨骼移动的力。 系理 III 运动的量，它由取自在同一方向已完成的运动的和，以及在相反方向已完成的运动的差得到，不因物体之间的作用而改变。 因为由定律III，一个作用和与它相反的反作用是相等的，且因此由定律II，它们在运动上产生的变化是相等的且朝着相反的方向。所以如果运动发生在相同的方向上；逃跑的物体的运动被加上多少，追赶的物体的运动就被减去多少，于是保持与先前一样。若不然，物体是迎面而来的，从两者的运动中减去相等的量，且因此在相反的方向上所完成的运动的差保持相同。 因此，如果一个球形物体A是另一个球形物体B的三倍，且有二份的一个速度；又B在同一直线上以十份的一个速度追逐A，且因此A自身的运动比B自身的运动，如同六比十：假定那些运动为六份和十份，则和为十六份。所以，当物体相遇时，如果物体A获得三份或者四份或者五份的运动，则物体B失去相同份数的运动，且因此物体A在反射后以九或者十或者十一份的运动前进，则B以七或者六或者五份的运动前进，和总是十六份的运动，如同以前。如果物体A获得九或者十或者十一或者十三份的运动，且因此在相遇以后以十五或者十六或者十七或者十八份的运动前进；物体B，失去的份数与A获得的同样多，或者失去九份的运动以一份的运动前进，或者失去它向前的十份的运动而静止，或者失于它自身的运动和（据我如此说）更多的一份运动而以一份的运动退行，或者由于十二份的向前运动被减去而以两份的运动退行。且因此同向的运动的和15+1和16+0，以及逆向的运动的差17－1和18－2，总等于十六份，如同相遇和反射之前。但是反射后物体由它们继续进行的运动是已知的，任何一个物体的速度被发现，取它比反射前的速度，如同反射后的运动比反射前的运动。如在最后一种情形，这里物体A的运动在反射前是六份且在反射后为十八份，又在反射前它的速度是二份；它在反射后的速度被发现为六份，由所说的，正如反射前的六份运动比反射后的十八份运动，结果是反射前二份的一个速度比反射后六份的一个速度。 但是如果物体不是球形的或者在不同的直线上运动且彼此相互倾斜着相撞，需求反射后它们的运动；需知道与两物体在它们相撞的点相切的平面的位置，然后（由系理II）每个物体的运动被分解为两个，一个运动垂直于这个平面，另一个运动平行于同一平面；但平行［于那个平面］的运动，由于物体沿垂直于这个平面的直线相互作用，在反射后保持与在反射前一样；且垂直［于那个平面］的运动在相反的方向上被分配了相等的变化，使得同向时的和以及反向时的差与以前保持一样。物体围绕自己的中心的圆周运动通常也起源于这类反射。但在下面我不考虑这些情形，因为这一问题的各个方面的证明甚为冗长。 系理 IV 两个或多个物体的重力的公共的中心，由于物体之间的作用，不改变它自身的或者运动的或者静止的状态；且所以，所有彼此之间相互作用的物体的重力的公共的中心（排除外来的作用和阻碍）或者静止或者一直向前均匀地运动。 因为如果两个点以均匀的运动在直线上前进，且它们的距离按照给定的比被划分，分点或者静止或者在一条直线上均匀地前进。如果点的运动发生在同一平面上，这被后面的引理XXIII及其系理所证明；如果那些点的运动不发生在同一平面上，由相同的理由可以证明。所以，如果任意数目的物体在直线上均匀地前进，其中任意两个物体的重力的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为任意直线，它连结在直线上均匀前进的物体的中心，被这个公共的中心按给定的比划分。类似地，这两个物体和任意第三个物体的公共的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为那两个物体的公共的中心和第三个物体的中心之间的距离被它按给定的比划分。由同样的方式，这三个物体和任意第四个物体的公共的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为那三个物体的公共的中心和第四个物体的中心之间的距离被它按给定的比划分，且如此以至无穷。所以，在诸物体的一个系统中，在其中物体既无彼此之间的相互作用，又无外面的作用施加与它们，且因此每个物体在独自的一条直线上均匀地前进，所有物体的重力的公共的中心或者静止或者一直均匀地运动。 此外，在两个物体彼此相互作用的一个系统中，由于两个物体中的每一个离重力的公共的中心的距离与物体成反比；这些物体的相对的运动，无论靠近那个中心或者从同一中心退离，彼此之间相等。所以，因为对运动所发生的变化是相等的且指向相反的方向，那些物体的重力的公共的中心在它们之间的相互作用下，既不被推进又不被迟滞，亦不改变它自身的运动的或者静止的状态。但是在多个物体的一个系统中，因为任意两个彼此相互作用的物体的重力的公共的中心不因为那个作用而改变它自身的状态；又，其余的物体的重力的公共的中心与那个作用无关，因此一点也不受它的影响；但这两个中心之间的距离被所有物体的公共的中心分成的部分与它们的中心所拥有的物体的总和成反比；且因此，由那两个中心保持它们自身的运动的或静止的状态，所有物体的中心也保持它自身的状态：显然，由来自两个物体的相互作用绝不改变所有物体的中心的运动的或静止的状态。但是在这样的一个系统中，物体彼此之间的作用或者发生于两个物体之间，或者由两个物体之间的作用合成；且所以对所有物体的公共的中心的运动的或静止的状态绝不引起变化。由于那个中心当物体之间没有相互作用时，或者静止，或者在某一条直线上均匀地前进；虽然物体之间相互作用，它继续同样的状态，或者总是静止，或者总是均匀地前进，除非从外面施加在系统上的力使它离开这一状态。所以，对运动的或者静止的状态的保持，多个物体的一个系统的与单个物体的定律是一样的。因为无论是单个物体或者诸物体的一个系统，它们的前进运动总应由重力的中心的运动估定。 系理 V 被给定空间所包围的诸物体之间的相互运动是同样的，无论那个空间或者是静止的，或者是均匀地一直向前运动而没有圆周运动。 因为朝向相同方向的运动的差，以及朝向相反方向的运动的和，在开始时（由假设）在这两种情形中是相同的，且碰撞和冲击（impetus）起源于这些和或者差，由于它们物体相互冲撞。所以由定律II，碰撞的作用在两种情形中是相等的；且因此在一种情形中相互之间的运动与在另一种情形中相互之间的运动保持相等。这被经验恰当地证明。在一条船上，无论船静止，或者它一直均匀地前进，所有的运动以相同的方式发生。 系理 VI 如果诸物体彼此之间无论以何种方式运动，它们被沿着平行线的相等的加速力推动；它们都将继续彼此之间的运动，遵循的方式就如同没有那些力作用一样。 因为那些力，由相等的作用（按照被移动的物体的量）且沿着平行线，使每个物体由定律II被相等地（对于速度）移动，且因此它们之间彼此的位置和运动绝不改变。 解释 迄今为止我所陈述的原理，已被数学家们接受且被多种实验所证实。由前两条定律和前两个系理，伽利略 发现重物的下落按照时间的二次比，且抛射体的运动在抛物线上进行；这与实验符合，除了那些运动由于空气的阻力而略有迟滞。当一个物体下落时，均匀的重力相等地作用，在每一相等的时间小段中，施加相等的力于那个物体，且产生相等的速度：在整个时间内施加的整个力生成的整个速度与时间成比例。且在成比例的时间画出的空间如同速度和时间的联合；亦即按照时间的二次比。又当一个物体被向上抛出时，均匀的重力施加力且被夺去的速度与时间成比例；上升到最大高度的时间如同被夺去的速度，且那个高度如同速度和时间的联合，或者按照速度的二次比。又，一个物体沿任意直线被抛射，起源于它的抛射的运动与起源于它的重力的运动被结合在一起。因此，如果物体A在给定的时间仅由抛射的运动能画出直线AB，且仅由下落的运动在相同的时间能画出高度AC：补足平行四边形ABDC，则那个物体由复合的运动在时间结束时在地方D被发现；且曲线AED，它由那个物体画出，是一条在A与直线AB相切的抛物线，它的纵标线 （6） （ordinata）BD如同ABq （7） 。依据相同的定律和系理，关于摆在振动的时间方面的问题已被证明，这也由对时钟的日常经验所支持。从这些相同的定律和系理以及第三定律，克利斯托弗·雷恩 爵士，神学博士约翰·沃利斯和克利斯蒂安·惠更斯 这些无疑是前一代名列前茅的几何学家，分别发现了坚硬物体碰撞和反射的规律，且在几乎相同的时间通报给皇家学会 ，它们之间（相对于这些定律）完全相符，的确沃利斯 首先，其次是雷恩 和惠更斯 公布了发现。但是向皇家学会 用摆的实验证实这些规律的真实性的是雷恩 ；不久，杰出的马略特 认为它适宜用一整本书来阐述。但是为了使这个实验与理论准确地符合，必须既要考虑空气的阻力，又要考虑相遇物体的弹性力。设球形物体A，B悬挂在中心为C，D的平行且相等的细线AC，BD上。以这些中心和间隔画半圆EAF，GBH，它们被半径CA，DB平分。物体A被拉到弧EAF上的任意点R，且（拉开物体B）由此释放，经过一次振动后它返回到点V。RV是迟滞，它来自空气的阻力。设ST是这个［弧］RV的四分之一，位于中间，这自然使得RS和TV相等，且RS比ST如同3比2。则ST是［物体］自S下落到A期间所遇到的迟滞的一个近似的表示。物体B被放回到它自己原来的地方。物体A自点S下落，且它在反射的地方A时的速度，在没有可感觉到的误差的情况下，与如果它在真空中从地方T下落时一样大。所以这个速度被弧TA的弦表示。因为摆在最低点的速度如同弧的弦，弧在下落中被画出，是几何学家习知的一个命题。反射之后物体A到达地方s，且物体B到达地方k。除去物体B并发现地方v，如果物体A由此被释放，一次振动后它返回到地方r，设st是rv的四分之一且位于中间，这自然使得rs和tv相等；且物体A在地方A刚反射后的速度由弧tA的弦表示。因为t是那个真实的和正确的地方，如果取消空气的阻力，物体A应上升到那里。由类似的方法，我们校正地方k，物体B上升到那里；并发现地方l，在真空中那个物体应上升到那里。按照这种方式能使我们的实验中的一切，仿佛在真空中一般。最后物体A乘以（据我如此说）弧TA的弦，它显示物体A的速度，以得到刚刚在反射前在地方A它的运动；然后乘以弧tA的弦，以得到刚刚在反射后在地方A它的运动。且因此物体B乘以弧Bl的弦，以得到刚刚在反射后它的运动。且由类似的方法，当两个物体从不同的地方同时释放，我们需要发现两者在反射之前，以及反射之后的运动；且之后我们能比较它们之间的运动，并推断反射的效应。按这种方式，以十呎长的一架摆检验此事，既用不等的物体，又用相等的物体，且使物体经过一个很大的间隔后相遇，如八或者十二或者十六呎；我总是发现，在三吋的测量误差的限度内，当物体彼此平直地相遇，物体在相反的方向所引起的运动的变化相等，且因此作用和反作用总相等。于是，如果物体A以九份的运动碰到静止的物体B，且失去七份的运动，在反射后以二份的运动继续前行；物体B以那七份的运动退回。如果物体迎面相遇，A以十二份的运动且B以六份的运动，又A以二份的运动退回；B以八份的运动退回，两者中的每一个都减少了十四份的运动。从A的运动中减去十二份的运动，则没有剩下的运动，减去另两份，则产生向着相反方向的二份的一个运动；且由是从物体B的六份的运动减去十四份的运动，产生向着相反方向的八份的一个运动。但是，如果物体沿相同的方向运动，A以十四份的运动较为迅速，B以五份的运动较为缓慢，且反射后A以五份的运动前进；B以十四份的运动前进，结果是九份的运动从A转移到B。且在其余的情形亦如此。通过物体的相遇和撞击，绝不改变运动的量，它由来自同向运动的和以及反向运动的差确定。因为我把测量中一吋或者二吋的误差归之于以充分的精确性做每一件事时的困难性。困难在于，一方面，同时释放摆，使得物体彼此在最低的地方AB相撞；另一方面，标记物体相遇后上升到的地方s，k。但是摆的物体的部分的不相等的密度，以及结构由于其他的原因的不规则性，也会引起误差。 此外，为了防止有人非难此规律，这个实验就是为证明它而发明的，认为这个规律预先假设物体或者是绝对坚硬的，或者至少有完美的弹性，在自然的组成中找不到这类物体；我加以补充，刚才所描述的实验对柔软的物体和坚硬的物体的成功，无疑它们不依赖坚硬的状态。因为如果对不是完全坚硬的物体验证那个规律，只需按弹性力的量的一个确定的比例减小反射。在雷恩 和惠更斯 的理论中，绝对坚硬的物体彼此以相遇的速度向后退。这对完全弹性的物体可以更确切地证实。对不是完全弹性的物体，退回的速度必须与弹性力一起减小；因为那个力（除非物体的部分由于相遇而被损坏，或者仿佛在锤击下而扩大）是（就我所能断定的而言）无疑的和确定的，并使物体彼此以相对的速度退回，它比相遇时的相对的速度按照给定的比。我用羊毛线紧紧地缠成并压紧的球对此做了实验。首先释放摆并测量它们的反射，我发现了它们的弹性力的量；然后我由此确定在其他相遇情形时的反射，且它们与实验相符。［羊毛］球彼此总以一个相对的速度退回，它比相遇时的相对速度约略如同5比9。由钢制成的球几乎以相同的速度退回，由软木制成的球以略小的速度退回，但玻璃球的相对速度之比约为15比16。按这种方式由理论确证了关于碰撞和反射时的第三定律，这与实验完全相符。 关于吸引，我如此简捷地证明此事。任意两个物体A、B相互吸引，想象任意的障碍物居于中间，阻止它们相遇。如果其中一个物体A受到另一物体B的牵引比另一物体B受到前一个物体A的牵引大，则障碍物受物体A压迫的推动比受物体B压迫的推动大，且因此不能保持平衡。较强的压迫占优势，且使两个物体和障碍物［构成］的一个系统向着B的方向一直运动，在自由的空间中以总被加速的运动前进，以至无穷。这是荒谬的且与第一定律矛盾。因为由第一定律，此系统应保持它自身的静止的或者均匀地一直运动的状态，且因此物体相等地推动障碍物，所以彼此被相等地牵引。我曾经用磁石和铁对此实验。如果把它们分别放在靠近的杯子中，并排漂浮在蓄积着的水中；二者之中的任何一个不推进另一个，但是由于向两个方向的吸引相等，它们抵抗相互趋向对方的努力，最后由于处于平衡而静止。 于是地球和它的部分之间的重力也是相互的。设地球FI被任意的平面EG截成两部分EGF和EGI：则这些部分彼此向着对方的重量相等。因为如果另一个平面HK，它与前一个平面EG平行，较大的部分EGI被它截成两部分EGKH和HKI，使HKI等于先前割下的部分EFG；显然中间的部分EGKH固有的重量不偏向末端的部分中的任何一方，而在两者之间处于平衡，据我如此说，它被悬浮着，并且静止。但末端的部分HKI自身的整个重量压在中间的部分上，且那个中间的部分推动另一末端的部分EGF；且因此，力，由它部分HKI和EGKH的和EGI趋向第三部分EGF，等于部分HKI的重量，亦即第三部分EGF的重量。且所以两个部分EGI，EGF向着对方的重量是彼此相等的，正如我要证明的。且除非那些重量相等，否则漂浮在自由的以太中的整个地球，会退让较大的重量，且逃离以太远去，以至无穷。 正如物体在相遇和反射中的势是相同的（idem pollent），它们的速度与它们的固有的力成反比；于是在机械的运动中那些动作者的势是相同的，且彼此承受相反方向的努力，动作者的速度，如果沿着它们的力的方向确定，与力成反比。因此使天平的臂运动的重物是等势的（æquipollent），如果在天平的振动期间它们与它们的向上或者向下的速度成反比：这就是，直线上升或者下降的重物是等势的，如果它们与天平的轴和悬挂它们的点之间的距离成反比；如果这些重物由于斜面或其他障碍物而倾斜地上升或下降，它们是等势的，如果它们与上升或者下降成反比，只要沿垂直的方向取得：之所以如此是因为重力的方向是向下的。类似地，在滑轮或者滑轮组中，手直接拉绳的力，它比无论竖直或倾斜上升的重物如同重物垂直上升的速度比手拉绳的速度，手拉绳的力承担重物。在时钟或类似的仪器中，它们由彼此结合在一起的小轮制成，推进和阻碍小轮的运动的相反的力，如果与它们施加于小轮上的部分的速度成反比，则它们彼此相互承受。压一个物体的螺旋的力比手转动柄的力，如同柄在被手推动的那个部分的旋转速度，比螺旋向着被压迫的物体前进的速度。一个力，由它一个楔压迫它劈开的木头的两部分，比锤击在楔上的力，如同楔沿着锤加在它之上的力的方向上的速度比一个速度，由它木头的部分沿着垂直于楔的表面的直线退离楔。且所有机械均同此理。 机械的功效和用处仅系于，为了减小速度我们增加力，且反之亦然；由此，对适当的装置的所有的类型，问题：以给定的一个力移动给定的一个重物，或者由一给定的力克服任意给定的阻力，已被解决。因为如果机械如此制造，使得动作者的和抵抗者的速度与它们的力成反比；动作者能承受阻力，如果速度的差异较大，它将克服阻力。无疑，如果速度的差异如此之大，使得它能克服所有的阻力，如通常起源于接触的物体彼此滑过的摩擦，起源于连续的物体彼此被分开时的凝聚力，以及起源于提升物体时的重量；克服了所有这些阻力，剩余的力产生一个与它自身成比例的运动的一个加速度，部分地在机械的部件上，部分地在阻碍的物体上。但论述力学不是我目前之事。由那些例子我希望证明运动的第三定律的广泛性和确定性。因为，如果一个动作者的作用由它的力和速度联合起来确定，且如果类似地，抵抗者的反作用由它的各个部分的速度和起源于它们的摩擦、凝聚、重量和加速度的阻力联合起来确定；则作用和反作用，在所有用到的装置中，彼此总相等。且在作用通过装置传播并最终施加在所有阻碍物体上的这个限度内，它最终的方向总与反作用的方向相反。 [book_chapter]第一卷 论物体的运动 [book_title]第I部分 论用于此后证明的最初比和最终比方法 引理 I 诸量，以及量的比，它们在任何有限的时间总趋于相等，在时间结束之前它们彼此之间比任意给定的差更接近，最终它们成为相等。 如果你否认，则它们最终成为不相等，且它们最终的差变成D。那么，对于相等性它们就不能比给定的差D更为接近：与假设相反。 引理 II 如果在直线Aa，AE和曲线acE围成的任意图形AacE中，内接相等的底边AB，BC，CD，等等，与图形的边Aa平行的边Bb，Cc，Dd，等等包含的任意数目的平行四边形Ab，Bc，Cd，等等；并补足平行四边形aKbl，bLcm，cMdn，等等。此后如果平行四边形的宽度减小且其数目增加以至无穷：我说，内接图形AKbLcMdD，外接图形AalbmcndoE，以及曲线形AabcdE彼此之间的比，是等量之比。 因为内接图形和外接图形之差是平行四边形Kl，Lm，Mn，Do的和，这就是（由于所有的底相等）一个底Kb和高的和Aa之下的矩形，亦即，矩形ABla。但这个矩形，其宽度AB无限减小，变得小于任何给定的矩形。所以（由引理I）内接图形和外接图形，并且居于它们中间的曲线形最终相等。此即所证 （8） （Q.E.D.）。 引理 III 当平行四边形的宽度AB，BC，CD，等等不相等，但都减小以至无穷时，同样的最终比也是等量之比。 因为设AF等于最大宽度，并补足平行四边形FAaf。这个平行四边形大于内接图形和外接图形之差；但它的宽度AF被减小以至无穷，它将变得小于任意给定的矩形。此即所证 。 系理1 因此，那些正消失的平行四边形的最终和与曲线形的所有部分重合。 系理2 并且直线形，它被将要消失的弧ab，bc，cd，等等的弦包围，最终与曲线形重合。 系理3 内接直线形，当被相同的弧的切线包围时是一样的。 系理4 因此，这些最终的图形（相对于周线acE）不再是直线形，而是直线形的曲线形极限。 引理 IV 如果在两个图形AacE，PprT中，内接（如同上面）两组平行四边形，二者数目一样，且当宽度减小以至无穷时，一个图形中的平行四边形比另一个图形中的平行四边形的最终比，一个对一个，是相同的；我说，这两个图形AacE，PprT彼此按照那个相同的比。 因为［在一个图形中的］一个平行四边形比［在另一个图形中对应的］一个平行四边形，如同（由复合）［在一个图形中平行四边形的］总和比［在另一个图形中平行四边形的］总和，并且如同一个图形比另一个图形［按照等量之比］；因为前一图形（由引理III）比前一和，以及后一图形比后一和，按照等量之比。此即所证 。 系理 因此，如果两种任意类型的量按同样的份数被任意划分，那些部分在数目增加且它们的大小减小以至无穷时，彼此之间保持给定的比，第一个对第一个，第二个对第二个，其余的按顺序对其余的：则整个部分彼此之间按照那个相同的给定的比。因为，如果在这个引理的图形中，平行四边形被取得彼此如同［量的］部分，则部分之和总如同矩形之和；因此，当部分及平行四边形的数目增加且大小减小以至无穷时，部分和将按照［一个图形中的］平行四边形比［另一个图形中的］平行四边形的最终比，亦即（由假设）将按照［一个量中的］部分比［另一个量中的］部分的最终比。 引理 V 诸相似形的所有的边，无论是直线或是曲线，它们相互对应成比例：则面积按照边的二次比。 引理 VI 如果位置给定的任意弧ACB所对的弦为AB，且在某点A，它在连续的曲率中间，被沿两个方向延伸的一条直线 （9） AD相切；此后点A，B彼此靠近并重合；我说，角BAD，它被包含在弦和切线之间，被减小以至无穷并最终消失。 因为如果那个角不消失，弧ACB和切线AD所含的角等于一个直线角，且所以曲率在点A不连续，与假设矛盾。 引理 VII 在同样的假设下，我说弧、弦和切线彼此的最终比是等量之比。 因为当点B靠近点A时，总认为AB和AD延长到在远处的点b和d，引bd平行于截段BD。又，弧Acb总相似于弧ACB。当点A，B重合时，由上一引理，角dAb消失；且因此有限的直线Ab，Ad和居于它们中间的弧Acb重合，所以相等。因此总与［Ab，Ad和Acb］成比例的直线AB，AD，和居于它们中间的弧ACB消失，且它们最终具有等量之比。此即所证 。 系理1 因此，如果通过B引平行于切线的［直线］BF与过A的任意直线交于F，这个BF与消失的弧ACB的最终比为等量之比，因为如果补足平行四边形AFBD，BF比AD总是等量之比。 系理2 如果通过B和A引另外的直线BE，BD，AF和AG与切线AD及其平行线BF相截，则所有线段AD，AE，BF和BG以及弦AB与弧AB彼此的最终比为等量之比。 系理3 因此，这些线段在任何关于最终比的论证中可以相互替换。 引理 VIII 如果直线AR和BR以及弧ACB给定，它们与弦AB和切线AD构成三角形RAB，RACB和RAD，如果A和B互相靠近，我说这些三角形它们消失时的最终形状相似，并且它们的最终比为等量之比。 因为当点B靠近点A时，总认为AB，AD，AR延长到在远处的点b，d和r，并引rbd平行于RD，且设弧Acb总与弧ACB相似。当点A，B重合时，角bAd消失，所以三个总是有限的三角形rAb，rAcb，rAd重合，因此之故相似且相等。所以，总与［rAb，rAcb，rAd］相似且成比例的RAB，RACB，RAD最终彼此相似且相等。此即所证 。 系理 且因此那些三角形，在所有关于最终比的论证中能互相代替。 引理 IX 如果直线AE和曲线ABC的位置给定，它们相互截于一给定的角A，且以另一给定角向那条直线引作为纵标线的BD，CE，它们交曲线于B，C，然后点B和C同时向点A靠近：我说三角形ABD，ACE的面积最终彼此按照边的二次比。 确实当点B，C靠近点A时，总认为AD延长到在远处的点d和e，使得Ad，Ae与AD，AE成比例，并竖立与纵标线DB，EC平行的纵标线db，ec交延长的AB，AC于b和c。引认为与ABC相似的曲线Abc，并引直线Ag，它与两曲线在A相切，并截纵标线DB，EC，db，ec于F，G，f，g。一方面保持Ae的长度，另外点B，C与点A会合，且角cAg消失，曲线形Abd，Ace与直线形Afd，Age的面积重合；因此（由引理V）将按照边Ad，Ae的二次比。但是面积ABD，ACE总与这些面积成比例，且边AD，AE总与这些边成比例。所以面积ABD，ACE最终按照边AD，AE的二次比。此即所证 。 引理 X 空间，它由受到一任意有限力推动的一个物体画出，无论那个力是确定的和不变的，或者持续增加或者持续减小，在运动刚开始时按照时间的二次比。 时间由线AD，AE表示，且所产生的速度由纵标线DB，EC表示；这些速度画出的空间，如同这些纵标线所画出的面积ABD，ACE，这就是，运动刚开始时空间自身（由引理IX）按照时间AD，AE的二次比。此即所证 。 系理1 因此容易推知，当物体在成比例的时间画出相似图形的相似部分时的误差，它由任意相等的力类似地用于这些物体上产生，由物体离开相似图形的那些位置度量，同样的物体在没有这些力作用时在成比例的时间到达那些位置，很近似地如同产生它们的时间的平方。 系理2 但是误差，它由成比例的力类似地用于相似图形的相似部分上产生，如同力与时间的平方的联合。 系理3 同样可以知道物体在不同的力推动下所画出的任意的空间。它们当运动刚开始时，如同力与时间的平方的联合。 系理4 因此，当运动刚开始时，力与［物体］所画出的空间成正比且与时间的平方成反比。 系理5 又，时间的平方与［物体］所画出的空间成正比且与力成反比。 解释 如果不同种类的不定量彼此比较，并且说其中的某一个与任意另一个成正比或反比，意思是，或者前者与后者按相同的比增加或减小，或与后者的倒数按相同的比增加或减小。且如果说其中的一个与另外两个或多个成正比或反比；意思是，第一个按照一个比增加或减小，它由后者中某个的或者另一个的倒数的增大或减小的比复合而成。且如果说A与B成正比又与C成正比又与D成反比；意思是，A按照与B×C×（1/D）同样的比增加或减小，这也就是，A与（BC/D）的相互之比为给定的比。 引理 XI 在切点具有有限曲率的所有曲线中，切角消失时的对边，最终按照弧毗连的对边的二次比。 情形1 设AB为那条弧，其切线为AD，切角的对边BD垂直于切线，弧的对边为AB。竖立垂直于这个对边AB和切线AD的直线AG，BG，它们交于G；然后点D，B，G靠近点d，b，g，再设J为当点D，B最终到达A时直线BG，AG的交点。显然距离GJ能小于任意指派的距离。又（由穿过点ABG，Abg的圆的性质）ABquad. 等于AG×BD，且Abquad. 等于Ag×bd；由此ABquad. 比Abquad. 之比由来自AG比Ag与比BD比bd的比复合而成。但因GJ能取得小于任意指派的长度，使得AG比Ag之比能成为与等量之比的差异小于任意给定的差的比，因此，ABquad. 比Abquad. 之比与BD比bd之比的差异小于任意给定的差。所以，由引理I，ABquad. 比Abquad. 的最终比与BD比bd的最终比相同。此即所证 。 情形2 现在BD以任意给定的角向AD倾斜，则BD比bd的最终比总与前者相同，且因此与ABquad. 比Abquad. 相同。此即所证 。 情形3 任意角D没有被给定，但直线BD往给定的一个点汇聚，或按任意其他的规则确定；毕竟角D，d按相同的规则确定，总倾向于相等且比任意给定的差更加靠近，由此由引理I它们最终相等，所以直线BD，bd的彼此之比与前面一样。此即所证 。 系理1 由于切线AD，Ad，弧AB，Ab以及它们的正弦BC，bc最终等于弦AB，Ab；同样它们的平方最终如同［切角的］对边BD，bd。 系理2 它们的平方最终也如同弧的矢 （10） （arcus sagitta），它们平分弦并汇聚于一给定的点。因为那些矢如同［切角的］对边BD，bd。 系理3 且因此，矢按照时间的二次比，在此期间物体以一个给定的速度画出弧。 系理4 直线三角形ADB，Adb最终按照边AD，Ad的三次比，且按照边DB，db的二分之三次比；由于［这些三角形］按照边AD和DB，Ad和db的复合比。所以三角形ABC和Abc最终按照边BC，bc的三次比。我说的二分之三次比是三次比的平方根，即是来自简单比和［它的］二分之一次比的复合。 系理5 因为DB，db最终平行并按照AD，Ad的二次比：最终曲线形ADB，Adb的面积（由抛物线的性质）是直线三角形ADB，ADb面积的三分之二；且弓形AB，Ab是同样的三角形的三分之一。并且这些［曲边形的］面积及这些弓形既按照切线AD，Ad的三次比；又按照弦和弧AB，Ab的三次比。 解释 然而，我们一直假设切角既不无限地大于也不无限地小于包含于圆和它们的切线的切角；这就是，在点A的曲率既不是无穷小又不是无穷大，或者间隔AJ的长短是有限的。因DB可取为如同AD3 ：在此情形过点A不能画出在切线AD和曲线AB之间的圆，因此切角无限地小于圆的切角。由类似的论证，如果DB相继取得如同AD4 ，AD5 ，AD6 ，AD7 ，等等，得到一个无穷延续的切角序列，其中任意后面的切角无限地小于前面的切角，且如果DB相继取得如同AD2 ， ， ， ， ，等等，得到另一切角序，其中第一个与圆的切角是同类，第二个较圆的切角无限地大，且任意后面的切角较前面的切角无限地大。而且，在这些角中的任意两个之间能插入位于两者之间的，向两个方向延续以至无穷的切角序列。其中任意后面的切角较前面的切角无限地大或者无限地小。如在AD2 和AD3 项之间插入序列 ， ， ， ， ， ， ， ， ，等等。又，在此序列的任意两个角之间可插入一个新的位于两者之间的角序列，彼此由无穷多的间隔区分。自然可知这没有限度。 那些关于曲线及关于它们所包围的面的证明，易用于立体曲面及立体的容积。我先期给出这些引理，是为了避免按古代几何学家的方式，用归谬法导出冗长的证明。确实，由不可分方法证明可得以缩短。但因不可分假设过于粗糙，所以那种方法被认为更少几何味；我宁愿此后命题的证明由正消失的量（quantitantum evanescentium）的最终和及最终比以及初生成的量（quantitantum nascentium）的最初和及最初比导出，亦即，由和及比的极限导出；我给出那些极限尽可能简洁的证明，如预先说的。因为由此得到的结果，同样也由不可分法得到，现在那些原理已经得到证明，我们利用它们更为稳妥。因此，在此后每当我考虑由小部分构成的量时，或当我用短曲线代替直线时，我不愿它们被理解为不可分量，而愿它们总被理解为正消失的可分量；不要理解为确定的部分的比以及和，而总理解为和以及比的极限，且此类证明的力量总从属于前面引理的方法。 反对意见是，正消失的量不存在最终比，因为在量消失之前，比不是总终的，在已消失之时，比不再存在。但同样的论证适用于［说明］一个物体到达其运动停止时的特定位置时没有最终速度，因为在物体到达这个位置之前，其速度不是最终速度，当物体到达那里时，不再有速度。但［对此的］回答是容易的：物体的最终速度被理解为，它既不是在物体到达运动最终到达并停止的位置之前的，也不是在它到达那个位置之后的，而是正当它到达时的速度；亦即，物体到达最终位置并停止的那个速度。并且类似地，正消失的量的最终比被理解为不是它们消失之前或消失之后的比，而是它们正消失时的比。同样，初生成的量的最初比是它们被生成时的比。且最初和最终的和是它们正当开始和终止（或者增加或者减小）的和。存在一个极限，在运动之终可以达到，但不能超过。这就是最终速度。这对所有刚出现和将要终止的量和比的极限是一样的。又因为这个极限是一定的且有界限，确定它是真正的几何学问题。在确定和证明其他几何学问题时，可以合法地应用［古典］几何学中的一切。 也可能［这样提出］反对，如果正消失的量的最终比给定，它们最终的大小亦被给定，因此所有量由不可分量构成，这与欧几里得在《几何原本 》第十卷论不可通约量中证明的真理相反。但这种反对依赖一个错误的假设。那些最终比，随着它们量的消失，实际上不是最终量的比，而是无限减小的量的比持续靠近的极限，它们能比任意给定的差更加接近，但在量被减小以至无穷之前它们既不能超过，也不能达到［此极限］。这种事件用无穷大能被更清楚地理解。如果两个量，它们的差给定并被增加以至无穷，它们的最终比被给定，即为等量之比，但给出此比的最终的量或最大的量并没有被给定。为了使后面的内容易于理解，我所说的极小的量或正消失的量或最终的量，提防被理解为大小确定的量，而总要意识到无限减小的量。 [book_title]第II部分 论求向心力 命题I 定理I 面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，停留在不动的平面上，且与时间成比例。 时间被分为相等的段，且在第一个时间段物体由于其固有的力画出直线AB。在第二个时间段，同一物体如果没有阻碍，它将一直前进到c，（由定律I）画出等于AB的线Bc；因此往中心引半径AS，BS，cS，画出的面积ASB，BSc相等。然而当物体到达B时，假设向心力以一次但有力的冲击，致使物体由直线Bc倾斜并在直线BC上前进。引cC与BS平行，交BC于C；则第二个时间段完成时，物体（由诸定律的系理I）在C被发现；它在与三角形ASB相同的平面。连结SC，因SB，Cc平行，三角形SBC等于三角形SBc，因此也等于三角形SAB。由类似的论证，如果向心力相继作用在C，D，E，等等，使物体在各自的时间片段各自画出直线CD，DE，EF，等等，它们全都位于同一个平面；且三角形SCD等于三角形SBC，［三角形］SDE等于［三角形］SCD，［三角形］SEF等于［三角形］SDE。所以在相等的时间，相等的面积在不动的平面上被画出：且通过复合，任意的面积和SADS，SAFS彼此之间，如同画出它们的时间。现在三角形的数目无限增加且其宽度减小以至无穷，且最终它们的周线ADF（由引理三的系理四）为曲线：因此向心力，由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；且画出任意的面积SADS，SAFS总与所画的时间成比例，面积在此情形与那些时间成比例。此即所证 。 系理1 在没有阻力的空间，被一个不动中心吸引的物体的速度与从那个中心到轨道的切线所落下的垂线成反比。因为在那些位置A，B，C，D，E的速度如同相等的三角形的底AB，BC，CD，DE，EF；且这些底与落在它们之上的垂线成反比。 系理2 如果AB和BC是由同一个物体在无阻力的空间中在相等的时间所画出的两段相继的弧的弦，补足平行四边形ABCV，则这条对角线BV当那些弧减小以至无穷时所处的位置，沿两个方向延伸，通过力的中心。 系理3 如果弦AB，BC和DE，EF是［物体在］无阻力的空间中在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形ABCV和DEFZ；在B和E的力彼此之比，当那些弧减小以至无穷时，按照对角线BV和EZ的最终比。因为物体的运动BC和EF（由诸定律的系理I）由运动Bc，BV和Ef，EZ合成，然而BV和EZ［分别与］Cc和Ff相等。在此命题的证明中它们由向心力在B和E的冲击产生，且因此与这些冲击成比例。 系理4 任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动并被弯折到曲线轨道的诸力的相互之比，如同在相等的时间内所画出的弧的矢的比。当那些弧减小以至无穷时，弧的矢汇聚于力的中心，并平分弦。由于这些矢是我们在系理三中所提到的对角线的一半。 系理5 所以这些力比重力，如同这些矢比那些垂直于地平线的抛物线的弧的矢，它们［抛物线］由抛射体在相同的时间画出。 系理6 由诸定律的系理V，当平面，物体在其上运动，连同力的中心，它们位于这些平面上，不是静止的而是均匀地一直运动，所有结论同样成立。 命题II 定理II 每一个物体，它在一个平面上画出的某一曲线上运动，且向或者不动的或者均匀地一直向前运动的点引半径，［半径］围绕那个点画出的面积与时间成比例，则物体被趋向同一个点的向心力所推动。 情形1 因每个在曲线上运动的物体，由作用在自身上的某个力使物体从直线路径弯折（由定律I）。且那个力，它使物体从直线路径弯折，围绕不动的中心S在相等的时间画出极小的相等的三角形SAB，SBC，SCD，等等，在位置B［力的］作用沿与cC平行的直线（由《几何原本 》第I卷命题XL，以及定律II），这就是，沿直线BS；在位置C沿与dD平行的直线，这就是，沿直线SC，等等。所以，作用总沿着趋向那个不动的点S的直线。此即所证 。 情形2 且由诸定律的系理5，无论物体在其上画出曲线图形的表面静止，或者它与物体，画出的图形及点S一起均匀地向前运动，并无差别。 系理1 在没有阻力的空间或介质中，如果面积不与时间成比例，则力不趋向半径的交点；而从那里向前（in consequentia）偏离，或者朝向运动发生的方向，只要画出的面积被加速；但如果它被迟滞，则从那里向后（in antecedentia）偏离。 系理2 在有阻力的介质中，如果所画出的面积被加速，力的方向从半径的交点朝向运动发生的方向偏离。 解释 物体可能由多个力合成的向心力推动。在这种情形命题的意义是那个由所有力合成的力趋向点S。而且如果其他力沿垂直于所画出的表面的直线持续作用，这引起物体离开它运动的平面，但画出的表面既不增加亦不减小，且所以［此力］在合力中被忽略。 命题III 定理III 每一个物体，向另一无论怎样运动的物体的中心引半径，围绕那个中心画出的面积与时间成比例，它被由来自趋向另一个物体的向心力及来自另一个物体被推动的总的加速力的合力所推动。 设第一个物体为L，另一个物体为T：且（由诸定律的系理6）如果两个物体沿平行线被一个新力推动，它等于且与那个力相反，由那个力另一个物体T被推动；第一个物体L继续围绕另一个物体T画出与以前相同的面积，但力，由它另一个物体T被推动，现在被等于且与此力相反的力所抵消；且所以（由定律I）现在留给另一个物体T自身或者静止，或者均匀向前的运动：且第一个物体L由力的差推动，亦即，剩余力推动它围绕另一个物体T继续画出与时间成比例的面积。所以（由定理II）力的差趋向作为中心的另一个物体T。此即所证 。 系理1 因此，如果一个物体L向另一个物体T所引半径画出的面积与时间成比例；则从整个力（无论是简单的力，或者根据诸定律的系理2由几个力合成的力），由它前一个物体L被推动，减去（由诸定律的同一个系理）整个加速力，由它后一个物体被推动的：剩余的整个力，由它前一个物体被推动，趋向作为中心的后一个物体T。 系理2 且如果那个面积与时间非常接近地成比例，则剩余力非常接近地趋向另一个物体T。 系理3 且反之亦然，如果剩余力非常接近地趋向另一个物体T，则那个面积与时间非常接近地成比例。 系理4 如果物体L向另一个物体T所引半径画出的面积，与时间相比非常不相称；且另一个物体T或者静止，或者均匀地向前运动：趋向那另一个物体T的向心力的作用或者没有，或者它混合并复合了其他很强的力的作用；如果有多个力，由所有的力合成的总力，指向另外一个（无论不动的或者运动的）中心。当另一个物体无论怎样运动时，得到同样的事情，只要向心力被取为减去作用于另一个物体T的整个力之后所余的力。 解释 既然画出相等的面积表示存在一个中心，那个使物体受到最大影响，由直线运动被拉回并被保持在自己的轨道上的力转向它；以后我们为何不用画出相等的面积作为一个中心的标志，在自由空间中围绕这一中心的所有环绕运动得以发生呢？ 命题IV 定理IV 诸物体以相等的运动画出不同的圆，向心力趋向那些圆的中心；且相互之间如同在同一时间所画出的弧的平方除以圆的半径。 由命题II和命题I的系理2这些力趋向圆的中心，且由命题I的系理4它们彼此之间如同在极短的相等的时间内所画出的弧的正矢 （11） （sinus versus），亦即，由引理VII如同那些弧的平方除以圆的直径；且所以，由于这些弧如同在任意的相等时间所画出的弧，且直径如同它们的半径，力如同在同一时间画出的任意弧的平方除以圆的半径。此即所证 。 系理1 因为那些弧如同物体的速度，向心力按照来自速度的二次正比和半径的简单反比的复合比。 系理2 又，因为循环时间按照来自半径的正比和速度的反比的复合比；向心力按照来自半径的正比和循环时间的二次反比的复合比。 系理3 因此，如果循环时间相等，则速度如同半径；向心力亦如同半径：且反之亦然。 系理4 且如果循环时间和速度都按照半径的二分之一次比；则向心力彼此相等：且反之亦然。 系理5 如果循环时间如同与半径，且所以速度相等；向心力与半径成反比：且反之亦然。 系理6 如果循环时间按照半径的二分之三次比，且所以速度按照半径的二分之一次反比；向心力与半径的平方成反比：且反之亦然。 系理7 一般地，如果循环时间如同半径R的任意次幂Rn ，且所以速度与半径的幂Rn-1 成反比；向心力与半径的幂R2n-1 成反比：且反之亦然。 系理8 当物体画出任意相似图形的相似部分，且［力的］中心在那些图形有相似的排列时，所有关于时间、速度和力的结论是同样的。这由前面的证明用于目前的情形得出。应用时由相等的面积代替相等的运动，物体离中心的距离代替所说的半径。 系理9 由同样的证明亦得出：弧，它由一个物体以给定的向心力均匀地在一圆上运行时在任意的时间画出，是圆的直径和同一个物体由同一给定的力，在相同的时间所完成的下落之间的比例中项。 解释 系理6的情形对于天体成立（正如我国的雷恩 、胡克 和哈雷 分别发现的）。所以针对按照离中心的距离的二次比减小的向心力，我准备在下面详细讨论。 而且得益于目前的命题及其系理，向心力比其他任意已知力，如重力的比例，可被断定。因为如果一个物体由自身的重力沿与地球同心的圆运行，此重力就是向心力。由这个命题的系理9，从重物的下落，物体运行一周的时间被给定，且它画出任意弧的时间亦被给定。又，按这种类型的命题，惠更斯 在他卓越的专著《论摆钟 》（de Horologio Oscillatorio）中把重力与环绕物体的离心力（vis contrifuga）一同做了比较。 当前这个命题亦能按如下方式证明。在任意圆内，想象任意边数的多边形被画出。且如果［物体］以给定速度沿多边形的边运动，并在每个角被圆反射，每次反射时撞击圆的力，如同其速度，因此在给定时间内的力之和如同那个速度和反射次数的联合；此即（如果多边形的种类被给定）如同在那段给定的时间所画出的长度，且按照同一长度比前面所说的圆的半径之比增大或减小；亦即，如同那个长度的平方除以半径。由是，如果多边形的边无限减小并与圆重合，如同在给定的时间所画出的弧的平方除以半径。这是离心力，由它物体推动圆；且相反的力等于这个力，由它圆持续把物体推向中心。 命题V 问题I 给定在任意位置的速度，由它一个物体以趋向某个公共的中心的力画出一个给定的图形，求那个中心。 设三条直线PT，TQV，VR与所画出的图形在同样数目的点P，Q，R相切并交于T和V。在切线上竖直垂线PA，QB，RC，它们与在切线竖立起的那些点P，Q，R［处物体］的速度成反比；亦即，PA比QB如同在Q的速度比在P的速度，且QB比RC如同在R的速度比在Q的速度。经垂线的端点A，B，C［与这些垂线］成直角地引AD，DBE，EC交于D和E：则作成的TD，VE交于要求的中心S。 因为由中心S落到切线PT，QT上的垂线（由命题I系理1）与物体在点P和Q的速度成反比；因此由作图与垂线AP，BQ成正比，亦即如同由D点落到切线［PT］上的垂线。因此易于推断出点S，D，T在一条直线上。又由类似的论证，点S，E，V亦在一条直线上；且所以中心S位于直线TD，VE的相交之处。此即所证 。 命题VI 定理V 如果一个物体在一无阻力的空间围绕一个不动的中心在任意的轨道上运行，并在极短的时间画出任意一条刚要消失的弧，并且如果所引的弧的矢被理解为它平分弦且延长时穿过力的中心：在弧中间的向心力与矢成正比且与二次时间成反比。 因为在一给定时间的矢如同力（由命题I系理4），且按任意的比增大时间，由于弧按同样的比增大，矢按照那个比的二次方被增大（由引理XI系理2和系理3），因此如同一次力和二次时间。从两边除去时间的二次比，力变为如同矢的正比和二次时间的反比，此即所证 。 此命题易于由引理X的系理4证明。 系理1 如果物体P围绕中心S运行画出曲线APQ；直线ZPR切那条曲线于任意点P，从曲线上另一任意点Q引QR平行于距离SP，并向那个距离SP落下垂线QT：向心力与立体 成反比；只要那个立体总取作当点P与Q重合时的最终的度量。因为QR等于中点在P二倍于弧QP的［一段弧的］矢，且三角形SQP的二倍或者SP×QT与一段时间成比例，在此期间二倍的那个弧被画出，且因此能代替时间。 系理2 由同样的论证，向心力与立体 成反比，只要SY是从力的中心落到轨道的切线PR上的垂线。因为矩形SY×QP与SP×QT相等。 系理3 如果轨道或者为圆形，或者与一圆同心相切，或者同心相截，亦即，［轨道］与圆所含的切角或者交角为最小，在点P有同样的曲率及同样的曲率半径；且如果PV为由物体过力的中心所作成的这个圆的弦：向心力与立体SYq ×PV成反比。因为PV即是 。 系理4 对同样的题设，向心力与二次速度成正比，且与那条弦成反比。因为由命题I系理1，速度与垂线SY成反比。 系理5 因此，如果任意曲线图形APQ被给定，且在其上也给 定一点S，向心力持续指向它，能发现向心力的定律，由它任意物体P不断地被拉离直线路径，并被保持在那个图形的周线上，且在运行时也画出它［作为轨道］。于是需计算与这个力成反比的立体 或者立体SYq ×PV。在下面的问题中，我们给出这类例子。 命题VII 问题II 使一个物体在一圆的圆周上运行，需求趋向任意给定点的向心力的定律。 令圆周为VQPA，S为给定的点，它作为力趋向的中心；物体P在圆周上转动，Q为相邻的，它要运动到的位置；且圆在前一位置P的切线为PRZ。经点S引弦PV，并作圆的直径VA，连结AP；且往SP上落下垂线QT，延长它交切线PR于Z；然后又过点Q引LR，它与SP平行，又交圆于L，切线PZ于R。因三角形ZQR，ZTP，VPA相似，RPquad. ，这就是QRL比QTquad. 如同AVquad. 比PVquad. 。因此 等于QTquad. 。这些相等的量乘以 ，且当点P和Q重合时用PV代替RL。如上所言， 变为与 相等。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与 成反比；亦即（由于AVquad. 给定）与距离或高度SP的平方及弦PV的立方（cubus）的联合成反比。此即所求 。 另解 往延长了的切线PR上落下垂线SY；又由相似三角形SYP，VPA；AV比PV如同SP比SY：因此 等于SY，且 等于SYquad. ×PV。所以（由命题VI系理3和系理5）向心力与 成反比，这就是，因AV给定，与SYq ×PVcub. 成反比。此即所求 。 系理1 因此，如果给定点S，向心力总趋向它，它位于这个圆的圆周上，比如说在V，则向心力与高度SP的五次方成反比。 系理2 力，由它物体P在圆周APTV上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一个圆上以相同的循环时间围绕另外一个任意力的中心R运行，如同RPquad. ×SP比直线SG的立方，SG为从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引的，并与物体离第二个力的中心的距离平行的直线。因为由这个命题的作图，前一个力比后一个力如同RPq ×PTcub. 比SPq ×PVcub. ，亦即，如同SP×RPq 比 ，或者（由于相似三角形PSG，TPV）比SGcub. 。 系理3 力，由它物体P在任意轨道上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一轨道上以相同的循环时间围绕另外一个任意的力的中心R运行，如同物体离第一个力的中心S的距离和它离第二个力的中心P的距离的平方所包含的［立体］ SP×RPq 比直线SG的立方，它［SG］从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引，且平行于物体离力的第二个力的中心的距离RP。因为在这个轨道上任意点P的力与在同曲率的圆上的力是相同的。 命题VIII 问题III 使一个物体在半圆PQA上运动；需求有如此效果的向心力的定律，力趋向的点S是如此之远，以至所有向它引的直线PS和RS可以认为是平行的。 自半圆的中心C引半直径CA与那些平行线垂直截于M和N，并连结CP。因为三角形CPM，PTZ和RZQ相似，CPq 比PMq 如同RPq 比QTq ，又由圆的性质，RPq 等于矩形 ，或者当点P和Q会合时，等于矩形QR×2PM。所以CPq 比PMquad. 如同QR×2PM比QTquad. ，且因此 等于 ，又 等于 。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与 成反比，此即（忽略定比 ）与PMcub. 成反比。此即所求 。 由前一命题容易导出同样的结论。 解释 且由［与此］没有多大差异的论证，一个物体被发现在椭圆，或者双曲线，或者抛物线上运动，向心力，它与趋向极为遥远的力的中心的纵标线的立方成反比。 命题IX 问题IV 使一个物体在与所有半径SP，SQ，等等，以一定角相截的螺线PQS上运行：需求趋向螺线中心的向心力的定律。 设不确定的小角PSQ被给定，又由于所有的角已给定，图形SPRQT的种类亦被给定。所以比 被给定，又 如同QT，这就是（由于那个图形的种类给定）如同SP。现在任意改变角PSQ，切角QPR所对的直线QR（由引理XI）按照PR或QT的二次比变化。所以 与前面保持一样，这就是，如同SP。于是 如同SPcub. ，因此（由命题VI系理1和系理5）向心力与距离SP的立方成反比。此即所求 。 另解 在切线上落下垂线SY，又共心截螺线的圆的弦PV比高度SP按照给定的比；且因此SPcub. 如同SYq ×PV，这就是（由命题VI系理3和系理5）与向心力成反比。 引理XII 所有围绕一个给定的椭圆或双曲线的任意共轭直径所画出的平行四边形彼此相等。 这由《圆锥截线 》是显然的。 命题X 问题V 使一个物体在一椭圆上运行：需求趋向椭圆的中心的向心力的定律。 令CA，CB为椭圆的半轴；GP，DK为另外的共轭直径；PF，QT垂直于直径；Qv为附属于直径Gp的纵标线，且如果补足平行四边形QvPR，则（由《圆锥截线 》）矩形PvG比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，又（由于相似三角形QvT，PCF）Qvquad. 比QTquad. 如同PCquad. 比PFquad. 。这些比相结合，矩形PvG比QTquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，及PCquad. 比PFquad. ，亦即vG比（QTquad. ）/（Pv）如同PCquad. 比（CDq ×PFq ）/（PCq ）。把Pv写成QR，且（由引理XII）CD×PF写成BC×CA，以及（当点P和Q重合时）把vG写作2PC，又未项和中项彼此相乘，（QTqund ×PCq ）/（QR）等于（2BCq ×CQq ）/（PC）。所以（由命题VI系理5）向心力与（2BCq ×CAq ）/（PC）成反比；亦即（由于2BCq ×CAq 给定）与1/（PC）成反比；这就是，与距离PC成正比。此即所求 。 另解 在直线PG上点T的另一侧按照Tu等于Tv取点u；然后取uV，它比vG如同DCquad. 比PCquad. 。又因为由《圆锥截线 》，Qvquad. 比PvG如同DCquad. 比PCquad. ，Qvquad. 等于Pv×uV。两边加上矩形uPv，出现弧PQ的弦的平方等于矩形VPv；且因此圆，它与圆锥截线在P点相切，穿过点Q，亦穿过点V。点P与Q重合时，uV比vG之比，它与DCq 比PCq 之比相同，变成PV比PG或PV比2PC之比；因此PV等于（2DCq ）/（PC）。是以力，由它物体P在椭圆上运行，与（2DCq ）/（PC）乘以PFq 成反比（由命题VI系理3），这就是（由于2DCq 乘以PFq 给定）与PC成正比。此即所求 。 系理1 所以，力如同物体离椭圆的中心的距离；且反之，如果力如同距离，物体在其中心在力的中心的一个椭圆上运动，或者也许在圆上，椭圆能变化为圆。 系理2 且在围绕同一中心的所有椭圆上所做的运行的循环时间相等。因为那些时间在相似的椭圆上相等（由命题IV系理3和系理8），但是在具有公共长轴的椭圆上，它们的相互之比如同整个椭圆面积的正比和同时画出的小部分面积的反比；亦即，与短轴成正比，且与物体在主顶点 （12） （vertex principalis）的速度成反比；这就是，与那些短轴成正比，且与公共轴的同一点所属的纵标线成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。 解释 如果椭圆的中心跑至无穷远，椭圆变为抛物线，物体在此抛物线上运行；现在趋向在无穷远距离的中心的力最终相等。这是伽利略的定理。且如果圆锥的抛物线形截面（通过改变圆锥截面的倾斜）变为双曲线，在这个［截面］边缘运动的物体的向心力变为离心力。且正如在圆或椭圆中，如果力趋向的图形的中心位于横标线上，按照任意给定的比增加或减小纵横线，或者改变纵标线对横标线的倾斜角，这些力总按照到中心的距离的比增大或减小，只要循环时间保持相等；因此在一般的图形中，如果纵标线按任意给定的比增大或减小，或者纵标线的倾角任意变化，保持循环时间［不变］，趋向位于任意横标线上的中心的力，对每一条纵标线，按照离中心的距离之比增大或减小。 [book_title]第III部分 论物体在偏心的圆锥截线上的运动 命题XI 问题VI 一个物体在一椭圆上运行；需求趋向椭圆的一个焦点的向心力的定律。 令S为椭圆的一个焦点。引SP截椭圆的直径DK于E，又截纵标线Qv于x，再补足平行四边形QxPR。显然EP等于半长轴AC，如此是因为，由椭圆的另一焦点H作平行于EC自身的线HI，因CS，CH相等，ES，EI也相等，至此EP是PS，PI，亦即（因HI与PR平行，且角IPR与HPZ相等）PS，PH的和之半，它们连结起来等于整个轴2AC。向SP上落下垂线QT，称L为椭圆的主通径 （13） （latus rectum principale）（或 ，则L×QR比L×Pv如同QR比Pv，亦即，如同PE或AC比PC；且L×Pv比GvP如同L比Gv；又GvP比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad. 及（由引理VII系理2），Qvquad. 比Qxquad. 在Q和P重合时成为等量之比；再者Qxquad. 或Qvquad. 比QTquad. 如同EPquad. 比PFquad. ，亦即，如同CAquad. 比PFquad. ，或者（由引理XII），如同CDquad. 比CBquad. ，并连结所有这些比，L×QR比QTquad. 如同AC×L×PCq ×CDq ，或2CBq ×PCq ×CDq 比PC×Gv×CDq ×CBq ，或如同2PC比Gv。然而点Q和P重合时2PC和Gv相等。所以与此成比例的L×QR和QTquad. 相等。这些等量乘以 ，则L×SPq 等于 。所以（由命题VI系理1和系理6）向心力与L×SPq 成反比，亦即，按照距离SP的二次反比。此即所求 。 另解 由于趋向椭圆的中心的力，由它物体P能在那个椭圆上运行，如同（由命题X系理1）物体离椭圆的中心C的距离CP；引CE平行于椭圆的切线PR；且力，由它同一物体能环绕椭圆的另外任意点S运行，如果CE和PS交于E，如同（PEcub. ）/（SPq ）（由命题VII 系理3），这就是，如果点S为椭圆的一个焦点，且因此PE被给定，与PSq 成反比。此即所求 。 这里可以一样简短地如问题五那样推至抛物线和双曲线。实在因为问题的重要性及在其后它们的应用，由证明证实另外的情形，当不会令人生厌。 命题XII 问题VII 一个物体在一支双曲线上运动；需求趋向图形的一个焦点的向心力的定律。 令CA，CB为双曲线的半轴；PG，KD为另外的共轭直径，PF垂直于直径KD；Qv为附属于直径GP的纵标线。引SP截直径DK于E，又截纵标线Qv于x，并补足平行四边形QRPx。显然EP等于横截半轴AC，如此是因为，由双曲线另一焦点H作平行于EC自身的线HI，因为CS，CH相等，ES，EI也相等；至此EP是PS，PI，亦即（因IH，PR平行且角IRP，HPZ相等）PS，PH的差的一半，因为差等于整个轴2AC。向SP落下垂线QT。且称L为双曲线的主通径（或 ），则L×QR比L×Pv如同QR比Pv，或Px比Pv，亦即（因相似三角形Pxv，PEC）如同PE比PC，或AC比PC。L×Pv比Gv×Pv也如同L比Gv；而（由圆锥截线的性质）矩形 （14） （rectangulum）GvP比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad.；又（由引理VII系理2）Qvquad. 比Qxquad. 当点Q和P重合时，成为等量之比；则Qxquad. 或Qvquad. 比QTq 如同EPq 比PFq ，亦即，如同CAq 比PFq ，或（由引理XII）如同CDq 比CBq ：联合所有这些比，L×QR比QTq 如同AC×L×PCq ×CDq ，或2CBq ×PCq ×CDq 比PC×Gv×CDq ×CBq ，或如同2PC比Gv。但当点P和Q重合时，2PC和Gv相等。所以与此成比例的L×QR和QTq 相等。这些等量乘以（SPq ）/（QR），则L×SPq 等于（SPq ×QTq ）/（QR）。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与L×SPq 成反比，亦即，按照距离SP的二次反比。此即所求 。 另解 所求的力，它趋向双曲线中心。这已得出，它与距离SP成比例。由此（由命题VII系理3）趋向焦点S的向心力如同（PEcub. ）/（SPq ），因PE给定，即与SPq 成反比。此即所求 。 按同样的方式可以证明，当这一向心力变为离心力，物体将沿相对的双曲线［分支］运动。 引理 XIII 属于任意顶点的抛物线的通径是那个顶点离图形的焦点的距离的四倍。 这由《圆锥截线 》是显然的。 引理 XIV 垂线，它从一条抛物线的焦点落到其切线上，是焦点离切点的距离和离主顶点的距离的比例中项。 因设AP为抛物线，S为其焦点，A为主顶点，P为切点，PO为附属于主直径 （15） （diametros principalis）的纵标线，切线PM交主直径于M，且SN为由焦点到切线的垂线。连结AN，又因为MS和SP，MN和NP，MA和AO相等，直线AN和OP是平行的；并由三角形SAN在A为直角且相似于相等的三角形SNM，SNP： ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜