[book_name]海岛算经 [book_author]刘徽 [book_date]晋代 [book_copyright]玄之又玄 謂之大玄=學海無涯君是岸=書山絕頂吾为峰=大玄古籍書店獨家出版 [book_type]学术杂记,数学,完结 [book_length]6228 [book_dec]中国最早的测量学专著。刘徽撰。公元263年刊行。原名《重差》，附于《九章算术注》之后。唐代改为单印本。因书中第1题为测算海岛高远，故此得名。唐代有李淳风注本。宋元丰七年(1084)后收刻入《算经十书》、《丛书集成初编》。1963年中华书局出版。现传本系清编《四库全书》时抄自《永乐大典》。该书曾被译成日、英、俄等多种文字在各国出版发行。刘徽(约225—295)，中国古代数学家，古典数学理论的奠基者之一。据考证系现今山东临淄或淄川一带人。他曾运用极限思想研究了圆面积和圆锥、圆台体积公式，提出了解线性方程组的互乘相消法(和现在的加减消去法一致)，还引进了正、负数的定义和加减法运算法则。他在“以类合类”的思想指导下，将《九章算术》中的246个复杂数学问题，按其性质与解题方法分成9类，为中国数学更深入的发展打下良好的基础。主要著作有《九章算术注》和《海岛算经》。本书共9题，都是利用测量(2次或3次)来计算高深广远的问题。第1题用重表法解决求海岛高远问题。第2题求松高问题。第3题用连索法解决望邑中的景差、邑方等问题。第4题用累矩法解决求谷深问题。第5题求楼高问题。第6题求波口广问题。第7题求望远中的水深问题。第8题求望津中的津广问题，第9题求临邑中的邑广问题。本书利用了相似形和勾股定理奠定了测量学的基础，也为中国古代高度发达的地图学奠定了数学基础。英国李约瑟博士把该书的9个问题概括为9种情况，如“从海上测量岛屿高度”、“测量山上树高”、“测量远处一个有城墙的城市的大小”等等，并指出：“不管在军事上或非军事上，这些测量的意义是显而易见的。”同时他又指出，那种把这部书描述成“实用三角学的九个问题”的作法是一种误解。 [book_img]Z_12784.jpg [book_title]海岛算经全文 今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？ 答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。 今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松元，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？ 答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。 术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。 今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑　东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？ 答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。 术曰：以入索乘后去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置后去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置后去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。 今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？ 答曰：四十一丈九尺。 术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。 今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？ 答曰：八丈。 术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。 今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，后去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？ 答曰：一里二百步。 术曰：以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减后去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。 今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩于上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？ 答曰：一丈二尺。 术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。 今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？ 答曰：二里一百二步。 术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。 今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？ 答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。 术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。 [book_title]海岛算经（李淳风注） 今有望海岛立两表齐高三丈前后相去千步令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步人目着地取望岛峯与表末参合从后表却行一百二十七步人目着地取望岛峯亦与表末参合问岛高及去表各几何答曰岛高四里五十五步去表一百二里一百五十步 术曰以表高乗表间为实相多为法除之所得加表高即得岛高 淳风等按此术意宜云岛谓山之顶上两表谓立表木之端直【案此句讹舛据术意言立两表齐高三丈相去千步者谓立木为表两表各高三丈其地相去千步必准之使平则表端齐平然后可测望也又言令后表与前表参相直者自海岛至前表自前表退至后表三者令其参相当也非木之端直】以人目于木末望岛参平人去表一百二十三步为前表之始后立表末至人目于木末相望去表一百二十七步二表相去为相多以为法【案此亦讹舛据术意人去前表一百二十三步以目着地望表末斜与岛峯参合又去后表一百二十七步以目着地望表末亦与岛峯参合非于木末望岛也前后去表相减余四步为相多非二表相去也当由传写失真后人妄加改窜遂不可通】前后表相去千步为表间以表高乗之为实以法除之加表高即是岛高积步得一千二百五十五步以里法三百步除之得四里余五十五步是岛高之步数也 求前表去岛逺近者以前表却行乗表间为实相多为法除之得岛去表数 淳风等按此术意宜云前去表乗表间得一十二万三千步以相多四步为法除之得三万七百五十步又以里法三百步除之得一百二里一百五十步是岛去表里数 今有望松生山上不知高下立两表齐高二丈前后相去五十步令后表与前表参相直从前表却行七步四尺薄地遥望松末与表端参合又望松本入表二尺八寸复从后表却行八步五尺薄地遥望松末亦与表端参合问松高及山去表各几何答曰松高一十二丈二尺八寸山去表一里二十八步七分步之四 术曰以入表乗表间为实相多为法除之加入表即得松高 淳风等按此术意宜云前后去表相减余七尺是相多以为法表间步通之为尺以入表乗之退位一等以为实以法除之更加入表【案原本讹作加表高据术意乃加入表二尺八寸不得加表高二丈也今改正】得一百二十二尺八寸以为松高退位一等得一十二丈二尺八寸也 求表去山逺近者置表间以前表却行乗之为实相多为法除之得山去表 淳风等按此术意宜云表间以步尺法通之得三百尺以前去表四十六尺【案四原本讹作二今改正】乗之为实以相多七尺为法实如法而一得一千九百七十一尺七分尺之三以里尺法除之得一里不尽以步尺除之得二十八步不尽三还以七因之得数内子三得二十四复置步尺法以分母七乗六得四十二为步法俱半之副置平约等数即是于山去前表一里二十八步七分步之四也【案去前表原本讹作去后表据术以前表却行乗表间以相多除之得山去前表若后表却行乗表间以相多除之则得山去后表今改正】 今有南望方邑不知大小立两表东西去六丈齐人目以索连之令东表与邑东南隅及东北隅参相直当东表之北却行五步遥望邑西北隅入索东端二丈二尺六寸半又却北行去表一十三步二尺遥望邑西北隅适与西表相参合问邑方及邑去表各几何答曰邑方三里四十三步四分步之三邑去表四里四十五步术曰以入索乗后去表以两表相去除之所得为景差以前去表减之不尽以为法置后去表以前去表减之余以乗入索为实实如法而一得邑方 淳风等按此术置入索乗后去表得一千八百一十二尺以两表相去除之得三丈二寸为景差以前去表减之余二寸以为法前后相去表减之余以乗入索得一万一千三百二十五寸为实以法除之得五千六百六十二尺不尽二分尺之一以里法除之得三里不尽尺以步法除之得四十三步不尽四以分母乗之内子一得九以分母乗六得十二以三约母得四约子得三即得邑方三里四十三步四分步之三也 求去表逺近者置后去表以景差减之余以乗前去表为实实如法而一得邑去表 淳风等按此术置后去表以景差尺数减之余尺以乗前去表得一千四百九十四尺为实以法除之得七千四百七十尺以步里法除之得四里不尽二百七十尺以步法除之得四十五步即是邑去前表四里四十五步也 今有望深谷偃矩岸上令句高六尺从句端望谷底入下股九尺一寸又设重矩于上其矩间相去三丈更从句端望谷底入上股八尺五寸问谷深几何答曰四十一丈九尺 术曰置矩间以上股乗之为实上下股相减余为法除之所得以句高减之即得谷深 淳风等按此术置矩间上股乗之为实又置上下股尺寸相减余六寸以为法除实得数退位一等以句高减之余四十一丈九尺即是谷深又一法置矩间以下股乗之为实置上下股尺数相减余六寸以为法除之得四百五十五尺以句高并矩间得三十六尺减之余退位一等即是谷深也 今有登山望楼楼在平地偃矩山上令句高六尺从句端斜望楼足入下股一丈二尺又设重矩于上令其间相去三丈更从句端斜望楼足入上股一丈一尺四寸又立小表于入股之防复从句端斜望楼岑端入小表八寸问楼高几何答曰八丈 术曰上下股相减余为法置矩间以下股乗之如句高而一所得以入小表乗之为实实如法而一即是楼高淳风等按此术置下股以上股相减余六寸以为法又置矩间以下股乗之得三万六千寸以句高六尺除之得六百寸以入小表乗之得四千八百寸以法除之得八百寸退位一等即是楼高八丈也 今有东南望波口立两表南北相去九丈以索薄地连之当北表之西却行去表六丈薄地遥望波口南岸入索北端四丈二寸以望北岸入前所望表里一丈二尺又却后行去表一十三丈五尺【案却后行原本讹作却行后今改正】薄地遥望波口南岸与南表参合问波口广几何答曰一里二百步 术曰以后去表乗入索如表相去而一所得以前去表减之余以为法复以前去表减后去表余以乗入所望表里为实实如法而一得波口广 淳风等按此术置后去表以乗入索四百二寸得五十四万二千七百寸以两表相去除之得六百三寸又以前去表六百寸减之【案原本脱去字今据正文补入】余有三寸为法又置前后却行去表寸数相减余以乗入望表里一百二十寸得九万寸以法除之得三万寸为实以步里除之得一里余以步法除之得二百步即是波口广一里二百步也 今有望清渊渊下有白石偃矩岸上令句高三尺斜望水岸入下股四尺五寸望白石入下股二尺四寸又设重矩于上其间相去四尺更从句端斜望水岸入上股四尺以望白石入上股二尺二寸问水深几何答曰一丈二尺 术曰置望水上下股相减余以乗望石上股为上率又以望石上下股相减余以乗望水上股为下率两率相减余以乗矩间为实以二差相乗为法实如法而一得水深 又术列望水上下股及望石上下股相减余并为法以望石下股减望水下股余以乗矩间为实实如法而一得水深 淳风等按此术以望水上下股相减余五寸以乗望石上股二十二寸得一百一十寸即是上率又置望石上股减望石下股余有二寸以乗望水上股四十寸得八十寸即是下率二率相减余有三十寸以乗矩间四十寸得一千二百寸为实又以二差二五相乗得十为法除实退位二等即是水深一丈二尺也又术置望水上股以望水下股减之余有五寸置望石下股以望石上股减之余有二寸并之得七寸以为法又以望石下股以望水下股减之余有二十一寸以乗矩间四十寸得八百四十寸以为实以七寸为法除之得一百二十寸退之得一丈二尺即是水深也 今有登山望津津在山南偃矩山上令句高一丈二尺从句端斜望津南岸入下股二丈三尺一寸又望津北岸入前望股里一丈八寸更登高岩北却行二十二步上登五十一步偃矩山上更从句端斜望津南岸入上股二丈二尺问津广几何答曰二里一百二步 术曰以句高乗下股如上股而一所得以句高减之余为法置北行以句高乗之如上股而一所得以减上登余以乗入股里为实实如法而一即得津广 淳风等按此术置句高乗下股得二百七十七尺二寸以上股除之得一丈二尺六寸以句高一丈二尺【案此下原本衍六寸以句高一丈二尺九字】减之余有六寸以为法又置北行步展为一百三十二尺以句高乗之得一千五百八十四尺以上股除之得七十二尺又置上登五十一步以每步六尺通之得三百六尺以前数减之余二百三十四尺以乗入股里尺数得二千五百二十七尺二寸为实实如法而一得四千二百一十二尺以步里法除之得二里余一百二步即是津广也 今有登山临邑邑在山南偃矩山上令句高三尺五寸令句端与邑东南隅及东北隅参相直从句端遥望东北隅入下股一丈二尺又施横句于入股之防从立句端望西北隅入横句五尺望东南隅入下股一丈八尺又设重矩于上令矩间相去四丈更从立句端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广长各几何答曰南北长一里一百步东西广一里三十三步少半步 术曰以句高乗东南隅入下股如上股而一所得减句高余为法以东北隅下股减东南隅下股余以乗矩间为实实如法而一得邑南北长也求邑广以入横句乗矩间为实实如法而一即得邑东西广 淳风等按此术以句高乗东南隅下股得六千三百寸又以东南隅上股一百七十五寸除之得三十六寸以句高减之余有一寸以为法又置东北隅下股以减东南隅下股余有六十寸以乗矩间得二万四千寸为实实如法而一即不盈不缩以寸里法除之得一里不尽以寸步法除之得一百步即是邑南北长一里一百步也求东西广步者置入横句之数以乗矩间得二万寸为实实如法而一即得不盈不缩以里法除之得一里余以步法除之得三十三步不尽二十与法俱退半之即是三分步之一也