[book_name]最后的沉思 [book_author]彭加勒 [book_date]不详 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]外国名著,完结 [book_length]97287 [book_dec]《最后的沉思》这部遗著收录了彭加勒在最后的科学生涯中就数学和科学以及它们的哲学所发表的九篇文章和讲演，其中包含着他的一些值得注意的见解。 规律的演变一文就自然规律问题进行了哲学思考；空间和时间讨论了相对性问题；空间为什么有三对这个问题作了新颖的解释；无限的逻辑讨论了罗素的类型理论；数学和逻辑，分析了实用主义和康托尔主义对数学在逻辑中的作用的见解，提出了作者自己的看法，是作者临终前不久写的一篇评述性文章，论述了量子论及其应用，阐述了作者独到的观点；物质和以太之间的关系，讨论了世纪之交物理学家普遍关心的问题；最后两篇伦理和科学及道德联盟论述了伦理和科学的关系，说明了科学在道德教育中的重大作用。这些文章和讲演文笔流畅、言简意赅、发人深省，值得对科学与哲学有兴趣的读者一读，对从事科学史、科学思想史、科学哲学研究的同志，尤其有参考价值。 [book_img]Z_10077.jpg [book_title]英文版译者说明 正如诗人为了以充分的气势表达他的思想，使完成的作品获得必要的节奏和韵律而必须寻找合适的字眼一样，译者为了用一种语言准确地、以同样的气势传达作者用他原来的语言所阐述的思想，也必须如此，只有这样才能达到恰如其分的描述。在这个过程中，语言——按译者的看法——往往丧失它们的一致性，并且一种语言往往具有其他语言所没有的特殊风格。 因此，我特别感谢华莱士·L.戈尔茨坦博士，他帮我指出由于两种语言的结合而产生的语法结构方面的缺憾。在校对原稿和编制索引方面，他的帮助同样是重要的。但是，最后结果中的任何错误都是我本人的。 约翰·W.布尔达克 [book_title]法文版前言 在《最后的沉思》的书名下收集了各种不同的文章和讲演，昂利·彭加勒先生本人期望它们能构成他的科学哲学著作的第四卷。以前的所有论文和文章都已经包括在前三卷中。 指出前三卷惊人的成功也许是多余的。在这些书中，作为最杰出的现代数学家的彭加勒被证明是一位著名的哲学家和作家，他的著作深深地影响了人类的思想。 十分可能，假使昂利·彭加勒自己出版这本书，他也许会修改某些细节，消除一些重复。但是，在我们看来，考虑到对这位伟大人物的敬意，不应该对他的原文作任何删改。 用对昂利·彭加勒著作的评论来作这本书的前言，似乎同样是多余的。许多学者已经对这些著作作过评价，任何评述恐怕都不会增加这位伟大天才的荣耀。 G. 勒邦 [book_title]第一章 规律的演变 布特鲁（Boutroux）先生在他的论自然规律偶然性的著作中间道：自然规律是否不轻易变化呢？如果世界连续不断地演化，那么支配世界这种演化的规律本身是否唯一地被排除在所有的变化之外呢？这样一种概念从来也没有被科学家接受，在他可能理解这种概念的意义上，除非否认了科学的合理性和真正的可能性，科学家是不会接受它的。但是，哲学家却保留着询问这一问题的权利，以便考虑它所限定的各种答案，审查这些答案的后果，并力图使它们与科学家的合理要求协调一致。我乐于考虑该问题能够呈现出的几个方面。因此，我将不得出所谓的结论，而是得出各种各样的想法，这些想法也许不会使人兴味索然。在这个过程中，如果我随意详细地考虑某些有关的问题，我希望读者宽恕我。 I 首先，让我们设想数学家的观点。让我们暂且承认，物理规律在很长的世世代代的过程中已经经历了变化，让我们扪心自问，我们是否会具有觉察到这些变化的手段。让我们首先不要忘记，在人们生活和思考过的若干世纪之前，有一个无法比拟的更漫长的时期，当时人类还不存在呢；毫无疑问，今后接着的将是人种灭绝的时代。确实，如果我们要相信规律的演变，那么这种演变只能是很缓慢的，以致在人类能够论证的若干年内，自然规律只会经历不显著的改变。如果规律在过去的确演变了，我们必须通过地质学上的过去来了解。以前的［地质］时代的规律是今天的规律吗？明天的规律还将是相同的吗？当我们询问这样一个问题时，我们必须把什么样的意义赋予“以前”、“今天”和“明天”这些词语呢？所谓“今天”，我们意指有历史记载的时期；所谓“以前”，我们意指有历史记载之前的亿兆年，在这个时期，鱼龙安宁地生活着，没有什么哲学思考；“明天”意谓随后的亿兆年，在这个时期，地球将变冷，人类将既没有眼睛去观察，也没有大脑去思考。 由此看来，规律是什么呢？它是前因和后果之间、世界的目前状态和直接后继状态之间的恒定联系。知道宇宙每一部分目前的状态，通晓所有自然规律的理想的科学家就会掌握固定的法则，运用这些法则推导这些相同的部分在明天所处的状态。可以设想，这个过程能够无限地进行下去。知道世界在星期一的状态，我们便能够预言它在星期二的状态；知道星期二的状态，我们便能够用同样的过程推断它在星期三的状态；如此等等。但是这并非一切；如果在世界的星期一的状态和星期二的状态之间存在着恒定的联系，那么就有可能从第一种状态推论出第二种状态。可是，这个过程也可以反过来进行；也就是说，如果已知世界在星期二所处的状态，就有可能推断出星期一的状态；从星期一的状态我们将能推断出星期天的状态；如此等等。因此，有可能向后以及向前追踪时间的进程。知道了现在，掌握了规律，我们就能够预言未来，但我们同样也能够了解过去。这个过程基本上是可逆的。 由于我们在这个结合点上采取数学家的观点，因此我们必须给这个概念以它所要求的全部精确性，即使它变得必需利用数学语言。那么我们应该说，规律的主体等价于把宇宙的不同元素的变化速度与这些元素的现在值联系起来的微分方程组。 正如我们知道的，这样一个微分方程组包含着无限个数的解。但是，如果我们取所有元素的初始值，即取它们在t＝0 时刻（这在日常语言中相当于“现在”）的值，那么解就完全被确定，以致我们能够计算所有元素在无论任何时候的值，不管我们假定相应于“未来”的t＞0，还是假定相应于“过去”的t＜0。重要的是要记住，从现在推导过去的方式与从现在推导将来的方式没有区别。 因此，我们认识地质上的过去意味着什么呢；也就是说，我们认识规律可能已经变化了的以前时代的历史意味着什么呢？这种过去不能被直接观察到，我们只是通过它留在现在的痕迹认识它。我们只有通过现在认识过去，我们只能通过我们刚刚描述的［推断］过程推断过去，这个过程将容许我们以同样的方式推断未来。但是，这个推断过程能够揭示规律的变化吗？显然不能，因为我们只能在假定规律没有改变的情况下精确地应用这个原则；例如我们仅仅直接知道世界在星期一的状态和把星期天的状态与星期一的状态联系起来的法则。因此，应用这些法则将使我们知道星期天的状态；可是如果我们希望进一步探索，希望推断世界在星期六的状态，那么我们绝对有必要承认，容许我们推断从星期一到星期天的同一法则在星期天和星期六之间还是有效的。没有这一点，容许我们推断出的唯一结论就是，不可能知道在星期六发生了什么。因而，如果规律的不变性在我们所有推断过程的前提中起作用，那么它必然在我们的结论中出现。 知道行星现在的轨道，勒维烈（Leverrier）能够根据牛顿定律计算这些轨道在一万年后将是什么样子。无论他在计算中运用什么方法，他决不能认为牛顿定律在几千年中会变得不正确。他只要在他的公式中改变时间因子的符号，便能够计算出这些轨道在一万年前是什么样子。但是他预先肯定没有发现牛顿定律并非总是正确的。 总之，我们无法认识过去，除非我们承认规律不改变；如果我们承认这一点，那么规律演变的问题就毫无意义；如果我们不承认这个条件，那么认识过去的问题便不可能有解，正如与过去有关的所有问题一样。 Ⅱ 然而，人们可能会发问：应用刚刚描述的过程就不能导致矛盾吗？或者，如果我们希望的话，我们的微分方程就不能无解吗？既然在我们论证开始时提出的规律不变性的假说导致出荒谬的结果，那么我们已格外荒谬地证明了，规律已经改变，同时我们永远也不能知道是在什么意义上的改变。 既然这个过程是可逆的，我们刚刚说过的道理同样可以适用于未来，似乎存在着这样一些情况：那时我们能够说，在一个特定的日期之前，世界会到达末日或改变它的规律；例如，当我们的计算表明，在那一天我们必须考虑的一些量中的一个正好变成无限或呈现出物理学上不可能的值。世界末日或改变它的规律将是同样的事情；与我们的规律不相同的世界将不再是我们的世界，而是另一个世界。 研究现在的世界和它的规律将会导致我们易于表述这样一些矛盾，这是可能的吗？规律是通过经验得出的；如果规律告诉我们，星期天的条件A把我们引向星期一的条件B，这是因为我们既观察到条件A也观察到条件B。因此，正是因为这两个条件没有那一个在物理学上是不可能的。如果我们进一步追踪这个过程，如果我们完成了从一天到下一天，即从条件A到条件B的每一时间进程，接着完成从条件B到条件C，然后从条件C到条件D等等的每一时间进程，这是因为这些条件在物理学上是可能的。例如，假如条件D在物理学上是不可能的，我们就绝不能获得经验，来证明条件C在某一天结束时产生条件D。不管推导进行得多么长，我们因此永远达不到在物理学上是不可能的条件，即得不出矛盾。如果我们的表述之一没有摆脱矛盾，那么我们或许已经超越了经验的界限；我们也许已经外推到界限之外了。例如，让我们设想，我们观察到，在给定的环境下，一个物体的温度每天降低一度。如果它现在的温度是20℃，我们便可以计算出，在300天后温度将是-280℃；这将是荒谬的，在物理学上是不可能的，因为绝对零度是-273℃。这怎么能够加以解释呢？我们曾经观察到温度从-279℃降到-280℃吗？当然没有，因为这两个温度不可能被观察到。例如，我们看到，在0℃和20℃之间，该规律是正确的，至少十分近似地正确，但我们不恰当地得出结论说，它在-273℃甚至在低于此温度时同样也是正确的。我们已经犯了无根据的外推的错误。但是，存在着无限多个外推经验公式的方法，在这些方法中，总是可以选择一种排除那些在物理学上是不可能的状态的方法。 我们仅仅是不完全地认识一些规律。经验只不过限制我们的选择；从经验容许我们选择的所有规律中，总可能找到某些规律，这些规律不会把我们引向我们刚才提到过的那类矛盾，并且能够迫使我们得出规律并非永远不变的结论。能证明规律演变的这样一种手段还未被我们发现，不管它涉及到证明规律将要改变，还是涉及到证明规律已改变。 Ⅲ 在这点上，我们会面对这样一个实际的争论。“你们说，在从现在论证过去的尝试中（这是通过理解规律而成为可能的）我们将永远不会遇到矛盾。然而，科学家却遇到了这样的矛盾，这不可能像你们所想的那样十分容易防止。我姑且承认，它们可能只不过乍看起来是矛盾，或者我们可以继续希望去解决它们；但是，按照你们的推论，即使表面的矛盾也是不可能的。” 让我们立即引证一个例子。如果我们根据热力学定律计算太阳已经能够发热的时间长短，我们确定这大约是五千万年。对于地质学家来说，这个时间长度是不够的。不仅对于有机生命的进化来说，如此迅速地发生是不可能的——这是我们可能会争论的一个方面——而且我们发现存在植物和动物残骸的地层沉积恐怕也需要十倍长的时间，没有太阳光，这些动植物是不会茁壮成长的。 使矛盾成为可能的理由在于，所依据的地质学的证据与数学家的证据大为不同。当我们观察相同的效果时，我们推论原因也是一致的。例如，当我们发现属于现在活着的一个科的动物的化石时，我们得出结论说，使这些动物旺盛繁殖的一些必要条件在包含沉积这些动物化石的地层时代的同一时期也完全存在。 乍看起来，那是数学家所运用的相同的方法，在前一节我们已设想了数学家的观点。数学家也得出结论，既然规律没有变化，同一的效果只能够由同一的原因产生。然而存在着一个基本的差别。让我们考察世界在一个给定瞬时和较早一个瞬时的状态。世界的状态，或者甚至是世界很小一部分的状态都是极其复杂的，都依赖于大量的要素。为了简化解释，我们将假定只有两个要素，使得这两个给定的量足以规定这一状态或条件。例如，在稍后的瞬时，这些已知量将是A和B；在稍前的瞬间是A′和B′。 数学家从收集到的经验定律中推导出的公式告诉他，状态AB只能够从先前的状态A′B′中产生出来。但是，如果他只知道一个给定的量，例如A，而不知道A是否被另一个给定的量B伴随着，那么他的公式不容许他得出任何结论。至多，如果现象A和A′对他来说似乎是相互关联的，而B和B′却相对独立，那么他将论证从A到A′；总之，他都不能仅仅从条件A推导出两个条件A′和B′。相反地，只观察到效果A 的地质学家将会得出结论，这个效果只能通过原因A′和B′的会聚来产生，从朴素的观点看来，原因A′和B′往往产生这个效果。因为在许多情况下，这个效果A是如此特殊，以致任何产生相同结果的任何其他原因的会聚是绝对不可能的。 如果两个有机体是相同的或仅仅是类似的，那么这种类似性不能归因于机遇，并且我们能够断言，它们已在类似的条件之下存在。在发现它们的残骸时，我们将不仅肯定，曾经存在一种类似于我们看到已从中发育出相似的生物的种子，而且也将确定，为了该种子的发育，外界温度是不太高的。否则，这些残骸正如十七世纪人们认为的那样，只不过是天生的怪物。不用说，这样一个结论是与情理绝对相反的。而且，有机物残骸的存在只不过是比其他情况更为令人注目的极端例子。我们可以把我们自己限制在无机世界，并且依然可以引证同类例子。 因此，地质学家从而能够在数学家无能为力的场合引出结论。但是，我们注意到，地质学家不再像数学家那样信心十足地反对矛盾。如果他从单一的情况引出有关以前许多情况的结论，如果结论的范围在某些方面比前提的范围更为广泛，那么有这样的可能，从特定观察得出的推论将与从另外的观察推导出的结论不一致。每一个孤立的事实都可以说是一个发光中心，数学家从这些事实中的每一个推导出单一的事实；地质学家从它们中推导出复合的事实。从给定的光点，他推知或大或小尺度的光轮。然后，两个光点将给他两个可能重叠的光轮；从而具有冲突的可能性。例如，如果他在地层中发现在低于20℃的温度下不能旺盛繁殖的软体动物，他将得出结论说，这个区域的海洋在那个世代曾经是温暖的。可是后来，如果他的一个同事在同一地层发现了另外一种在温度高于5℃就会死亡的动物，他会得出结论说，这些海洋是寒冷的。 人们有理由期望，观察结果事实上不会有矛盾，或者矛盾并非不可解决。但是，可以这样说，我们不再保证通过形式逻辑的规则本身来防止矛盾。这样，通过像地质学家那样所作的推理，我们可能感到奇怪，我们是否将在某一天不被引导到一个荒谬的结果去呢，这个结果将迫使我们承认规律的可变性。 Ⅳ 让我在这里暂且离开主题。我们刚才看到，地质学家具有一种工具，这种工具是数学家所缺少的，它容许地质学家从现在得出有关过去的结论。为什么同样的工具不容许我们从现在作出有关将来的推论呢？假若我遇到一个二十岁的入，我确信他走过了从童年到成年的一切阶段，从而确信在过去二十年间地球上未曾有过消灭一切生命形式的灾变。但是，这并没有以任何方式向我证明，在下一个二十年内将不存在灾变。我们有方法认识过去，当涉及到未来时，这种方法却使我们失望，正是这个缘由，对我们来说，未来似乎比过去更为神秘。 我不得不提到我过去写的关于机遇的一篇文章。在那篇文章里，我请求注意拉朗德（Lalande）先生的意见。与此相反，他曾经说过，即使未来由过去决定，而过去却不由未来决定。按照他的观点，一个原因只能够产生一个结果，而相同的结果却能够由几个不同的原因产生。如果事情是这样的话，过去可能是神秘的，未来却容易认识。 我不能接受这种意见，可是我已指明，它的起源可能是什么。卡诺（Carnot）原理告诉我们，能量不会被消灭，但却能够消散。温度趋向于一致，世界趋向于均匀，即趋向于死寂。因此，原因上的巨大差别只在结果上产生些微差别。一旦结果上的差别变得小到无法觉察，我们就不再有任何方法了解过去在产生这些结果的各种原因之间存在的差别，不管这些差别曾经多么大。 然而，这恰恰是因为，所有事物都趋向于死寂，而生命则是一个必须加以解释的例外。 设滚动着的卵石由于机遇离开山坡，它们都将滚落到山谷为止。如果我们在山脚下找到它们中的一个，那么这将是一个平常的结果，它无法告诉我们卵石原先的来历，我们将无法了解它在山上的初始位置。可是，假使我们偶尔在山顶附近发现一块石子，我们能够断言，它总是在那里，因为如果是在斜坡上，它就会滚到最低处。我们比较肯定地作出这一断言，该事件愈是例外，这种情况不会发生的机遇也愈大。 Ⅴ 我只是顺便提起这个问题，它值得更多地思考，但是我不希望离题太远。地质学家的矛盾将永远引导科学家作出有利于规律演变的裁决，这是可能的吗？首先，让我们注意，仅仅是在它们的初始阶段，科学使用了类似于现在地质学必定感到满足的推理方法。当科学发展时，它们接近天文学和物理学似乎已经达到的状态，在这个状态、规律能够用数学语言确切地加以说明。假若如此，我们在这篇论文开始所说的东西将再次被认为是无条件地正确的。但是，许多人认为，所有的科学必定或快或慢地一个接一个地经历了同样的演化过程。如果是这种情况，那么可能产生的困难只不过是暂时的，并且当科学一旦进步到超过幼年阶段，这种困难注定要消失。 但是，我们不需要等待这种不确定的未来。地质学家的类比推理方法由什么组成呢？一个地质学事实对他来说是如此类似于现在的事实，以至于他不能够设想把这种类似性归因于机遇。他相信，只要他假定这两个事实在完全相同的条件下产生，他就能够解释这种类似性。他会设想，条件是相同的，下述情况除外：如果自然规律在此期间同时变化了，那么整个世界会变化到无法辨认的程度。他可能会坚信，温度一定是保持相同的，而作为推翻整个物理学的一个后果，温度的影响恰恰会变得完全不同，以至于甚至温度这个词会失去所有的意义。显然，无论发生什么情况，他永远也不会接受这个观点。他看待逻辑的方式是绝对反对这种观点的。 Ⅵ 如果人类的生存时间比我们设想的还要长，长到足以看到规律的显著改变，事情将会怎么样？接着还有，如果人类已经获得足以感觉到这种规律改变的仪器——不管规律的改变是多么缓慢——在几代人之后就变得可以分辨，事情又将怎样？从而，我们将不再通过归纳和推理，而宁可通过直接的观察来了解规律的改变。一些先前的论据不会完全失去它们的价值吗？记载我们祖辈经验的回忆录只不过是过去的遗迹，它们向我们提供的仅仅是这种过去的间接知识。对于历史学家来说，古老的文献就是地质学家的化石，而以前科学家的成就只不过是古老的文献而已。至于以前那些科学家的思想倾向，除了关于以前时期的人与我们相类似的程度之外，它们什么也没有揭示出来。如果世界的规律是变化的，宇宙的所有部分都会受到影响，人类也不能够逃避这些影响。即使我们暂且承认人类能够在新的环境里兴旺繁盛，但也必须有所改变，以便能够适应这种环境。而且，以前时代的人的语言对我们来说会变得不可理解；那些人所使用的词汇对我们已不再有任何意义，或者对他们来说具有不同的意义。即使物理学规律依然保持不变，但在几个世纪以后发生的事情难道不是那样吗？ 于是，我们返回到相同的两难困境：或者古文献在我们看来仍然是完全清楚的，因而世界将依然是相同的，那些文献不能告诉我们任何不同的东西；或者古文献将成为不可理解之谜，根本不能够告诉我们任何事情，甚至不能告诉我们规律已经演变。我们充分地了解到，使文献变成死文字的情况几乎不可能发生。 再者，古人像我们一样，只具有一些自然规律的零碎知识。我们总能够找到某些方法把这两种片断知识联系起来，即使它们依然是未经触及的；如果留给我们的只是最古老的片断知识的模糊的、不确定的和已被半遗忘的图像，那么就更有理由去做这个工作。 Ⅶ 让我们采取另一种观点。通过直接观察得到的规律永远只不过是作为结果而产生的东西。让我们以马利奥特（Mariotte）定律为例。对大多数物理学家来说，它仅仅是气体分子运动论的结果；气体分子以相当大的速度运动着，它们描绘出复杂的轨迹，如果我们知道它们相互吸引和排斥的规律，我们就能够写出它们的严格的方程式。根据概率计算法则分析这些轨迹，我们成功地证明，气体的密度正比于它的压力。 因而支配可见物体的规律可简单地归结于分子规律。 而且，规律的简单性仅仅是表面的，它隐藏着极其复杂的实在，因为实在的复杂性是由大量的分子来度量的。可是，恰恰因为这个数目是很大的，以致细节上的不一致相互得以补偿，从而我们认为存在着和谐。 分子本身可能是小型的世界；它们的规律也可能只是作为结果而发生的，为了发现原因，我们要继续延伸到分于的分子，而不知道这个过程何时可告结束。 因此，可观察的规律取决于两件事：分子的规律和分子的排列。享有不变性的正是分子的规律，因为这些规律是真正的规律，而其他规律只不过是表观的规律而已。但是，分子排列能够变化，可观察的规律也随之变化。这也许是人们相信规律演变的一个理由。 Ⅷ 我设想一个各个部分都能如此完全地传导热量的世界，以致它们始终保持温度平衡。这样一个世界的居民不可能有我们称之为温度差的概念，在他们的物理学著作中，也没有论述计温学的章节。除此而外，这些著作可以是相当完备的，它们会告诉我们许多规律，即使这些规律比我们的规律要简单得多。 现在，让我们设想，这个世界由于辐射而慢慢冷却下来，温度仍将处处保持均匀，但却随时间的推移而降低。我还设想，一个居民处于嗜眠症状态，在几百年后才苏醒过来。由于我们已经假定了如此之多的情况，让我们姑且承认，他能够生活在一个较冷的世界里，并且能够回忆起以前的经验。他将观察到，他的子孙还在写物理学著作，他们仍然没有提及计温学，但是他们讲授的规律完全不同于他所认识的规律。例如，他曾被告知，水在10毫米汞柱的压力下沸腾，而新的物理学家观察到，为了使水沸腾，压力必须减小到5毫米汞柱。他已知的处于液态的物体现在仅以固态的形式出现，如此等等。宇宙各部分之间的相互作用都取决于温度，只要一旦温度变化了，每一种事物都要被打乱。 好了，正如那个幻想世界的居民对温度无知一样，我们也不知道这样一个物理实在，那么我们是否知道确实没有这样一个物理实在？与一个球的温度通过辐射而持续地丧失它的温度不一样，这个物理实在是否不持续地变化，而且这种变化是否不引起所有规律的变化，我们知道这些吗？ Ⅸ 让我们返回到我们想象的世界，让我们扪心自问，这个世界的居民在没有重复以弗所 [1] 睡眠者的故事的情况下，是否不会注意到这种演变。毫无疑问，无论在这个行星上热传导是多么完全，传导性也不会是绝对的，极微小的温度差还是有可能的。这些在一段很长的时间也许观察不到，但是可能有那么一天，会设计出更灵敏的测量仪器，一些有才能的物理学家将会揭示出这些几乎感觉不到的差别的证据。在提出一种理论后，人们就会看到，这些温度差影响所有的物理现象。最后，一些哲学家的观点在他的大多数同代人看来似乎是冒险的和轻率的，他们宣称，宇宙的平均温度在过去可能已发生了变化，所有已知的规律也已随之变化。 我们不可能做某些类似的事情吗？例如，力学的基本定律长期被认为是绝对的。今天，一些物理学家说，应该修正它们，或者确切地讲，应该使它们更为广泛一些；它们仅仅对于我们已经习惯了的速度来说是近似正确的；在速度与光速可以相比时，它们就不再正确了。这些物理学家把他们的观点建立在用镭所做的某些实验的基础上。旧的动力学定律在我们通常的物理环境下实际上仍然同样正确。但是，我们难道不能以某种类似的逻辑说，作为不断丧失能量的结果，物体的速度必然已趋向于减小，因为它们的主要的活力趋向于转化为热；通过把这个过程追溯到足够遥远的过去，我们可以发现与光速可以相比的速度并非是例外情况的那样一个时期，此时结果是，经典动力学定律已不再正确了吧？ 另一方面，让我们假定，可观察的规律不过是取决于分子定律和分子排列的结果。当科学进步使我们通晓这种相依性时，我们无疑可以严格地凭借分子定律推知，分子排列必然曾经一度不同于今天的排列，从而可观察的规律并非总是相同的。因此，我们能够得出结论，规律是可变的，但是我们必须仔细地注意到，这是由于它们的不可变原理。我们可以断言，表观的规律变化了，但这只是因为我们以前看作是真实规律的分子定津被认为是不可改变的。 Ⅹ 这样一来，不存在我们能够肯定地阐述的单个定律，它在过去像在今天一样，总是在同样的近似程度上是真的；事实上，我们甚至不能肯定地阐述，我们将永远也不能够证明它在过去是假的。然而，在这一点上没有什么东西妨碍科学家坚持他对不变性原理的信念，因为从来也没有一个定律降到昙花一现的地位，它只是被另一个更为普遍、更为全面综合的定律所取代；由于旧定律的废除归因于这种新定律的出现，以致将不会有空位期，［不变性］原理将依旧完整无损；由于变化是通过这些原理发生的，这些变化本身似乎正是明显地证实了它们。 不管我们通过经验还是归纳来观察变化，也不管我们在变化发生后企图用或多或少的人为综合适应每一事物来解释它们，这种情况甚至都不会发生。不，综合将首先到来，如果我们容许任何变化，目的将是防止扰乱它。 Ⅺ 谈到这一点，我们似乎并不担忧规律实际上是否变化，而只是担忧人们是否能够考虑它们是可变的。被认为是存在于创造或观察它们的精神之外的规律，其本身是不可改变的吗？这个问题不仅不可能有答案，而且是毫无意义的。在固有事物的世界中，规律是否能够随时间而变化，而在类似的世界中，“时间”这个词也许毫无意义，对这感到奇怪又有什么用处呢？我们既不能说，也不能猜测这个世界由什么构成；我们只能够猜测它像什么，或者想象它与我们的世界似乎没有太大的差别。 这样说来，该问题容许有一个答案。例如，如果我们想象两个类似于我们的智能人在两个相隔成百万年的时刻观察宇宙，他们中的每一个将构造出一种科学，这种科学是从观察到的事实推导出的规律的体系。很可能，这些科学将大相径庭，在那种意义上可以说，规律已经演变了。然而，不管差别可能多么大，总有可能想象一种理智，一种与我们的理智相同、但是却有更大视野或被赋予更长生命的理智，这种理智将能够完成综合，并用单一的或完全连贯的公式把两个零碎而相关的公式结合起来，后者是两个短命的研究者在由他们支配的短时间内得到的。在这种理智看来，规律将不变化，科学将是不可改变的；科学家将只能得到不完全的知识。 在与几何学比较时，让我们假定，我们能够用解析曲线描述世界的变化。我们每一个人只能够看到这条曲线的很小一段弧；如果我们对这段弧有精确的了解，我们就足以确定该曲线的方程，并且能够无限地延长它。但是，我们对这段弧仅有有限的知识，我们可能在这个方程上犯错误。如果我们试图延长该曲线，那么线条将偏离真实的曲线，其偏离程度与弧的长度和我们希望延长的曲线的长度成反比。另一个观察者仅仅认识另一段弧，而且也只是不完全地认识它。 如果这两个工作者永远相距遥远，他们所作的曲线的两个延长部分将不相遇；但是这没有证明，另一个观察者从较远的有利位置，能够在某种程度上直接观察到该曲线的较大长度，以便同时完成这两段弧，他就不能够写出与弧的发散公式一致的更严格的方程。同样，不管真实曲线可能多么不规则，但是总存在着一条解析曲线，当把它延长得像我们希望的那么远时，它偏离真实曲线的程度就像我们希望的那么微小。 毫无疑问，许多读者将沮丧地注意到，我似乎恒定地用简单符号的系统来代替世界。这不仅仅是一个数学家的职业习惯；我的课题的本性使这种研究方法成为绝对必要的。柏格森（Bergson）的世界没有规律；能够具有规律的只不过是科学家造成的、或多或少歪曲了的图像。当我们说自然受规律支配，这被理解为，这个图像依然是栩栩如生的。因此，我们必须按照这种描述并且仅仅按照这种描述来推论，否则我们就会冒失去作为我们研究对象的规律的观念本身的风险。因为这种画像能够被分开；我们能够把它分解为它的元素，区分出相互不同的时刻，并辨认出独立的部分。如果有时我过分地简化了，把这些元素减少到太小的数目，那这只不过是程度的问题；不管怎样，这并没有改变我的论证的本性和它们的含义；它仅仅使说明更为简洁而已。 * * * [1] 以弗所（Ephesus）是小亚细亚的一个古城。关于以弗所睡眠者的意思，请参阅《新约圣经》中的圣保罗致以弗所居民使徒书和帕德里克·科拉姆（Padraic Colum）的《森林中的铁匠铺》（The Forge in Forest）一书中的“七个睡眠者”一节（第295—302页）（麦克米伦公司）。——英译者注 [book_title]第二章 空间和时间 引起我返回到一个我经常讨论的问题的理由之一是，最近在我们关于力学的观念中发生的革命。如同洛伦兹所构想出的，相对性原理会不会把全新的空间和时间概念强加于我们，从而迫使我们抛弃似乎已经建立起来的一些结论？我们不是曾经说过，几何学被心智设想为经验的结果，但是毫无疑问，经验并没有把它强加于我们，以至于一旦把它构造出来，它就免除了一切修正，超越于来自经验的新攻击所能到达的范围？而且，作为新力学建立的基础的实验看来不是已经震撼它了？为了看到我们针对它应该思考的东西，我必须简短地回忆几个基本的观念，在我以前的著作中，我已经力图使它们变得显而易见。 首先，我将排除所谓的空间感觉的观念，该观念把我们的感觉定域在一个预定的空间里，这种空间概念先于所有的经验而存在，先于所有经验的这种空间具有几何学家的空间的一切性质。事实上，什么是这种所谓的空间感觉呢？当我们希望了解动物是否具有空间感觉时，我们做了什么实验呢？我们把动物所需要的目标放在动物附近，我们观察动物是否知道不用试错法作出容许它接近目标的动作。我们是怎样觉察到别人被赋予这种宝贵的空间感觉呢？正因为他们为了接近目标也能够有目的地收缩他们的肌肉，而目标的存在在他们看来是被某些感觉揭示出来的。当我们观察我们自己意识中的空间感觉时，还有什么更多的东西呢？在改变了的感觉的参与下，我们在这里又认识到，我们能够进行我们的动作，这些动作能够使我们接近被我们视为是这些感觉的原因的目标，从而能够使我们作用于这些感觉，使它们消失或使它们更强烈。唯一的差别在于，为了意识到这一点，我们不需要实际进行这些动作；我们在心中想到它们就足够了。这种理智不能传达的空间感觉只能是一些埋藏在无意识的最深处的某种力量，因此对我们来说，这种力量只能够通过它引起的行为来认识；这些行为恰恰就是我刚说过的动作。因此，空间感觉简化为某些感觉和某些动作之间的恒定的联系，或者简化为这些动作的表象。（为了避免经常重复出现的含糊其辞，不管我经常重复解释，是否有必要再次重申，我用这个词并不意味着在空间中表象这些动作，而是意味着表象伴随动作发生的感觉？） 那么，空间为什么是相对的？它在多大程度上是相对的？很清楚，如果我们周围的所有物体和我们身体本身以及我们的测量仪器在它们彼此之间的距离丝毫不变的情况下被转移到空间的另一个区域，那么我们便不会觉察到这一转移。这就是实际所发生的情况，因为我们被地球的运动携带着而不能觉察这一点。假使所有的物体也和我们的测量仪器以相同的比例伸长，我们也不会觉察到它。因此，我们不仅无法知道物体在空间中的绝对位置，甚至连“物体的绝对位置”这种说法也毫无意义，我们同意仅仅说它相对于另一个物体的位置；“物体的绝对大小”和“两点之间的绝对距离”的说法也无意义；我们必须说的只是两个大小的比例、两个距离的比例。但是，就此而言还有更多的东西：让我们设想，所有的物体都按照某一比原先的规律更复杂的规律形变，不管按照任何规律，我们的测量仪器也按同一规律形变。我们也将不能觉察出这一点；空间比我们通常认为的还要相对得多。我们只能觉察到跟同时发生的测量仪器的形变不相同的物体的形变。 我们的测量仪器是固体；要不然就是由相互可移动的固体制造，它们的相对位移通过这些物体上的标记、通过沿刻度尺移动的指针来指示；我们正是通过读这些刻度尺来使用我们的仪器的。因此，我们知道，我们的仪器或者以与不变的固体相同的方式改变位置，或者没有改变位置，由于在这种情况下，所说的指示没有改变。我们的仪器也包括望远镜，我们用它进行观测，以致可以说，光线也是我们的仪器之一。 我们关于空间的直觉观念会告诉我们更多的东西吗？我们刚刚看到，它被简化为某些感觉和某些动作之间的恒定联系。这等于说，我们用来作这些动作的四肢也可以说起着所谓测量仪器的作用。这些仪器没有科学家的仪器精确，但对于日常生活来说已足够了，与原始人的智力相仿的儿童，用这些肢体来测量空间，或者更确切地讲，构造满足他日常生活需要的空间。我们的身体是我们的第一个测量仪器。像其他测量仪器一样，它也由许多可以彼此相对运动的固体部件构成，某些感觉向我们提供了这些部件相对位移的信息，正如在人造仪器中的情况一样，我们知道我们的身体作为一个不可变的固体是否改变了位置。总而言之，我们的仪器（儿童把它们归功于自然，科学家把它们归功于他的天才）以固体和光线作为它的基本要素。 在这些条件下，空间具有独立于用来测量它的仪器的几何学特性吗？我们说过，如果我们的仪器经受了同样的形变，那么空间也能够在我们意识不到它的情况下经受无论什么样的形变。因此，空间实际上是无定形的、松弛的形式，没有刚性，它能适应于每一个事物；它没有它自己的特性。〔把空间〕几何化就是研究我们的仪器的性质，即研究固体的性质。 但是，由于我们的仪器是不完善的，每当仪器被改进时，几何学都必须修正。建筑师应当能在他们的说明中写上：“我提供了比我的竞争对手优越得多、单纯得多、方便得多、舒适得多的空间。”我们知道，这并非如此；我们会被诱导去说，如果仪器是理想的话，那么几何学就是研究仪器所具有的性质。但是，为了做到这一点，就必须知道，什么是理想的仪器（而我们并不知道，因为不存在理想的仪器），只有借助几何学，才能够确定理想的仪器；这是一种循环论证。于是，我们将说，几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规律几乎没有什么不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自然界的物体，但却能够用心智把它们构想出来。在这种意义上，几何学是一种约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远离我们的仪器告诉我们的知识这种愿望之间的粗略折中方案。这种约定既定义了空间，也定义了理想仪器。 我们就空间所说过的话也适用于时间。在这里，我不希望像柏格森的信徒所设想的那样谈论时间、谈论绵延；绵延远非是没有一切质的纯量，可以说，它是质的本身，它的不同部分（它们在其他方面各部分相互渗透）在质上相互区分。这种绵延不会成为科学家的仪器；只有像柏格森所说的那样，通过经历深刻的变换，通过使它空间化，它才能够起这种作用。事实上，它必须变成可测量的东西；不能被测量的东西不能成为科学的对象。因此，能够被测量的时间本质上也是相对的。如果所有的现象都慢下来，我们的钟表也是如此，那么我们便不会意识到它；无论支配这种放慢的规律是什么，情况都是如此，只要它对于所有各种现象和所有钟表都相同。因此，时间的特性只不过是我们钟表的性质而已，正如空间的特性只不过是测量仪器的特性一样。 这还并非一切；心理的时间、柏格森的绵延适合于对发生在同一意识中的现象进行分类，科学家的时间就起源于它们。它不能对发生在两个不同意识背景中的两个心理现象进行分类，更不必说对两个物理现象进行分类了。一个事件发生在地球上，另一个事件发生在天狼星上；我们将怎样知道，第一个在前发生，或同时发生，或在第二个之后发生呢？这只能是作为约定的结果。 但是，我们能够从一个全然不同的观点来考虑时间和空间的相对性。让我们考虑世界所服从的规律；这些规律能够用微分方程来表述。我们看到，如果直角坐标轴改变了，或者这些轴依然不动，这些方程未被证伪；如果我们改变时间原点，或者用运动的直角坐标轴代替固定的直角坐标轴，坐标轴的运动是匀速直线运动，这些方程也不被证伪。如果从第一种观点来考虑，请允许我把相对性称为心理的相对性；如果从第二种观点来考虑，请允许我把相对性称为物理的相对性。你立即会看到，物理的相对性比心理的相对性受到多得多的限制。例如，我们说，假如我们用同一常数乘以所有的长度，倘若乘法同时用于所有的物体和所有的仪器，那么一切都不会有什么变化。但是，如果我们用同一常数乘所有的坐标，那么微分方程就有可能不成立。如果使该系统与运动的、旋转的坐标轴相关，它们也会不再成立，因为这时必然要引入通常的离心力和复合的离心力。由此，傅科（Foucault）实验证明了地球的旋转。也有一些事情动摇我们关于空间相对性的思想，动摇我们基于心理的相对性的思想，这种不一致似乎使许多哲学家进退维谷。 让我们来更加仔细地考察一下这个问题。世界的所有部分都是相互依赖的，天狼星无论多么遥远，毋庸置疑，它对发生在这个地球上的事件不可能绝对没有影响。因此，假使我们希望写出支配这个世界的微分方程，那么这些方程要么是不精确的，要么它们将依赖于整个世界的条件。不可能存在一个适合于地球的方程组、另一个适合于天狼星的方程组；必然只存在一个方程组，它将适用于整个宇宙。 于是，我们不直接注意微分方程；我们注意的是有限方程，这种方程是可观察现象的直接翻译，通过微分能够从它们导出微分方程。当坐标轴像我们描述过的那样进行变化时，微分方程不被证伪：但是，同样的情况对于有限方程并不为真。事实上，坐标轴的改变会迫使我们改变积分常数。结果，相对性原理不能用于直接观测到的有限方程，但可以用于微分方程。 这样一来，我们如何从有限方程——它们是微分方程的积分——得到微分方程呢？那就必须根据赋予积分常数的值了解几个彼此不同的特殊积分，然后用微分消除这些常数。尽管存在着无限多的可能解，但是这些解中只有一个在自然界是可以实现的。为了建立微分方程，不仅必须知道可以实现的解，而且也必须知道所有可能的解。 于是，如果我们只有一个适合于整个宇宙的规律系统，那么观察将只给我们提供一个可以实现的解；因为永远只有一个宇宙摹本被复制出来；这就是最主要的困难。 此外，作为心理的空间相对性的结果，我们只能观察我们的仪器能够测量的东西；例如，它们将给予我们所需要考察的星球之间的距离，或各种物体之间的距离。它们将不会向我们提供它们相对于固定坐标系或运动坐标系的坐标，因为这些坐标系的存在纯粹是约定的。如果我们的方程包含这些坐标，那么它是通过一种虚构的，这种虚构可以是方便的，但不管怎样总是一种虚构。如果我们希望我们的方程直接表示我们观察到的东西，那么距离将必然在我们的独立变量中出现，于是其他变量将自行消失。此时，这就是我们的相对性原理，但它不再具有任何意义。它仅仅表示，我们在我们的方程中引入了无法把事物描述明确的辅助变量——寄生变量，而且有可能消去这些变量。 假如我们不坚持绝对的严格，那么这些困难将会消失。世界的各部分是相互依赖的，但是如果距离很远，那么引力就微弱得可以忽略；于是，我们的方程将分解为独立的方程组，一个只可适用于地上的世界，另一个适用于太阳，再一个适用于天狼星，或者甚至适用于更小的区域，像实验桌这样的区域。 这样一来，说只存在一个宇宙的摹本就不对了；在一个实验室可以有许多桌子。通过改变条件，重新开始实验将是可能的。我们仍然不知道唯一的解，唯一的一个实际实现的解，而知道大量的可能解，从有限的方程推进到微分方程，问题将变得容易些。 而且，我们将不仅知道一个这样的较小区域的各种物体的各自距离，而且也能知道它们距邻近小区域的物体的距离。我们可以这样来安排它，使得在第一种距离保持不变时，只有第二种距离发生变化。于是，这就好像我们改变了第一个小区域所参照的几个坐标轴一样。这些星球太遥远了，以至于对地上的世界没有可觉察的影响，但是我们看到了它们，多亏它们，我们才能够把地上的世界和与这些星球相联系的坐标轴关联起来。我们具有测量地上物体各自距离和这些物体相对于这个不同于地上世界的坐标系的各坐标的手段。因此，相对性原理才具有意义；它变得可以验证了。 不过，我们要注意到，我们只是通过忽略某些力得到了这些结果，我们还不认为我们的原理仅仅是近似的；我们赋予它以绝对的价值。实际上，看看我们的小区域相互之间无论相距多么远，相对性原理依然为真，我们便会异口同声他说，它对于宇宙的精确方程而言也为真；这个约定将永远不会发现有错误，因为当把它应用于整个宇宙时，该原理是不可验证的。 让我们现在返回到稍前提到的情况。一个系统此刻与固定坐标轴有关，然后与旋转坐标轴有关。支配它的方程将发生变化吗？是的，按照通常的力学确是如此。这是严格的吗？我们观察到的东西不是物体的坐标，而是它们的各自的距离。于是，通过消去只不过是寄生的、观察不可达到的变量的其他方程，我们就能够尝试建立这些距离所服从的方程。这种消元法总是可能的；唯一的事情是，如果我们保留坐标，我们便会得到二阶微分方程；相反地，在消去了所有不可观察的变量后，我们推导出的方程将是三阶微分方程，这样它们将给出通向大量可能的方程的途径。根据这种推断，相对性原理在这种情况下还将适用。当我们从固定坐标轴进入到旋转坐标轴时，这些三阶方程将不变化。发生变化的将是确定了坐标的二阶方程；但是，可以说，二阶方程是三阶方程的积分，正如在微分方程的所有积分中一样，其中包含着积分常数；当我们从固定坐标轴进入到旋转坐标轴时，没有保持相同的正是这个常数。但是，由于我们假定，我们的系统在作为整个宇宙来考虑的空间中是完全孤立的系统，我们无法得知整个宇宙空间是否旋转。因此，描述我们观察到的东西的方程实际上是三阶方程。 我们不去考虑整个宇宙，让我们现在考虑我们的一些小的孤立区域，在这些区域中，没有机械力相互作用，但这些区域却是相互可见的。如果这些区域中的一个旋转着，那么我们将看到它旋转。我们将承认，我们必须赋予我们刚刚提到的常数的值取决于旋转速度，因而学力学的学生通常采用的约定将被认为是正确的。 因此，我们认清了物理相对性原理的意义；它不再是简单的约定。它是可以验证的，因此它可能不会被证实。它是实验的真理，而这种真理的意义是什么呢？从前面的考虑很容易推断它。它意味着，当两个物体之间的距离无限增加时，它们相互的引力趋于零。它意味着，两个遥远的世界的行为就像它们互不相关一样；我们能够更好地理解，物理的相对性原理为什么没有心理的相对性原理广泛。由于我们理智的真正本性，它不再是必然的；它是一个实验的真理，实验把限制强加给这个真理。 这个物理的相对性原理能够用来定义空间；可以说，它向我们提供了新的测量工具。让我自己弄清楚：固体怎么能够使我们测量空间，或确切地讲，怎么能使我们构造空间呢？通过把一个固体从一个位置移动到另一个位置，我们公认有可能在开始使它适合于一个图形，然后使它适合于另一个图形，我们一致同意，可以认为这样两个图形是相等的。由于这种约定，几何学产生了。于是，在不改变图形的形状和大小的情况下，空间本身的变换对应于固体的每一个可能的移动。几何学只不过是这些变换的相互关系的知识，或者是利用数学语言研究这些变换所形成的群的结构，即研究固体运动群的结构。 由此断定，存在着另一种变换群，即我们的微分方程不会被证明是错的那种变换群；这是定义两个图形相等的另一种方法。我们将不再说：当同一固体开始与一个图形重合，然后与另一个图形重合时，这两个图形则是相等的。我们将说：当同一个力学系统距邻近的力学系统足够远，以至于可以看成是孤立系统，开始以这样的方式放置，使系统的不同质点再现出第一个图形，再以这样的方式放置，使它们再现出第二个图形，如果这样的同一个力学系统以同一方式行动，那么这两个图形便相等。 这两种观念彼此之间有本质上的区别吗？不，固体在它的各个分子相互间的引力和斥力的影响下形成它的形状；力的这种系统必须处于平衡。当固体的位置变化时，它依然保持自己的形状，用这种方法定义空间即用下述方式定义空间：描述固体平衡的方程不会因坐标轴的变化而证明是错的；因为这些平衡方程只不过是普遍的动力学方程的特例，根据物理的相对性原理，它不会因坐标轴的这种变化而被修正。 固体是一个力学系统，正像任何其他力学系统一样；我们前面关于空间的定义与新定义之间唯一的差别就在于，新定义在它容许用任何其他力学系统代替固体的这个意义上其范围更为广泛一些。而且，新约定不仅定义了空间，而且也定义了时间。它告诉我们，什么是两个同时的瞬间，什么是相等的时间间隔，或者一个时间间隔是另一个间隔的两倍意味着什么。 一个结论性的评论：正如我们已经说过的，由于与天然固体的特性相同的理由，物理的相对性原理是经验的事实；例如，它容易受到不断的修正；而几何学必须摆脱这种修正。正因为如此，它必须再次变成约定，相对性原理必须认为是一种约定。我们已经提到，它的实验意义是什么；它意味着；两个十分遥远的系统，当它们的距离无限增加时，它们之间的相互引力趋近于零。经验告诉我们，这近似地为真；经验不能够告诉我们，这完全为真，因为两个系统之间的距离总是有限的。但是，没有任何东西妨碍我们假定这完全为真；即使经验与该原理似乎不符，也没有任何东西妨碍我们。让我们设想，当距离增加而相互之间的引力减小，此后引力又开始增加的情况。没有任何东西妨碍我们承认，对更大的距离而言，引力在减小，并最终趋于零。只有把目前所考虑的原理本身作为约定，这才能使它免受经验的冲击。约定是经验向我们提示的，但我们却可以自由地采用它。 那么，近来因物理学的进步而引起的革命是什么呢？相对性原理在它的前一个方面被抛弃了；它被洛伦兹（Lorentz）的相对性原理所代替。正是“洛伦兹群”的变换，未把动力学的微分方程证伪。如果我们设想，系统不再与固定坐标轴相联系，而是与用变化着的变换表示其特性的坐标轴相联系，那么我们就必须承认，所有的物体都发生了形变；例如，球变成椭球，椭球的短轴平行于轴的平移。时间本身也必须显著地加以修正。在这里有两个观察者，第一个与固定的坐标轴相联系，第二个与旋转坐标轴相联系，但是每一个观察者都认为另一个观察者处于静止。不仅对这样一个图形，第一个人认为是球，而在第二个人看来似乎是椭球；而且，对于两个事件，第一个人认为是同时的，对第二个人来说却并非如此。 每一个事件发生着，就像时间是空间的第四维一样，就像起源于通常的空间和时间的结合的四维空间不仅能够绕通常的空间轴以时间不改变的方式旋转，而且能够绕无论什么轴旋转。因为比较在数学上是精确的，所以有必要把纯粹虚值赋予空间的第四个坐标。在我们的新空间中，一个点的四个坐标不再是x，y，z和t，而是x，y，z和 t − 1 。 另一个评论：以前我试图定义发生在两个不同环境的两个事件的关系，我是这样说的，如果一个事件可以认为是另一个事件的原因，那么就可以认为它发生在另一个事件之先。这个定义变得不恰当了。在这种新力学里，没有瞬时传递的作用；最大的传输速度是光速。在这些条件下，能够发生下述情况：事件A（作为仅仅考虑空间和时间的一个结果）既不会是事件B的结果，也不会是事件B的原因，如果它们发生的地点之间的距离如此之大，以至于光在足够长的时间内不能从B地传播到A地，或从A地传播到B地的话。 鉴于这些新观念，我们的观点将是什么呢？我们将不得不修正我们的结论吗？当然不；我们已经采取了一种约定，因为它似乎是方便的，并且我们已经说过，没有任何理由能够强使我们放弃它。今天，一些物理学家想采取一种新的约定。并非他们被迫这样做；而是他们认为这种新约定更为方便；这就是一切。没有接受这种见解的人能够合理地保留他们的旧见解，以便不触动他们的旧习惯。我相信，这就是他们（就在我们中间），在未来的一个长时期内将要做的事情。 [book_title]第三章 空间为什么有三维？ 1. “拓扑学”和连续统 几何学家通常在两类几何学之间作出区分，他们把第一类称为度量几何学，把第二类称为射影几何学。度量几何学以距离概念为基础；在度量几何学中，当两个图形“全等”（在数学家赋予这个词的意义上）时，则它们被认为是等价的。射影几何学以直线概念为基础。因为在射影几何学中，认为两个图形等价并不一定要它们相等，只要它们通过射影变换彼此对应（即一个是另一个的射影）就足够了。第二类几何学往往被称为定性几何学；若与第一类几何学相比较，它的确是这样。显然，在射影几何学中，度量和量并不起什么重要的作用。然而，也不完全如此。直线不是纯粹定性的；在没有作出某种度量或者在没有使所谓的直尺（一种度量工具）沿一条线移动的情况下，就不能断言这条线是直线。 但是，还有第三类几何学，在这类几何学中，量被完全排除了，它纯粹是定性的，这就是拓扑学。在这个学科中，可以通过连续变形使一个图形与另一个图形对应，从而两个图形在任何时候都是等价的，不管支配这种变形的规律是什么，只要保持连续性就行。于是，圆等价于椭圆，甚至等价于任何类型的闭曲线，但它与线段不等价，因为线段不是闭合图形。球面等价于任何曲面，但是它不等价于圆环面，因为在圆环面上有一个洞，而球面上却没有。让我们设想任何一类图样，一个笨拙的制图员描画这个图样的复制品。比例被歪曲了，用颤抖的手画出的直线歪歪扭扭，结果成了不成比例的曲线。从度量几何学的观点来看，甚至从射影几何学的观点来看，这两个图形都不是等价的；但是，与之相反，从拓扑学的观点来看，它们是等价的。 对于几何学家来说，拓扑学是很重要的科学。拓扑学导致了一系列定理，这些定理像欧几里得的定理一样密切相关；正是从这组命题出发，黎曼（Riemann）构造了一种最著名的、最抽象的纯粹分析理论。为了说明它们的本性，我将引用其中的两个定理：（1）平面上的两个闭曲线相交于偶数个点；（2）如果一个多面体是凸多面体（这就是说，如果不把它一切为二就不可能在它表面上描绘一个闭合线），那么它的棱数等于顶点数加面数减去二；当多面体的面和棱是曲面和曲线时，这依然是正确的。 这就是拓扑学使我们如此由感兴趣的东西，正是在这门学科中，几何学直觉确实起着作用。在度量几何学的定理中，当运用能力是由这种直觉组成时，那正是因为在无视一个图形的定性性质时，也就是说，在忽视研究那些严格地属于拓扑学的性质时，便不可能研究它的度量性质。人们常说，几何学是一门关于粗制滥造的图形的正确推理的艺术。这不是冷嘲热讽，而是值得思考的真理。但是，什么是粗制滥造的图形呢？刚才提到的那位笨拙的制图员所能画出的图形就是这类图形。他或多或少公然地歪曲了比例；他把直线乱画为锯齿形；他的圆好像土堆一样难看。但是，所有这一切无关紧要；它无论如何不会使几何学家烦恼；这并不妨碍他正确地推理。 但是，缺乏经验的画图者必然不用开曲线描绘闭曲线，或者不用没有公共点的三条直线描绘相交于一点的三条直线，或者不用完整的曲面描绘有洞的曲面。在那种情况下，这位画图者的图画毫无用处，推理也变得不可能了。直觉不会受到图画中仅对度量几何学和射影几何学有意义的缺陷的妨碍。然而，只要这些缺陷涉及到拓扑学，直觉将变得不可能。 这种十分简单的观察指出几何学直觉的真实作用；几何学家需要画图形，至少需要形成它们的思想图像，从而便利了这种直觉。现在，如果他尽量减小这些图形的度量性质和射影性质的重要性，如果他仅仅专注于它们的纯粹定性的性质，那么唯有几何学直觉在这里真正起作用。我并不是说度量几何学是建立在纯粹逻辑的基础上，或者其中没有直觉真理的地位。但是，它们是另一类直觉观念，类似于在算术和代数中起主要作用的直觉观念。 拓扑学的基本命题是：空间是三维连续统。我已经在其他著作中讨论了这个命题的起源，但却是以极为简略的方式讨论的，为了阐明某些观点：再次更详细地考察一下它，在我看来并非是毫无意义的。 空间是相对的；所谓相对空间，我不仅意指在我们没有注意到的情况下，我们可以转移到空间的另一个区域（这是我们真正遇到的事情，因为我们并不觉察到地球的平动）；我不仅意指，一切物体的所有维数在我们不能知道其变化的情况下能够成比例地增加，倘若我们的测量仪器经受到同样的变化的话；而且我也意指，空间能够按照某个任意的规律变形，假使我们的测量仪器也按照这个同样的规律变形的话。 这可以是任何变形，但变形必须是连续的；也就是说，它必须是使一个图形变换为从拓扑学观点来看是等价的另一个图形的那些变形之一。当空间被认为是独立于我们的测量仪器时，空间从而既不具有度量的性质，也不具有射影的性质；它只有拓扑的性质（也就是说，仅具有在拓扑学中所研究的性质）。它是无定形的，也就是说，它并非不同于人们通过无论什么连续性的形变能够从它得出的任何空间。我将用数学语言加以解释。在这里有两个空间E和E′；E中的点M对应于E′中的M′；点M有直角坐标x，y，z；点M′具有x，y，z的三个任何连续函数作为直角坐标。从我们所谈到的观点看来，这两个空间并没有什么不同。 我们测量仪器的功能，尤其是固体的作用如何给人的智力提供更完满地决定和组织这种无定形空间的机会，它怎样容许射影几何学画直线网络，怎样容许度量几何学测量这些点之间的距离群的基本概念在这个过程中起什么根本性的作用，我在其他著作已经对此作了详细的解释。我认为所有这些论点都已得到确认，我不需要再重复这些了。 在这里，我们只关心在拓扑学中所考虑的无定形的空间，即独立于我们测量仪器的唯一的空间；它的基本性质——我是要说它的唯一的性质——是三维连续统的性质。 2. 连续统和截量 可是，什么是n维连续统呢，它与维数较大或较小的连续统怎样区别呢？让我们首先回顾一下康托尔（Cantor）的学生最近得到的一些结果吧。在直线上的点和平面上的点之间，或者更一般地说，在n维连续统上的点和p维连续统上的点之间有可能建立一一对应关系。倘若我们不受平面上两个无限邻近的点对应于直线上两个无限邻近的点这个条件（即连续性条件）的约束，那么这就是可能的。 因此，有可能用这样的方式使平面发生变形而得到直线，只要这种变形不是连续的。另一方面，用连续的变形则不可能这样。于是，维数的问题与连续性概念密切相关，而对于任何想要排除这一概念的人来说，那是没有什么意义的。 为了定义n维连续统，我们首先有解析定义：n维连续统是n个坐标的集合，也就是说，是能够各自独立变化的、而且假定所有的实值满足某些不等式的n个量的一个集合。这个定义从数学的观点来看尽管没有缺点，但是无论如何不能使我们完全满意。在连续统中，各种坐标可以说并非相互毗连；它们在它们自身之中联系起来，以致形成一个整体的各个方面。在空间研究的每时每刻，我们实现的就是所谓的坐标变换。例如，我们实现直角坐标系变换，要不然我们变换到曲线坐标。在研究另一个连续统时，我们也实现坐标变换；也就是说，我们用n个坐标的无论什么样的n个连续函数代替n个坐标。对于我们之中不是从刚才提到的解析定义出发，而是从某个更深奥的来源出发而导出n维连续统概念的人来说，这一操作是很自然的；我们感到，那些在连续统中是本质的东西并没有变化。另一方面，对于那些仅仅从解析定义了解连续统的人来说，这一操作无疑是合理的，但却是奇异的，未经证明的。 最后，这个定义尽量减小了连续统概念的直觉起源和这一概念所包含的一切丰富思想的重要性。它像那些从数学“算术化”以来在这门科学中变得如此频繁的定义那样反复出现。从数学的观点来看，我们所说的这些定义是没有缺点的，但是它们却不能使哲学家满意。它们用由比较简单的材料组成的结构代替被定义的对象和这个对象的直觉概念。因此，很容易看到，用这些材料可以有效地形成这个结构，但我们同时看到，要作出更多的东西同样是可能的。未被揭示出来的是：为什么用这种方式而不用另外的方式来组合这些材料，其中有什么深刻的原因？我的意思并不是说，数学的这种“算术化”是不受欢迎的；我说它并非包罗万象。 我将把维数的确定建立在截量概念的基础上。首先，让我们考虑一条闭曲线，即一维连续统。如果我们在这条曲线上取任意两个我们将不容许我们自己通过的点，那么该曲线将被截为两部分，不可能从一部分到另一部分，因为我们虽然还在这条曲线上，但是却不能通过被排除的点。另一方面，让我们考虑一个闭曲面，它形成一个两维连续统。在这个曲面上，可以取一两个或任意数目的被排除的点。该曲面并不因为这样就被分为两部分；在这个曲面上，可以从一点到另一点，而不会遇见任何障碍，因为总可以绕过被排除的点。 可是，如果我们在曲面上画出一条或多条闭曲线，如果我们把它们看作是不可逾越的截量，那么该曲面就能够被分为几个部分。 现在，让我们考虑空间的情形。我们既不能禁止通过某些点，也不能禁止越过某些线来把空间分为几个部分，这些障碍总可以绕过去。必须禁止越过某些面，即某些两维截量。这就是我们说空间具有三维的原因。 我们现在知道，n维连续统是什么。当一个连续统能够借助于一个或多个本身是n-1维的截量被分为许多区域，则该连续统具有n维。这样，n维连续统用n-1维连续统来定义。这就是递归定义。 在这个定义中，什么东西给我以信心呢？什么东西向我表明观念实际上如何自然而然地在人们的头脑中产生呢？它首先就是，许多基本读物的作者并无意于恶作剧，但在他们著作的开头部分却作出了类似的事情。他们把体积定义为空间的部分，把面定义为体积的边界，把线定义为面的边界，把点定义为线的边界；此后他们停顿下来，其类似性是明显的。遵循这种定义，我们在拓扑学的其他部分重新发现截量的重要作用。例如，根据黎曼的观点。是什么东西把圆环面与球面区别开来呢？正是这样的事实：我们不能在球面上画一条闭曲线而又不把球面分为两部分，可是却存在着不把圆环面分为两部分的闭曲线，为了保证人们分开圆环面，必须作出没有公共点的两个闭截量（闭曲线）。 还留下另一个值得考察之点。我们刚才考察的连续统是数学连续统；它们的每一个点都是独特的东西，绝对不同于其他点，而且绝对不可分。由我们的感觉所直接揭示的连续统，我称之为物理连续统，它们都是有差别的。支配这些连续统的规律是费希纳（Fechner）定律，我将剥去通常套在它身上的华丽的数学外衣，以便把它还原到作为它的基础的实验数据的简单项。根据估计，有可能分辨出一个10克重的砝码和一个12克重的砝码的差别，但恐怕不可能分辨出一个11克重的砝码和一个10克重的砝码或12克重的砝码的差别。更一般地，可以有这样两个感觉集合：我们在没有分辨出一个集合或另一个集合与第三个集合的差别的情况下就可以分辨出它们二者的差别。根据这一假定，我们能够设想这样一个感觉集合的连续链，它们中的每一个都无法与相接的一个区别开来，尽管链的两端却能够很容易地加以分辨。这将是一维的物理连续统。我们也可以设想较复杂的物理连续统。这些物理连续统的元素将又是感觉的集合（但是我更喜欢用比较简单的词——元素）。另外，什么时候我才能说，相似元素的系统S是物理连续统呢？无论任何时候，我都能够把它的任意两个元素看作是一个连续链的两个末端，该链类似于我刚刚叙述过的链，它的所有元素都属于S。因此，如果可以用不离开曲面的一条连续的线联结该曲面的任何两个点，那么该曲面就是连续的。 我们能够把截量的概念推广到物理连续统，从而决定它们的维数吗？我们显然能够这样做。让我们排除S中的某些元素以及所有不能与它们区分的元素。这些受到限制的元素完全可以是有限的数目，要不然就能够通过它们的结合形成一个或多个连续统。这些有限的元素的集合将组成一个截量；在形成这一截量后，所发生的情况是，我们可以把连续统S分为几个别的连续统，这时再也不能通过连续链从S中的任何元素到任何其他元素中去，这个链的元素无法与该截量的任何其他元素相区别。 因此，通过把我们自己限制到有限数目的元素之内，从而能够被截的物理连续统将具有一维；如果一个物理连续统能够借助于本身是n-1维的物理连续统的截量来分割，那么它将具有n维。 3. 空间和感觉 问题似乎被解决了；我们也许只需要把这个法则应用于作为空间的粗糙图像的物理连续统，或者应用于对应的数学连续统——它是物理连续统的精制的图像，是几何学家的空间。但是，那是一种假象；如果我们由以推知空间的物理连续统是直接通过感觉揭示给我们的，那么一切也许是幸运的；然而，事实却远非如此。 让我们看看，从我们的大量感觉中实际上是怎么有可能推导出物理连续统的呢。物理连续统的每一个元素都是感觉集合；首先考虑一下同时的感觉的集合，即意识的状态，这是最简单的集合。然而，我们的每一个意识状态是一种极其复杂的东西，以至于我们从来也不能指望看到两个意识状态变得不可区分。可是，为了构造物理连续统，从以前已说过的情况来看，基本的问题是，它们的两个元素在某些情况下能够被看作是不可区分的。可是，我们永远也不能说：我不能把我目前的思想状态与我前天同一时刻的思想状态区分开来。 因此，我们有必要通过积极的思想操作，通过忽略两个意识状态的差别，从而一致认为二者是等价的。例如，我们可以忽略某些感官的感觉，这将是最为简单的。我已经说过，我无法分辨一个10克重的砝码和一个11克重的砝码的差别。可是，情况也许是，如果我不断地实验，那么一个10克重的砝码所引起的压力感觉被各种不同的嗅觉和听觉伴随着，当用一个11克重的砝码代替一个10克重的砝码时，这些各种各样不同的感觉变化了。正因为我忽略了这些特异的感觉，我才能够说，两个意识状态是不可区分的。 有可能规定更复杂的条件；也有可能以不仅把同时的感觉的集合，而且把相继的感觉的集合即感觉系列看作是我们的连续统的元素。接着，有必要规定基本的条件，而且为了认为连续统两个元素是等价的，有必要指明二者必须具有的共同特性（不管它们是同时的感觉的集合还是相继的感觉的集合）。 于是，在定义物理连续统的场合，有必要作出双重选择：第一，选择作为这个连续统的元素的同时的或相继的感觉集合；第二，选择定义两个元素必须被认为是等同的情况的基本条件。 为了得到空间，必须怎样进行这种双重选择呢？我们能够满足于考虑同时的感觉的集合或者有必要考虑感觉系列吗？特别是，我们能够以由于忽略某些感官的知觉而形成的最简单的和最自然的基本条件为满足吗？否！ 这样的否定是不可能的；我们不能从我们的感觉中选择出那些将向我们传达空间概念并且只传达空间概念的感觉。没有一种感觉不借助于其他感觉就能够向我们传达空间概念；也没有一种感觉不传达大量与空间毫无关系的东西。 例如，我们分析一下所谓接触的知觉，这是我们觉察到的知觉。经验告诉我们，如果我们用两个大头针接触我们的皮肤，倘使它们相距足够远，那么我们的意识就能够分辨出这两个大头针，如果使它们相互靠得很近，我们就无法在二者之间作出区分了。而且，区分它们的最小距离依据身体部位而变化。我们通常说，皮肤被分为各个部位，每一个部位都是同一感觉神经的管辖范围；如果两个大头针扎入同一部位，那么只有单根神经受到刺激，我们只意识到一个大头针；但是，换一种情况，如果它们扎入两个部位，结果影响到两根神经，我们便觉察到两个大头针。这并不完全令人满意；我们无法用这种方式发现物理连续统的特性。让我们设想一下，我们改变两个大头针的位置，而使它们已经很小的距离保持恒定。由于这个距离很小，可以发生下述情况：两个大头针将扎入同一部位，结果只产生一个知觉。但是，如果我们一点一点地改变它们的位置，而不改变它们的距离，在某一瞬间，将出现这样的情况：它们中的一个将扎入该部位之外，而另一个还处于该部位之内。在此瞬间，我们应当感觉到两个大头针，但我们所观察到的情况并非如此。我们不可能用这种方式推断出物理连续统的概念，但是却可以推断出由像有那么多部位那么多的独特情况所形成的离散集的概念。最好是姑且承认，大头针的接触不仅影响最近的神经，而且也影响相邻的神经，而当距离增大时，其强度亦随之减小。因此，让我们设想，我们正在把两个大头针接触的作用进行比较。如果两个大头针的距离很小，那么同一神经受到作用；某一个大头针对于同一神经的刺激强度将无疑是不同的，但是这种差别太小了，以至于按照费希纳的一般法则也难以分辨出来。如果一根神经受到大头针A的刺激而没有受到B的刺激，那么它仅仅是受到大头针A 的轻微刺激，这个刺激将低于“意识阈限”。因此，两个大头针的影响将是不可区分的。 这样，我们有了我们为构造物理连续统所需要的一切；我们只要使两个大头针沿着我们皮肤的表面移动，我们只要注意在哪一种情况下我们的意识能分清它们。我们已略去了（那是我上面所提到的作为我们基本的条件的东西）大量的事实：每一个感觉网络的刺激强度、大头针在皮肤上所施加的或大或小的压力、接触的性质。触觉揭示出了所有这些事实，但是我们排除了它们，以便只保持其特性是几何学的那些事实。这样一来，我们推断出空间概念了吗？没有；首先，这样构造出的连续统像皮肤本身的表面一样只有两维。其次，我们十分清楚地知道，我们的皮肤是可动的，皮肤上的特定点并不总是对应于空间的特定点；当我们的身体变形时，皮肤上两点之间的距离就要发生变化。毫无疑问，软体动物正是用这种方式想象空间的，但是这与我们的空间概念无关。 3435 同样的情形对视觉也是真的；照射到视网膜两点上的两束光，根据这两点的距离是大还是小，要么给我们以两个光斑的印象，要么只给我们一个光斑的印象。这相当于上述的两个大头针；我们能够忽略光的颜色和强度，利用它们构造物理连续统；这个物理连续统正像视网膜的表面一样，将具有两维。第三维是通过眼睛的双目视觉的会聚作用引入的，这就是所谓的视觉空间（visual space）。它高于触觉空间（tactile space），首先是因为我们怀着一点善意给它以三维，其次是因为视网膜无疑是可动的，而从固体的意义上讲，皮肤却在所有方向上都是柔韧的。于是，我们被诱使说，真实的空间存在于我们企图确定我们所有的感觉起源的地方。这还不能使人满意。不仅眼睛是可动的，以至于空间的特定点并不总是对应于视网膜的特定点和眼睛的特定会聚度；而且这也无法解释，为什么第三维如此明显地与已经引入的其他两维不一致，也无法解释为什么盲人的几何学和我们的相同。 如果我们希望把视觉空间和触觉空间结合起来，那么将有五维而不是三维或两维；将依然存在着用什么过程解释五维能够简化为三维的任务；如果我们希望把其他感觉引入这种结合之中，那么维数将进一步增加。 还要用几句话来解释，为什么触觉空间和视觉空间是同一个空间。 4. 空间和运动 因此，情况似乎是，我们不能通过考察同时的感觉的集合来构造空间，我们必须考虑感觉系列。总是有必要再次提到我前面已经说过的东西。某些变化表现为位置的变化，另一些变化表现为没有几何学性质的状态的变化，这究竟是为什么？为此，我们必须首先区分外部变化和内部变化；外部变化是非随意的，它们并不被肌肉感觉所伴随；内部变化是我们身体的运动，我们可以把它们与其他变化区别开来，因为它们是随意的，并被肌肉的感觉所伴随。内部变化能够矫正外部变化，例如我们以这样的方式用我们的眼睛跟踪运动着的物体，使它的映像总是返回到视网膜的同一点上。可以被这种矫正感受的外部变化是位置变化；如果它不能被这种矫正感受，它就是状态变化。 从定性的观点来看是完全不同的两种外部变化，如果能够用相同的内部变化来矫正它们，那么它们就被认为是对应于同一位置变化。也可以这样说，如果两个内部变化能够矫正相同的外部变化、那么它们就能由毫无共同之处、但是却对应于同一位置变化的肌肉感觉系列组成。这就是当我们说，有许多路线能够从一点引到另一点时，我们用通常的用语所表达的意思。 因此，重要的是，为了到达特定的物体，必须做的就是动作。对于我们来说，这些动作的意识无非是伴随它们的肌肉的感觉集合。 由此推断，某一物体与我的一个手指接触；比方说，与我右手的食指接触。从这一事实我经验到触觉T；同时，我从这个物体经验到视觉V。当把该物体移开时，感觉T逐渐消失，视觉V被新的视觉V′代替；这是一种外部变化。假定我希望通过复原感觉T，即使我的食指再次接触该物体，来部分地矫正这一外部变化。为了做到这一点，我必须完成某些动作，对我来说，这些动作通过肌肉感觉系列S表示出来。我知道，这是因为我或我的祖先的大量经验告诉我，当感觉T消失而视觉从V变到V′时，可以通过对应于该系列S的运动来复原感觉T。我同样清楚地知道，对我来说，我通过不用系列S，而用另外的系列S′或S″描述它们自身的其他动作而能够得到相同的结果。 所有这些肌肉感觉系列S，S′，S″……或许没有共同的元素；我之所以比较它们，是因为我知道，它们中的任何一个在视觉V变为V′的每一时刻都能够复原感觉T。用我们通常的语言，已经通晓几何学的我们将说，对应于肌肉感觉系列S，S′，S″的各种动作系列有这样的共同之处：在它们任何一个中，我们食指的初始位置和最终位置依然相同。其他每一情况可能不同。 这样，我未被引导去区分这些不同的系列S，S′，S″……，也没有把它们视为单一的感觉。我不想去区分与这些系列差别过小的肌肉感觉系列。届时，我将有构造物理连续统的方法。事实上，我已选出这个连续统的元素，它们是肌肉感觉系列，而且我有了“基本的条件”，这些条件告诉我，在哪一种情况下，这些元素中的两个必须被视为是等同的，正是这种连续统有三维。 可是，这并非一切。我们刚刚定义了一个是真实空间的连续统；正是这个空间，被看作是用我的一个手指描述的。但是，我有几个手指（而且从与我有关的观点来看，所有我的皮肤上的点都可以视为手指）。我的不同的手指将描述相同的空间吗？是的，毫无疑问，可是这意味着什么呢？这意指的是性质的集合，用通常语言不容易描述它，如果容许我用某些符号，我可以尝试解释它。我将考虑两个手指，并称之为α和β；手指α比如说是右手的食指，我们为定义系列S，S′，S″……曾使用过它。然后我将写出 S≡S′（modα） 这意味着，如果对应于S的动作恢复用手指α所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S′的动作也是真的，反之亦然。类似地，我将写出 S1≡S1′(modβ) 来描述下述事实：如果对应于S1的动作恢复用手指β所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S1′的动作也是真的。 在作这种推断之后，我将假定存在着两个特定的肌肉感觉系列s和s1，它们是以下述方式被定义的，我将设想，手指β由于与一个物体接触而经验到触觉。通过完成对应于s的动作，这一感觉将消失。可是，最终将是手指α经验到触觉。我通过经验知道，在这些动作之前，在手指β感觉到接触的每一时刻（或者，至少几乎在每一时刻），都会发生这种情况。（我之所以说几乎，是因为要相继发生，便要求该物体在这一时间间隔内不运动。）用我们通常的语言（这种语言对我们来说比较清楚，但是我不敢使用它，因为我讲的是还不具有任何几何学知识的人），我可以说，对应于s的动作把手指α引到手指β原先占据的位置。对于s1来说，相反的情形将是真的；对应的动作将把手指β引向手指α原先占据的位置。 如果这两个系列s和s1存在关系 S≡S′（modα） 将导致作为结果的下述关系： s+S+s1≡s+S′+s1(modβ) 如果我们回想一下符号的意义，我们便会立即相信上述关系，我们还可以从它毫无困难地推出，由α和β产生的两个空间是同构的，特别是，它们有相同的维数。 如果系列s和s1不存在，那么同样的情况便不可能为真。事实上，让我们设想，不可能找到一个动作系列，这个系列将在手指β与物体接触的感觉上引起手指α与同一物体接触的感觉——肯定地或者至少是几乎肯定地——这时我们应当如何推理呢？我们可以说，手指β感觉到物体没有位于空间同一点，它感觉到物体隔着一段距离；另一方面，每次手指β之所以感觉到该物体，那可能是因为物体处于空间中的同一点A。因而必须存在着把手指α引向A点的动作系列。由于物体处于A点，手指a应该能够感觉到物体，这件事总是应该发生。因此，如果我们假定不存在具有这一性质的动作系列，那么我们就必须承认，手指β感觉到在一段距离之外的接触；换句话说，为了确定物体在空间的位置，对于该物体来说，被手指感觉到并不充分；最后，这也就是说，空间必定比用手指按照我们描述过的方式产生的物理连续统有更多的维数。 例如，我将假定，空间具有四维，我将用x，y，z ，t来表示四个坐标。我将假定，手指β每时都感觉到与物体接触，此时三个坐标x，y，z 对于手指和物体都是相同的，而不管第四个坐标可能是什么；而且，手指α每时都感到与物体接触，此时三个坐标x，y，t对于物体和这个手指都是相同的，而不管坐标z 可能是什么。在这些条件下，让我们把我们的法则用来构造由β产生的物理连续统；我们将发现，它只有三维，这三维对应于三个坐标x，y，z，坐标t不起任何作用。按同样的方法，由α产生的物理连续统有三维，它们对应于x，y，t。但是，我们不能够找到对应于这样的肌肉感觉系列s的动作系列，以至于对α的接触感觉肯定地随着对β的接触感觉。 事实上，设x1，y1，z1，t1是物体的坐标；手指β在动作之前的坐标是x0，y0，z0，t0；手指α在动作之后的坐标是x0′，y0′，z0′，t0′。我们将用下述写法表示手指β在动作之前感觉到接触这一事实： x0=x1，y0=y1，z0=z1 (1) 我们将用写法 x0′=x1，y0′=y1，z0′=z1 (2) 表示α在动作之后感觉到接触的事实。 因为s存在，我们必然能够以这样的方法来选择x0，y0，z0，t0和x0′，y0′，z0′，t0′使得关系式（1）能够导致关系式（2），而不管x1，y1，z1，t1可能是什么。很清楚，这是不可能的。恰恰是不可能形成s的这一点在这种情况下向我们揭示出，空间应当有四维，而不像β产生的物理连续统那样只有三维。 再者，如果我们引入视觉，那么我们实际上会观察到某种类似的事情。让我们考虑视网膜上的一点；我们能够赋予它像我们的手指α和β一样的作用。我们能够设想必然使物体的映像反映到视网膜的点γ上的动作系列或肌肉感觉S的对应系列。我们能够利用这个系列，以便定义类似于由α或β所产生的物理连续统。这个连续统将只有两维。但是，我们不能构造类似于s的系列，也就是说，不能构造这样一个动作系列：作为在点γ感觉到的视觉结果，该动作系列肯定引起手指α感觉到的触觉。换句话说，因为我们观察到物体的映像在γ发生，就是说我们能够确定该动作必然引导我们的手指与这个物体相接触，这没有充足的理由。我们缺乏一项关于物体的距离的资料。这就是为什么我们说，视力在一段距离之外起作用，空间有三维——比γ产生的连续统多一维。 从这个简短的叙述中，我们看到，导致我们把三维赋予空间的实验事实是什么。考虑到这些事实，在我们看来，赋予空间以三维，而不是四维或两维，更为方便一些。但是，“方便”这个词不可能有足够强的说服力。把两维或四维赋予空间的人会发现他自己在像我们这样一个世界的生活斗争中是很不利的。这实际意味着什么呢？让我再次提到我的符号，例如全等 S≡S′(modα)， 它的意义我在上面已经解释过了。把两维赋予空间就得要承认我们自己并不承认的类似的全等。这时，我们便被导致用做不到的动作S′来代替能顺利进行的动作。相反地，把四维赋予空间，就会排斥我们自己承认的全等。因此，我们就会剥夺我们自己用其他动作S′代替动作S的可能性，尽管S′这些动作同样有效，并且在某些情况下，它也许还会带来特殊的好处。 5. 空间和自然界 可是，问题能够从完全不同的观点提出来。直到现在，我们采取的观点纯粹是主观的，纯粹是心理学的，或者如果我们希望的话，也可以说是生理学的。我们只考虑了空间与我们的感觉的关系。另一方面，我们能够采取物理学的观点，我们可以问我们自己，是否能把自然现象定域在其他空间内，而不是定域在我们自己的空间内，例如定域在两维或四维空间内。物理学向我们揭示的规律是用微分方程描述的，在这些方程中包含着某些质点的三个坐标。用其他方程，例如包含具有四个坐标的一些质点的方程，描述同一规律是不可能的吗？或者，这也许是可能的，但是由此得到的方程却较不简单？最后，或者它们却是如此简单，而我们却要完全抛弃它们，只是因为它们扰乱了我们的思想习惯？ 当我们说用其他方程描述同一规律时，我们意味着什么呢？让我们考虑两个世界M 和M′。我们能够在这两个世界中发生的或可能发生的现象之间建立这样一种对应关系，使得对于第一个世界的每一个现象φ对应于另一个世界完全确定的现象φ′也可以说是φ的映像。从而，如果我假定，在遵循支配世界M的规律的情况下，现象φ的必然结果是某个现象φ1′，作为φ的映像的现象φ′的必然结果，在遵循支配世界M′的规律的情况下恰恰是现象φ1的映像中φ1′，那么我们就能够说，这两个世界服从同一规律。现象φ和φ′的质的本性对我们来说并不怎么重要；“平行关系”是可能的这一点就有充分的理由了。 而且，事实上，现象的质的本性只是我们的感官关心的东西，我们已经同意采取超心理学的观点，因此可以忽略我们感官的感觉，而只把注意力放在现象的相互关系上。事实上，例如当物理学家用仅看到运动质点的分子运动论的气体来代替我们通过经验所熟知的产生压力和热感觉的气体时，或者用以太振动来代替我们经验到的光和光产生的色感时，他就是这样做的。 只要考虑一个简单的例子，即天文学现象和牛顿定律的例子就足够了。我们观察到的东西不是天体的坐标，而仅仅是它们的距离。因此它们的运动规律的通常表达式是这些距离和时间的微分方程。现在，空间两点之间的距离是一个已知的这两点的坐标的单叶函数。让我们通过在微分方程中用这种函数代替每个距离，来变换我们的微分方程。这时我们便有它们的通常形式的方程，天体的坐标本身包含在这种形式中。 但是，我们可以用其他函数来代替这些距离，从而能够得到这些方程的其他形式。从与我们有关的观点来看，所有这些形式是同等合理的，因为它们服从现象中的“平行关系”。让我们设想天体以这样的方式处于四维空间中，它们每一个的位置不再由三个坐标、而是由四个坐标来确定。接着，让我们在方程中用两个天体的八个坐标的无论什么函数来代替迄今我们视为描述这两个天体之间距离的量。在通常的四维空间中，根本没有必要使这个函数是描述两点之间的距离的函数；它可以是无论什么函数，因为这不会违反“平行关系”。 从而，我们将得到我们方程的一种形式，在这种形式中，涉及天体在四维空间的坐标。这将是以四维空间假说为基础的天文学定律的新表述，这一表述不会与该定律背道而驰，因为它服从“平行关系”条件。不管怎样，这样得到的方程不用说远没有我们通常的方程简单，这一点是很清楚的。 毋庸置疑，同样的情况对于物理学规律来说也是真的。存在着一般的理由，使得它应当如此吗？即在所有的物理学分支中，是有关三维性的假说给这些方程以其最简单的形式吗？这个理由与我在这篇文章的第一部分所提到的东西，与绝对地迫使一切人相信三维性的东西，或者在人们处于生活斗争不利地位的困境下迫使人们好像相信三维性似的那样行动的东西有任何关系吗？ 在这里，有必要简短地说一点题外话。例如，让我们再次把我们通常的空间归于我们的创造者。我们说空间是相对的，这意味着物理学定律在这个空间的所有部分是相同的；或者，用数学语言来说，就是描述这些规律的微分方程不依赖于坐标轴的选择。 如果我们考虑一个完全孤立的系统，那么这没有什么意义；不可能观察这个系统的点的坐标，而只能观察它们的各自距离。观察将不会告诉我们，这个系统的性质是否取决于该系统在空间的绝对位置，因为这个位置是不可观察的。 如果系统不是孤立的，事情也不可能是这样（如果我们希望以严格的精确性进行论证的话），因为在没有考虑到外部物体作用的情况下，不可能描述支配这个系统的规律。可是，却存在着几乎孤立的、被其他物体包围的系统，这些物体要近到足以被看得见，然而又远到难以感觉到它们的作用力。对于与恒星有关的我们的地上世界来说，所发生的情况就是这样。因此，我们可以阐明这个地上世界的规律，就好像恒星不存在一样，但我们仍可以把这个世界与完全确定的并与这些恒星不变地联系在一起的坐标系关联起来。所以，经验告诉我们，坐标系的选择无关紧要，当进行坐标变换时，方程不会不成立。正如我们知道的，坐标轴的可能变换的集合形成一个六维群。 让我们撇开我们通常的空间不谈，让我们用在服从现象“平行关系”的意义上是等价的其他方程未代替我们的方程。每当我们涉及到近似孤立的系统时，将存在极其普遍的事实和将保持不变的不变性特性；将存在不会使方程不成立的变换群。这些变换将不再具有坐标轴变换的含义，它们的含义能够是无论什么东西，可是这些变换所形成的群必须始终与我们刚刚提到的六维群保持同构。没有这一点，就不会有任何平行关系。 因为这个群在所有的情况下起着重要的作用，因为它与坐标轴在通常空间中变换的群同构，还因为它如此密切地和我们的三维空间联系在一起，由于这些理由，当这个群以最自然的方式，即通过引入三维空间被提出时，我们的方程将取它们最简单的形式。 并且由于这个群本身与被认为固体的每一单元的位置变化的群同构，由于服从这个群的规律的运动固体的这一性质通过最终分析只不过是我刚刚注意到的不变性这一特征的特例，所以我们看到，在导致我们把三维赋予空间的物理学的根据和在本章第一节提出的心理学的根据之间，并不存在基本的差别。 6. “拓扑学”和直觉 我想附加一点评论，它仅仅与我已经说过的东西间接有关。我们在上面看到了拓扑学的重要性，我解释道，在这里有几何学直觉的合法领域。这种直觉存在吗？我将回想起，存在着不要直觉也想取得进展的企图，而且希尔伯特（Hilbert）先生试图建立一种所谓的理性几何学，因为这种几何学一点也不诉诸直觉。它以一定数目的公理或公设为基础，这些公理或公设被认为不是直觉的真理，而认为是伪装的定义。这些公理被分为五组。关于其中的四组，我已在某些场合提到了，在某种程度上把它们视为只包含伪装的定义是合理的。 在这里，我想着重强调一下其中的一组；即第二组，“次序公理”组。为了充分解释这个组涉及什么内容，我将引用它们中的一个。如果在任一线上的A和B之间有任意一点C在A和C之间有任一点D，那么点D将处在A和B之间。按照希尔伯特先生的观点，其中没有直觉的真理；我们同意说，在某些情况下，C在A和B之间，可是除了我们知道点或线是什么之外，我们不知道这意味着什么更多的东西。按照我们的法则，为了在任意三个点之间指定任何关系，我们能够使用“在……之间”这个表述，只要这个关系满足次序公理即可。于是，这些公理在我们看来好像是“在……之间”这个词的定义。 因此，有可能利用这些公理，只要满足这个条件，即证明它们不相互矛盾；而且，几何学也有可能建立在它们的基础上，在这种几何学中，将不需要图形，它能够被既没有视觉、触觉，也没有肌肉感觉以及任何感觉的人所理解，它可以归结为纯粹的知性。 是的，这种人也许会在下述意义上来理解：他十分清楚地认识到，这些命题在逻辑上可以使一个从另一个中推导出来；但是，这些命题的集合对他来说似乎是人为的和奇异的，他不理解为什么是这种命题集合，而不是许多其他可能的集合更受欢迎。 如果我们没有经历同样的惊奇，那正是因为对于我们来说，公理实际上不是简单的定义和任意的约定，而是真正证明为正确的约定。至于其他各组公理，我依然认为，它们之所以被证明是正确的，是因为它们是与我们熟悉的某些经验事实最近似符合的东西，因而对于我们来说，它们是最方便的。谈到次序公理，在我看来，似乎存在着某种更多的东西；它们是与拓扑学有关的真实的直觉命题。我们看到，点C在一条线上其他两点之间的事实与借助于由不可逾越的点形成的截量去截取一维连续统的方法有关。 可是，接着便产生了一个问题：像次序公理这样一些真理是通过直觉向我们揭示出来的；但是，这是有关空间直觉本身的事情呢，还是有关一般的数学连续统或物理连续统直觉的事情呢？倘若赞成第一种解决办法，我们可以容易地论证空间，但是要论证更复杂的连续统、要论证不能在空间中来描述的大于三维的连续统就困难得多了。 而且，如果第一种解决办法被采纳，这里的全部讨论会变得毫无用处；我们之所以将三维性直率地赋予空间，是因为三维连续统是我们能够具有清晰直觉的唯一连续统。 但是，还存在着大于三维的拓扑学。我没有说它是一门容易的科学，我为此付出了巨大的努力，没有考虑到会在其中遇到这么多困难。但是，无论如何，这门科学是可能的，它并未全部停留在分析学上。要是不持续在诉诸直觉，就无法成功地把它探究下去。因此，确实存在着大于三维的连续统的直觉；与通常的几何学直觉相比，如果它要求比较持久的注意力，那么这无疑是一个习惯问题，也无疑是当维数增加时，连续统复杂性急剧增加的结果。我们难道在我们的中等学校没有看到平面几何学得很好的学生“无法想象空间”吗？那不是他们缺乏三维空间的直觉，而是他们不习惯于运用它，他们需要作出努力才能如此。而且，为了想象空间图形，我们难道不去相继地想象这个图形的各种可能的远景吗？ 我将得出结论，我们大家都有任意维数的连续统的直觉概念，因为我们具有构造物理连续统和数学连续统的能力；而且，这种能力之所以在任何经验之前就在我们身上存在着，是因为没有它，经验严格说来是不可能的，会沦为不适合任何有机体的没有理性的感觉；是因为这种直觉只不过是我们具有这种本能的意识。然而，这种本能可以以不同的方式来运用；它能够使我们像构造三维空间那样来构造四维空间。正是外部世界，正是经验，引导我们在一种意义、而不是在另一种意义上运用它。 [book_title]第四章 无限的逻辑 1. 分类应当是什么 当我们无论何时考虑由无限数目的物体组成的集合时，通常的逻辑规则还能应用吗？乍看起来，这是一个尚未被询问过的问题，可是它却引导我们去考查，专门研究无限的数学家何时会突然遇到某些表面上的矛盾。这些矛盾是出自逻辑规则被误用的事实呢，还是出自它们在它们的适用领域之外、即在仅由有限数目的物体形成的集合之外不再有效的事实呢？我认为，就这个课题讲几句话，给我的读者提供一个关于这个问题所引起的争论的观念，并不是没有意义的。 形式逻辑无非是研究对所有分类都是共同的那些性质；它告诉我们，是同一个团的成员的两个士兵正是由于这个事实而属于同一个旅，从而属于同一个师；三段论法的整个理论被归结为这一点。可是，这种逻辑规则是有效的必要条件是什么呢？它就是，所采用的分类是不可改变的。我们了解到两个士兵是同一个团的成员，我们想要得出结论说，他们是同一个旅的成员；我们有权利这样做，倘若在进行我们的推理所消磨的时间内，两人之一没有从一个团调到另一个团的话。 所揭示出的悖论完全来源于忘记了这个十分简单的条件：分类依赖的基础并非不可改变，它并不能够如此；预防办法就是着手宣布它是不可改变的；但是，这种预防办法是不充分的。有必要提出它事实上是不可改变的，但有一些场合，在其中这是不可能的。 请容许我再次提及罗素（Russell）先生引用的例子。毕竟，他提到这个例子是要驳倒我。他想证明，困难并不是来自实无限的引入，因为即使在只考虑有限数时也能够遇到它们。我以后将返回到这一点，但这不是现在要考虑的课题，我之所以选中这个例子，是因为它是有趣的，它使我刚才指出的事实显得更为重要。 用具有不到一百个法语单词组成的语句不能定义的最小整数是什么呢？而且，这个数存在吗？ 是的；因为用一百个法语单词，我们只能构造有限数目的语句，由于在法语字典中，单词的数目是有限的。在这些语句中，将存在一些没有意义的或不定义任何整数的语句。但是，这些语句中的每一个至多能够定义一个单个的整数。因此，能够以这种方式定义的整数的数目是有限的；所以，肯定存在着一些整数不能这样来定义；在这些整数当中，肯定有一个比所有其他整数都小。 否；因为要是这个整数存在，它的存在便意味着矛盾，由于它可以用不到一百个法语单词的语句来定义；就是说，可以用断言它不能被定义的那个语句来定义。 这种推理停留在把整数分为两个范畴的分类上：一个范畴能用不到一百个法语单词的语句来定义，另一个范畴则不能。在询问这个问题时，我们暗中宣布，这种分类是不可改变的，我们只有在它明确地建立起来之后才能开始我们的推理。可是，这是不可能的。只有当我们审查了所有由不到一百个单词组成的语句时，只有当我们排除掉那些没有意义的语句时，只有当我们明确地确定了具有意义的语句的意义时，分类才能够是决定性的。但是，在这些语句中，存在着一些只有在分类固定之后才能够具有意义的语句；它们是涉及到分类本身的语句。总而言之，数的分类只有在语句的选择完成之后才能够固定下来，而这种选择也只有在分类被确定之后才能够完成，以至于无论分类还是选择永远也不能终止下来。 当涉及无限的集合时，甚至会更频繁地遇到这些困难。让我们设想，需要对这些集合之一的元素进行分类，分类的原则依赖于被分类的元素与整个集合的某种关系。这样的分类在任何时候能够被认为是确定的吗？不存在实无限，当我们说无限的集合时，我们理解的是我们能够把新元素不停地添加到其中的集合（类似于为等待新订户，永远没完没了的订购单）。因为分类不能彻底地完成，除非在订购单结束之时；每当新元素添加进集合中，这个集合都要被修正；因此，有可能修正这个集合和已被分类的元素的关系；由于这些元素被放置在这个或那个抽屉内与这种关系一致，因而能够发生下述情况：一旦这种关系被修正，这些元素将不再处于合适的抽屉内，而且必须移动它们。只要引入新元素，就不得不担心，这项工作可能全都得重新开始；因为没有新元素被引入的事从来也不会发生；因此分类将永远也不会被固定。 我们由此在适用于无限集合的元素的两种分类之间作出区分：断言的（predicative）分类，它不会由于新元素的引入而扰动；非断言的（non-predicative）分类，在这种分类中，新元素的引入必然要引起不断的修正。 例如，让我们假定，我们按照整数的大小将它分为两族。我们不考虑一个数与其他整数集的关系，就能够分辨出这个数比10大还是比10小。大概，在头100个数被确定之后，我们就知道，在它们之中哪些小于10、哪些大于10。然后，当我们引入101这个数时，或者引入任何一个接着它的数时，在头100个整数内，小于10的那些数将依然小于10，大于10的那些数将依然大于10；分类是断言的。 相反地，让我们设想，我们希望把空间中的点进行分类，我们在能够用有限数目的单词来定义的点和不能用有限数目单词来定义的点之间作出区分。在可能的语句中，将存在着一些涉及到全部集合，也就是涉及到空间或空间某些部分的语句。当我们在空间中引入新点后，这些语句将改变意义，它们将不再定义同一个点；或者，它们将失去一切意义；要不然，它们将获得意义，虽然它们起先没有任何意义。于是，不能定义的点将变得能够定义，另外一些能够被定义的点将不能被定义了。它们将必须从一个范畴变到另一个范畴。分类将不是断言的。 有一些好心人，他们相信，人们可以推理的唯一对象是那些能够用有限数目的单词定义的对象。我更加乐于认为他们是好心人，因为我自己马上要为他们的见解辩护。因此，可以认为前面的例子是拙劣的选择，但是很容易修正它。 为了对整数或空间中的点进行分类，我将考虑定义每一个整数或每一个点的语句。由于会发生同一个数或同一个点能够用许多语句来定义的情况，我将按字母顺序排列这些语句，并将在这些语句中选择第一个。以此作为条件，这个语句将以元音或辅音结束，分类能够按照这个标准作出。但是，这种分类不可能是断言的；通过引入新整数或新点，没有意义的语句可以获得意义。于是，对于定义已经引入的整数或点的语句一览表来说，它将必然要添加新语句，到这时还没有意义的语句恰恰获得了意义，而且定义的正好是同一个点。能够发生这样的情况：这些新语句占据按字母顺序排列的第一个位置，它们以元音结束，而原先的语句则以辅音结束。于是，原来位于第一个范畴的整数和点将不得不转移到另一个范畴。 另一方面，如果我们按照空间中的点的坐标的大小来对这些点进行分类，如果我们一致同意分类所有横坐标小于10的点，那么新点的引入将不会改变分类中的任何东西；已经引入的满足该条件的点在引入新点之后也将满足该条件。分类将是断言的。 我们刚才就分类所说的东西直接适用于定义。实际上，每一个定义就是一种分类。它把满足定义的对象与不满足定义的对象分开，并且它按两种不同的类排列它们。如果像经院哲学所作的那样，通过近缘的类和不同的种继续做下去，那么它显然依赖由类到种的划分。像所有的定义一样，定义可以是断言的，或不可以是断言的。 但是，在这里遇到了一个困难。让我们再考虑原先的例子。整数属于类A 还是属于类B，取决于它们小于10.5 还是大于10.5。我定义了某些整数α，β，γ……，我把它们分配在这两类A和B之中。我定义并引入新的整数。我说过，分配未被修正，从而分类是断言的。可是，为了不修正数α在分类中的位置，不改变分类方案是不充分的；数α依然保持相同也是必要的；也就是说，它的定义是断言的。因此，从某种观点来看，我们不应当说，分类以绝对的方式是断言的，但是相对于定义方法而言，它却是断言的。 2. 基数 当定义基数时，我们不应忘记原先的考虑。如果我们考虑两个集合，那么以对于第一个集合的每一个对象，都有第二个集合的一个并且是唯一的一个对象与之相对应的方式（反之亦然），我们能够尝试在这两个集合之间建立起对应规律。如果这是可能的，我们便说两个集合有相同的基数。 但是，对应规律又必须是断言的。如果我们处理两个无限的集合，那么将永远不可能想象这两个集合会被穷尽。如果我们假定，我们在第一个集合中取了一定数目的对象，那么对应规律将使我们能够定义第二个集合的相应对象。如果我们接着引入新的对象，那么新对象的引入必须以下述方式改变对应规律的意义：第二个集合的对象A′在引入新对象前对应于第一个集合物的对象A，在新对象引入之后，A′就不再与A对应了。在这种情况下，对应规律将不是断言的。 这就是我借助于两个相反的例子想要解释的东西。我正在考虑整数的集合和偶数的集合。数2n可以与每一个整数n对应。当我引入新整数时，与n对应的将总是同一个数2n。对应规律是断言的；例如，为了证明有理数的基数等于整数的基础，或空间的点的基数等于线上的点的基数，康托尔（Cantor）所考虑的东西都是如此。 另一方面，让我们设想一下，我们正在把整数集与能够用有限数目的单词来定义的空间的点集加以比较，我在它们之间建立起下述对应。我将列举所有可能的语句。我将按照它们中的单词数目排列它们，按字母顺序安置具有相同单词数的语句。我将除去所有没有意义的或没有定义任何点的语句，或者该语句虽然定义了点，但是这个点已用先前的一个语句定义过。对于每一个点来说，我都使定义它的语句和在修正一览表中描述这个命题位置的数目对应起来。 当我引入新点时，可能会发生一些没有意义的语句将获得意义；我们将不得不在起初从中除去它们的一览表中使它们恢复原来的位置；所有其他语句的顺序数将被改变。对应关系将被全部打乱；我们的对应规律不是断言的。 在比较基数时，如果我们不注意这个条件，那么便会导致奇异的悖论。因此，有必要通过说明作为这个定义基础的对应规律必须是断言的，来修正基数的定义。 每一个对应规律都以二重分类为基础。我们希望比较的两个集合的对象必须被分类；而两个分类必须是平行的。例如，如果第一个集合的对象被分类，类本身又细分为阶，阶又细分为族等等，对于第二个集合的对象必须遵循同样的过程。第一个分类的每一个类必须与第二个分类的一个类并且是唯一的一个类相对应，第一个分类的每一个阶必须与第二个分类的一个阶并且是唯一的一个阶相对应，如此等等，直到个别对象本身。 于是，我们看到，要使对应规律是断言的条件必须是什么。有必要使对应规律所依据的两个分类本身是断言的。 3. 罗素先生的论文 罗素先生在《美国数学杂志》第×××卷上发表了一篇论文，该文的题目是“以类型理论为基础的数理逻辑”，它是以完全类似于前面的考虑为基础的。在逻辑学家中唤起对一些最有名的悖论的注意之后，他寻找它们的来源，并发现这恰恰在于一种循环论证。悖论之所以发生，是因为集合被认为包含着这样的对象，在这些对象的定义中，集合的概念本身是固有的。非断言的定义已被使用罗素先生说，在“所有”（all）和“任何”（any）这两个单词之间存在着混乱，这两个词在法语中可用tous 和quelconque 来表述。 他于是转而想象他称之为类型谱系（hierachy of types）的东西。让我们设想一个命题对于一定类的任何个体都为真。所谓任何个体，我们必须首先理解这个类的所有个体，它们能够在没有使用命题本身概念的情况下被定义。我将称它们为任何第一阶的个体；当我断言该命题对所有这些个体为真时，我将断言一个第一阶的命题。于是，任何第二阶的个体将是这样一个个体，其定义能够包含这个第一阶的命题的概念。如果我断言所有第二阶个体的命题，我将具有一个第二阶的命题。第三阶的个体将是其定义能够包含这个第二阶命题的概念的个体，如此等等。 让我举爱皮梅尼特（Epirnenides）的例子。第一个阶中的说谎者将总是在说谎，除非当他说“我是第一个阶中的说谎者”时；第二个阶中的说谎者将总是在说谎，即使在他说“我是第一个阶中的说谎者”时也是如此，可是当他说“我是第二个阶中的说谎者”时，他就不再是在说谎了。如此等等。于是，当爱皮梅尼特告诉我们：“我是说谎者”，我们应该问他：“哪一个阶的？”只有在他回答了这个合理的问题之后，他的断言才有意义。 让我们接着举一个更科学的例子，并且考虑整数的定义。如果一种特性是零的特性，并且如果它不是n+1的特性，它就不可能是n的特性，那么它就被说成是递归的；我们说，具有递归特性的所有数形成一个递归类。因此，按照定义，一个整数是具有递归特性的一个数，也就是说，它属于所有的递归类。 从这个定义出发，我们能够得出两个整数的和是整数的结论吗？看来似乎是这样；这是因为，如果n是已知的整数，那么致使n＋x是整数的这样的数x形成递归类。如果n+x不是整数，那么数x因而也不会是整数。但是，我们已经讲过的这个递归类的定义不是断言的，因为在这个定义（它告诉我们n+x必须是整数）中，出现了预先假定所有递归类概念的整数概念。 从而产生了利用下述迂回方法的必要性：让我们把所有在没有引入整数概念的情况下能够被定义的那些类看作是一阶递归类，把属于所有一阶递归类的数看作是一阶整数。接着，让我们把在出现需要时通过引入一阶整数概念、而不引入更高阶整数概念就能够被定义的类看作是二阶递归类。让我们把所有属于二阶递归类的数叫作二阶整数，如此等等。然后，我们能够证明的不是两个整数的和是整数，而是两个K阶整数的和是K-1阶的整数。 我想，这些例子将足以传达罗素先生要求的类型谱系。可是，这时产生了作者没有提出见解的各种问题。 1.在这个谱系中，毫无困难地出现一阶命题、二阶命题等等，一般地是n阶命题，n是任何有限整数。可以同样地考虑α阶（α是超限序数）的命题吗？这正是柯尼希（Kőnig）先生所思考的理论，该理论在本质上与罗素先生的理论没有什么区别。他使用特殊的记号系统，在这个系统中，他用A（NV）表示一阶对象，用A（NV）2 表示二阶对象，等等，NV是述语“不变的”（ne varietur）词首的大写字母。就他来说，他毫不犹豫地引入A（NV）α——其中α是超限的——可是却没有充分解释他由此了解到什么。 2.如果我们对第一个问题回答“是”，那就必须解释由ω阶对象了解了什么，ω是寻常无限，即第一超限序数；或者必须解释由α阶对象了解了什么，α是任何超限序数。 3.另一方面，如果我们对第一个问题回答“否”，那么将怎样有可能把有限数和无限数的区别建立在类型理论的基础上呢？因为如果不假定已经作出这种区别，那么这个理论就失去了意义。 4.更一般地，我们对第一个问题要么回答“是”，要么就是回答“否”，如果我们不假定序数理论已经建立起来，那么类型理论就是不可理解的。这时，将怎样有可能把序数理论建立在类型理论的基础上呢？ 4. 可约性公理 罗素先生引入了一个新公理，他把这个公理叫作可约性公理。由于我没有把握已完全理解了他的思想，因此我将直接引用他的话：“我们假定，每一个函项对于它的所有值来说等价于同一自变数的某个断言函项。”为了理解这个断言，必须提到在这篇论文开头所给出的定义。什么是函项？什么是断言函项？如果命题是就给定对象α断言的，那么这就是特称命题；如果它是就不定对象x断言的，那么它就是x的命题函项。该命题将是类型谱系中的某一阶，无论x可能是什么，这个阶将不相同，因为它依赖于x的阶。当x是K阶，如果该函项是K＋1阶，那么它将被宣称是断言函项。 即使在这些定义之后，该公理的意义还不是很清楚的，举几个例子也许不会是多余的。罗素先生没有给出任何例子，我很犹豫是否给出我自己的任何例子，因为我怕误述了他的思想，我不敢保证已完全把握了他的思想。但是，即使没有把握它，但也有一件我不能怀疑的事情，这就是其中包含着一个新公理。借助于这个公理，人们期望能够证明数学归纳法原理；但我也希望不要完全否认这种可能性，即我怀疑这个公理可能是同一原理的另一种形式。 于是，我竟情不自禁地想起了所有宣称依靠他的一个推论并把这个推论看作是自明的真理而来证明欧几里得公设的人。他们得到了什么呢？不管这个真理是多么自明的，它将比公设本身更为自明吗？ 因此，就公设数目而论，我们一无所获。但我们至少在质的方面有所收获吗？ 在什么方面新公理表明自身比归纳法原理更为可取呢？ 第一，它可以用更简单、更清楚的术语来陈述吗？这是可能的，因为罗素先生给我们的东西无疑可以被改进；但是不一定很有希望。 第二，如果人们从归纳法原理出发，可以证明可约性公理，那么可约性公理比归纳法原理更为普遍吗？ 第三，相反地，可约性公理看上去没有归纳法原理普遍吗？所以尽管归纳法原理包含在可约性公理之中，但我们没有立即察觉到前者包含在该公理中。 第四，这个公理的使用更密切地与我们心智的天然倾向一致吗？能够从心理学上证明它吗？ 我把我自己限定在这些问题上；我缺乏解决它们的手段，因为我未能完全理解这个公理的意义。 由于罗素先生给的资料十分有限，我不能期望完全把握其意义，即使如此，我至少可以作一些推测。例如，在这里有像整数的定义这样的命题；有限整数是一个作为所有递归类的元的数。这个命题本身没有意义，只有指定所涉及的递归类的阶时，它才会有意义。但是，幸运的是，这种情况发生了；何况每一个二阶整数更有理由是一阶整数，因为它属于头两阶的所有递归类，从而属于一阶的所有递归类；每一个K阶整数同样也更有理由是K－1阶的整数。于是，导致我们可以定义越来越多的有限类的系列，一阶整数、二阶整数……n阶整数，它们的每一个都包含在前一个中。我将把同时属于所有那些类的每一个数称为“ω阶整数”；ω阶整数的这种定义有意义，而且能够认为它等价于首次针对还没有任何意义的整数提出的定义。这就是像罗素先生所理解的可约性公理的正确应用吗？我提供这个例子的信心是不足的。 不过，让我们接受它，让我们再次考虑要证明的关于两个整数之和的定理。我们已经确定，两个K阶整数之和是K－1阶整数，我们希望得出结论：如果x和n是两个ω阶整数，那么n＋x之和也是ω阶整数。事实上，不管K可能多么大，为此只要确定n＋x是K阶整数就足够了。因为如果，n 和x是ω阶整数，那么它们将更有理由是K＋1阶整数；因此，借助于已经确立的定理，n＋x是K阶整数…… 证 毕 罗素先生的公理能够以这种方式运用吗？我倒感到，这并非严格如此，罗素先生可能给出完全不同的推理形式，但是基础依然是相同的。 我不想在这里讨论证明方法的有效性。 我将暂且把我自己限定在下述观察内。随着n 阶对象概念的引入，我们已被导致引入ω阶对象的概念，就整数而论，在定义这个新概念时，我们认为我们获得了成功。但是，这不会总是成功的；例如，对爱皮梅尼特来说，这根本不会是有效的。下述情况已保证获得成功。在研究中的分类不是断言的，新元素的添加必须修正原先被引入的和被分类的元素的分类。无论如何，这种修正只能在一个方向进行；也许必须使一些对象从A 类变换到B类（即从整数类变换到非整数类），但是永远也不能使它们从B类变换到A 类。在时而在一个方向、时而在另一个方向必须作出修正的情况下，为了定义ω阶对象，一个新约定该是必要的。 其次，ω阶整数的定义不同于K阶整数的定义，其中K是有限的。K阶整数是通过递归从K－1阶整数的概念推论出K 阶整数的概念而定义的。ω阶整数通过极限来定义，也就是使这个新概念与无数原先的概念，即与所有有限阶整数的概念相关来定义。因而，对于并不知道有限数是什么的人来说，此时这两个定义可能是无法理解的；他们预先假定有限数和无限数之间的区别。因此，这个区别不能建立在这些定义的基础上。 5. 策默罗先生的论文 正是在完全不同的方向上，策默罗（Zermelo）先生寻求我们已经指出的困难的解决办法。他力求假定一个先验的公理系统，该系统容许他在不面临矛盾的情况下证明所有的数学真理有许多估计公理作用的途径；它们能够被视为任意的规定，这些规定无非是基本概念的伪装的定义。因此希尔伯特先生在几何学的开头引入“物”（things），他把点、直线和平面称为物，不管是忘却还是似乎是片刻忘却这些词的共同意义，他都针对这些物拟定了定义它们的各种关系。 为使这成为合理的，就必须证明，由此引入的公理是不矛盾的，而就几何学而言，希尔伯特先生完全取得了成功，因为他设想分析已经建立起来了，因为他能够在这个证明中利用它。策默罗先生没有证明他的公理是摆脱了矛盾的，而且他不能这样做，因为要这样做，他就应当利用其他已经确立的真理作为基础。但是，谈到已经确立起来的真理和已经完成了的科学——他假定到当时为止还不存在；他排除任何东西，他希望他的公理是完全自身充分的。 因此，公设能够把它们的价值仅仅归于某种类似于任意规定的东西；它们必须是自明的。正因为自明不能被证明，所以要证明这种自明，我们从而必须力图深入到创造这种自明感的心理学机制。而这就是产生困难的地方；策默罗先生承认某些公理，而排斥另一些乍看起来似乎正像他保留的公理一样自明的公理。如果他完全保留它们，他就会陷入矛盾；因此，对他来说，有必要作出选择。但是，我们可能会感到奇怪，他选择的根据是什么，这使得我们必须要谨慎小心。 就这样，他以反对康托尔的定义开始：集（set）是任何与其他不同的、任何被认为是形成一个整体的对象的集合。因此，我没有权利谈论满足这个条件或那个条件的所有对象的集。这些对象没有形成集（set或Menge） [1] ，但是有必要用某种东西代替我们排斥的定义。策默罗先生把他自己限制在这样一个陈述内：让我们考虑任何类型对象的域（domain，Bereich） [2] ；在两个这样的对象x和y之间可以存在x∈y的形式关系，于是我们将说，x是y的元素以及y是集（set）或Menge。 显然，这不是定义。任何一个不知道Menge是什么的人，当他得知用符号∈表示它时，他将不会更好地认识它，因为他不知道∈是什么。如果符号∈后来用被视为任意规定的公理来定义，这样事情就过得去了。但是，我们刚才已看到，这种观点是站不住脚的。因此，我们必须预先了解Menge是什么，我们必须具有它的直觉观念。正是这种直觉，使我们能够理解∈是什么；没有这一点，∈只不过是缺乏意义的、不能宣称有任何自明性质的符号。但是，如果这种直觉不是我们轻蔑地排斥的廉托尔的定义，那么它能够是什么呢？ 让我们略过这个困难，我们将在以后试图阐明它，让我们列举一个策默罗先生所设想的公理；它们总共有七个： 1.具有相同元素的两个集（Menge）是等价的。 2.存在着不包含任何元素的集（Menge），这就是空集（Nullmenge）；如果存在对象a，那么便存在Menge（a），这个对象是该Menge的唯一元素；如果存在两个对象a和b，那么便存在Menge （a，b），这两个对象是该Menge的仅有的一些元素。 3.Menge M中的所有满足条件x的元素的集形成M 的子集（subset，Untermenge） [3] 。 4.对于每一个Menge T，相应地存在着由T的所有子集（Untermenge）形成的另一个MengeUT。 5.让我们考虑Menge T，其元素是那些Mengen [4] 本身；存在着MengeST，其元素是T的元素的元素。例如，如果T有三个元素A，B，C，它们本身是Mengen；如果A有两个元素a和a′，B有两个元素b和b′，C有两个元素c和c′，ST 将有六个元素a，b，c，a′，b′，c′。 6.如果存在着一个Menge T，其元素是那些Mengen本身，那么有可能在这些基本Mengen中的每一个中选择的一个元素，而且如此选择的元素的集形成ST的一个Untermenge。 7.至少存在一个无限Menge。 在讨论这些公理之前，我们必须回答一个问题：在叙述它们时，为什么保留德语词汇Menge而不用法语词汇ensemble［集，set］？这正是因为我没有把握，词Menge 在这些公理中保持它的直观意义，没有这种直观意义，就很难排斥康托尔的定义；现在，法语词汇ensemble 使我们太强烈地想起这种直观意义，以至于当意义改变时，我们不能方便地利用它。 我不想过多地强调第七个公理；尽管如此，我必须就它说几句话，以便唤起对策默罗先生用来陈述该公理的十分首创性的方法的注意。他没有使他自己满足于我已经给出的陈述。他说：存在一个Menge M，该集在不包含作为一个元素Menge（a）的情况下也不能包含元素a，即在该Menge 中，元素a是唯一的元素。因此，如果M容纳元素a，那么它将容纳一系列其他元素，也就是说，它将容纳a是唯一元素的Menge，在该Menge中，唯一的元素是仅有一个元素a的Menge，如此等等。可以清楚地看到，这些元素的数目必然是无限的。乍看起来，这个弯路似乎是很奇怪的和人为的，实际确是这样；可是，策默罗先生想避免使用无限一词，因为他认为他的公理先于有限和无限的区分。 让我们考虑前六个公理；它们能够被视为明显的，一旦我们赋予Menge这个词以它的直观意义，并且仅仅考虑有限数目的对象的话。但是，它们不过是作者明确反对的另一个公理： 8.任何种类的对象形成一个Menge。 因此，我们必须问一个问题：无论何时涉及到无限的集合，为什么公理8不再具有自明性而头六个公理依然是自明的呢？ 为了解决这个问题，我们要返回到公理的陈述，如果这样的话，我们将经历我们第一次的惊奇。我们将注意到，所有这些公理都毫无例外地告诉我们，只有一种东西，即按照某些规律形成的某些集合才能构成Menge，以至于这些公理对我们来说只不过是作为预定扩大Menge这个词的意义的一些法则，作为该词的一些纯粹的定义。这对于我们反对的第八个公理来说是正确的，正像对于我们接受的头七条公理来说是正确的一样。 可是，我们不久便被警告说，这头一个印象是错误的；词的类似的定义不会把我们引向矛盾；只有在我们具有断言某些集合不是Mengen的其他公理的时候，才不得不形成矛盾；而我们却没有这样的集合。但是，如果我们排斥第八个公理，那就会避免矛盾。策默罗先生就是这样明确地说的。 因此，情况必定是，他没有把他的公理看作是词的简单定义，他赋予Menge这个词以直觉意义，这种意义在他所有陈述之前就存在着，尽管该意义与通常的意义有某种差别。当探讨作者在他的论证中对它的用法时，就不可能不注意到这一点。Menge是我们能够推论的某种东西；它在一定程度是某种固定的、不可改变的东西。为了确定一个集即Menge，确定无论什么集合，总是要进行分类，总是要把属于这个集的对象与不是它的部分的对象分离开来。如果相应的分类不是断言的，那么我们将说，这个集不是一个Menge；如果这种分类是断言的，或者如果它就像它曾经是的那样是可能加以推论的，那么它就是一个Menge。 如果我们排斥第八个公理，正是因为无论任何对象都毫无疑问地形成集合，但却是永远不封闭的集合；其顺序能够在任何时刻通过添加意想不到的元素而被推翻。它是一个非断言的集合，相反地，当我们说，例如对于每一个Menge T，总是相应地存在着另一个用这种或那种方式定义的Menge UT 或ST，我们宣称，这个定义是断言的，或者我们有权像它曾经是的那样去行动。 这里是说在策默罗先生的下述理论中起基本作用的区分的地方了，策默罗理论说：“这样一个问题或陈述E可以称之为确定的，即关于这个域的基本关系的有效性和无效性能够毫无任意性地由公理和普遍有效的逻辑规律区分开来。”“确定的”（definii） [5] 这个词在这里似乎合理地与“断言的”一词同义。但是，策默罗先生对它所作的使用表明，同义并不是完全的。因此让我们设想，例如，这个问题E如下：Menge M的某一元素与同一Menge的所有其他元素具有某种关系吗？我们同意说我们必须回答是的所有元素形成一个类K吗？至于我，我赞同罗素先生的观点，也认为这样一个问题不是断言的；因为M的其他元素是无限的，因为可以不断地引入新的元素，因为在引入的新元素中可能存在其定义包含类K的概念的某些元素，也就是说，包含着具有特性E的元素集的概念。对于策默罗先生来说，在我没有精确认识在确定的问题和不是确定的问题之间存在着严格分界的情况下，这个问题可能是确定的。对他来说，情况似乎是，为了知道一个元素相对于M的所有其他元素是否具有特性E，只要检验它相对于它们中的每一个是否具有特性E就足够了。如果该问题相对于它的每一个元素都是确定的，那么根据这一事实，它相对于所有这些元素也是如此。 正是在这里，在我们的观点中出现了分歧。策默罗先生不容许他自己考虑所有满足某一条件的对象的集，因为在他看来，似乎这个集永远不是封闭的；引入新对象总是可能的。另一方面，在谈到是某一Menge M的一部分而且也满足某一条件的对象的集时，他毫不踌躇。对他来说，情况似乎是，人们在不具有集的所有元素的同时是不可能具有Menge的。在这些元素中，他将选择满足给定条件的元素，他将能够十分沉着地作出这一选择，而不担心被新的、未曾料到的元素的引入所扰乱，因为他手头已经拥有所有这些元素。由于预先假定了这个Menge M，他筑起了一道围墙，不让来自外部的入侵者闯入。但是，他没有询问，是否存在着他把其圈进他的围墙内的内部入侵者呢？如果Menge M具有无限数目的元素，那么这并不意味着这些元素能够被想象为预先同时存在着，而是意味着新元素有可能不断地产生；它们将在墙内产生而不是在墙外产生；这就是一切。当我说所有的整数时，我意味着所有已经被发明出来的整数和所有将有一天能够被发明出来的整数。当我说空间中的所有点时，我意味着所有其坐标能够用有理数、或用代数数、或用积分、或用任何其他能够被发明出来的方法描述的点。正是这个“能够”，就是无限。但是，有可能发明出将能够用许多方法来定义的一些东西，如果我们把我们不久前所做的归诸我们的问题E和我们的类K，那么每当M的新元素被定义，问题E会再次产生；因为在我们能够定义的元素中，将存在着一些其定义依赖这个类K的元素。以至于没有可能避免循环论证。 这就是策默罗先生的公理为什么不可能使我感到满意的原因。在我看来，它们不仅不是明显的，而且当有人问我它们是否摆脱了矛盾时，我将不知道回答什么。作者认为，他通过摒弃任何超越于闭Menge的限制的思辨，正在避免最大基数的悖论。他认为他仅仅通过询问那些是确定的问题，正在避免理查德（Richard）的悖论；按照他附加于这一表述的意义，这排除关于能够用有限数目的词来定义的对象的一切考虑。但是，尽管他谨慎地关上了他的羊圈，我不敢担保，他没有放进想要吃羊的狼。只有他证明他免除了矛盾，我才会感到安心；我只是非常清楚地知道，他不能这样做，因为这有必要引用归纳法原理，他对归纳法原理并不怀疑，但他后来提议对此进行证明。他应当忽略了它；这可能以逻辑错误为代价，但是我们至少会确信它。 6. 无限的作用 关于不能够用有限数目的词来定义的对象的推理是可能的吗？甚至表达它们和了解我们正在谈论的东西以及不说无意义的空话是可能的吗？或者，相反地，它们必须被看作是不可思议的吗？至于我，我毫不犹豫地回答，它们只不过是虚无而已。 我们在任何时候遇到的所有对象要么是用有限数目的词来定义的，要么仅仅是不完全地被确定的，依然与许多其他对象不可区分；只有在我们把它们和与它们相混的其他对象区分开来后，我们才能够恰当地进行推理；也就是说，只有当我们成功地用有限数目的词来定义它们时。 如果我们考虑一个集，并且我们希望定义其中的不同元素，那么这个定义能够自然地被分为两部分；该定义的第一部分对该集的所有元素都共同适用，它将引导我们把它们与这个集不相容的元素区别开来；这将是该集的定义；第二部分将引导我们把该集的不同元素彼此区别开来。 这两部分中的每一个将由有限数目的词构成。如果我们表达其定义是已知的一个集的所有元素，那么我们希望表达满足该定义第一部分的所有对象，我们将借助于由我们可以希望的任何有限数目的词组成的语句成功地定义它们。只有该定义的头半部已知，你然后才能够通过选择你喜欢的下半部来完成它；但是，你必须完成它。如果我就集的所有对象陈述了一个命题，那么我意味着，要是一个对象满足该定义的第一部分，那么就这个对象而论，该命题将依然为真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可以希望地那样能够陈述它，那你陈述它就是必要的；否则，该对象就可能是不可思议的，该命题就会没有意义。 对这种观点提出几点反对意见并不是不可能的，实际上已经这样做了。由有限数目的词构成的语句总是能够编上号码，因为例如可以按照字母顺序把它们分类。如果所有可想象的对象必须用这样的语句来定义，那么也可以给它们编号。因此，没有比现有的整数更可信的对象了；如果我们考虑空间，例如，如果我们从其中排除不能够用有限数目的词定义的、绝对虚无的点，那么依然存在的点并不比现有的整数更多些。康托尔证明了对立面。 这仅仅是错觉而已。要通过用来定义空间中的点的语句来描述空间的点，要按照形成这些语句的字母把这些语句和相应的点进行分类，这就是要构造一种不是断言的分类方法，这种分类方法要承担我在本章开头所提到的所有的不便、所有不合逻辑的推论和所有的悖论。康托尔究竟意指什么，他实际上究竟证明了什么？在整数和能用有限数目的词来定义的空间的点中，不可能发现满足下述条件的对应规律： 1.这个规律能够用有限数目的词来陈述。 2.给定任何整数，可以在空间中找到对应的点，这个点将被完全确定，毫无歧义；这个点的定义由两部分组成，即整数的定义和对应规律的陈述，它们能够被归结为有限数目的词，因为这个整数能够用有限数目的词来定义，而对应规律能够用有限数目的词来陈述。 3.给定空间中的点P，我假定用有限数目的词定义该点（我自己没有摒弃使用这个定义与对应规律本身的关联，这在康托尔的证明中是必不可少的），那么将存在一个整数，该整数将毫无歧义地用对应规律的陈述和点P的定义来确定。 4.对应规律必须是断言的，也就是说，如果使点P对应于一个整数，那么当在空间中引入新点时，必须仍然使这个点P对应于同一个整数。那就是康托尔所证明的东西，这依然保持为真。我们注意到包含在这个简短命题中的复杂意义：空间中点的基数比整数的基数大。 于是，我们不得不作出什么结论呢？每一个数学定理必须能够加以验证。当我陈述这个定理时，我宣称，我将试图对它进行的所有验证都会成功；即使这些证明之一需要超过一个人的能力的艰辛工作，我断言，如果许多代人——即使需要一百代人——认为着手进行这种验证是恰当的，它将依然会成功。该定理没有其他意义，如果我们在它的陈述中提到无限的数目，那么这将仍为真。但是，由于验证仅能够适用于有限的数目，所以由此可得，每一个关于无限数的定理，或者特别是所谓的无限集，或超限基数，或超限序数等等，只能是陈述有限数目的命题的简明方式。如果它不是这样，这个定理将不是可验证的，而且如果它是不可验证的，它将是无意义的。 由此可得，不可能存在任何关于无限数的明显的公理；无限数的每一个特性无非是有限数的特性的翻译。正是后者，它可以是明显的，而且也许有必要通过把前者与后者进行比较和通过表明翻译是严格的来证明前者。 7.小结 导致某些逻辑学家的悖论是由这样的事实引起的：他们不能避免某些循环论证。当他们考虑有限的集合时，就发生这种情况，但是当他们对处理无限集合提出要求时，这种情况会更为经常得多地发生。在第一种情况下，他们能够容易地逃出他们落入的陷阱；或者，更严格地讲，他们自己设置了他们选好要落入的陷阱，他们甚至被迫十分小心地不错过这个陷阱；简而言之，在这种情况下，悖论只不过是游戏而已。由无限概念产生出来的悖论是十分不同的；逻辑学家在没有故意设置它的情况下落入其中是经常发生的，即使预先告诫了，他们还是感到不安。 由于不止一个充分的理由，作出解决这些困难的尝试是有趣的，但是这些尝试并不完全令人满意。策默罗先生想构造一个无缺陷的公理系统；可是，这些公理仅仅能够被视为任意的规定，因为有必要证明这些规定不是互相矛盾的，而且进行一次全面大扫除后再没有留下任何作 ✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜未完待续>>>完整版请登录大玄妙门网✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜